用導數證明不等式的幾個技巧

☉湖北省武漢市新洲一中 李 俊

利用導數證明不等式，是高考的?？碱}型，尤其是證明函數背景下的不等式.筆者在教學中有一點心得體會，下面通過例題展示一下用導數證明不等式的技巧，供讀者參考.

一、直接作差構造函數證明

當-1＜x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0.

函數f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）.

于是函數f（x）在x=0處取得最大值f（0）=0.

因此，當x＞-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，所以ln（x+1）≤x.

當x∈（-1，0）時，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）的單調遞減區間為（-1，0），單調遞增區間為（0，+∞）.

故函數g（x）在x=0處取得最小值g（0）=0.

當x＞-1時，g（x）≥g（0）=0，

點評：用導數證明不等式最基本方法就是將不等式的一邊移到另一邊，然后令這個式子為一個函數，通過求導判斷單調性，然后證明函數的最值大于（或小于）0.

二、利用已知函數的最值進行證明

例2 （Ⅰ）已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值.

（Ⅱ）設ak，bk（k=1，2，3，…，n）均為正數，證明：

（2）若b1+b2+…+bn=1，則

當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0.

f（x）在（0，1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是減函數.

故函數f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0.

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當x∈（0，+∞）時，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1.

因為ak，bk均為正數，從而有lnak≤ak-1，得

三、做商構造函數證明

四、取對數后構造函數證明

例4a，b∈R且b＞a＞e，其中e為自然對數的底數.

證明：ab＞ba.

證明：原不等式兩邊同時取自然對數，可知

因為x＞e時，f′（x）＜0，所以f（x）在（e，+∞）上單調遞減.

故原不等式成立.

點評：將待證不等式兩邊同時取對數，轉化為合理的輔助函數.

五、從條件特征入手構造函數證明

（1）討論函數f（x）的單調性；

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），

故f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；

當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0.

故f（x）在（a-1，1）上單調遞減，在（0，a-1）和（1，+∞）上單調遞增.

（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）上單調遞減，在（0，1）和（a-1，+∞）上單調遞增.

所以原不等式成立.

六、換元法后作差構造函數證明

故原不等式成立.

點評：當待證不等式比較復雜時，可以通過換元的方法轉化為較熟悉或比較簡單的不等式.

七、利用兩個函數的最值證明

例7 函數f（x）=-x-ln（-x），x∈［-e，0）.

所以當-e≤x＜-1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減；

當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增，

所以f（x）極小值為f（-1）=1，即f（x）在區間［-e，0）上的最小值為1，所以f（x）＞1.

當-e≤x＜0時，h′（x）≤0，故h（x）在[-e，0]上單調遞減.

故原不等式成立.

點評：分別轉化為兩個函數，利用函數h（x）max＜f（x）min進行證明.

近幾年來，高考中對函數背景下不等式的考查要求比較高，學生得分情況不容樂觀.通過上述幾道例題，掌握不等式證明的幾個常見技巧，不僅能保證解題的正確性，還能有效地降低試題難度，縮短解題時間.