永磁同步電機分數階建模與實驗分析*

余偉 皮佑國

(華南理工大學自主系統與網絡控制教育部重點實驗室∥自動化科學與工程學院，廣東廣州510640)

分數階微積分理論建立至今已有三百多年的歷史，由于各種客觀條件限制，早期主要側重于理論研究，近年來在很多領域已經開始應用分數階微積分學理論．在自動控制領域出現了分數階控制理論等新的分支，如 Oustaloup等［1］提出了 CRONE控制器;Tenreiro［2］研究了分數階數字控制系統．分數階系統已成為控制界關注的一個熱點．

研究表明［3］:實際電感和實際電容在本質上是分數階的，需建立相應的分數階模型來描述它們的電特性．Jonscher指出［4］:整數階電容在實際中并不存在，這主要是由于構成電容的電介質材料展示出分數階特性，導致整數階電容的容抗形式違反了因果關系．用傳統的整數階模型已不能準確描述這些對象，現有研究表明，采用分數階模型處理此類問題具有顯著優勢［5］．系統辨識直接基于輸入輸出實驗數據建立對象的數學描述，在分數階系統建模方面具有良好的應用前景．

在電機控制領域，已有大量采用分數階控制器并獲得更好控制性能的報道［6-7］．電容和電感這些儲能元件是分數階的，因此采用整數階模型描述永磁同步電機不夠精確．文獻［8］中對永磁同步電機(PMSM)建立分數階數學模型，從仿真角度研究混沌動力學特性，但目前還未見從實驗角度對永磁同步電機分數階建模的相關報道．文中首先提出永磁同步電機的一種分數階模型結構;然后用偽隨機信號激勵到永磁同步電機實驗裝置進行辨識實驗，將得到的實驗數據采用系統輸出誤差辨識算法，對分數階模型進行參數估計;最后對永磁同步電機的分數階和整數階模型，采用同一PI控制器設計準則，通過實驗比較，說明分數階模型比整數階模型能更精確地描述永磁同步電機的本質．

1 永磁同步電機分數階模型

根據電機統一理論，多相電機可以等效為兩相電機．三相永磁同步電機經過變換以后，在d軸電流為零的控制策略下，可以等效為一臺直流電機．直流電機分為從電壓到電流和從轉矩到轉速兩個環節．因此，在理想數學模型，即忽略鐵芯飽和不計渦流和磁滯損耗等條件下，永磁同步電機傳統的整數階傳遞函數［9-10］可表示為

式中，T為時間常數，K為系統增益．由于目前為止，分數階微積分還沒有普適的、統一的物理意義和幾何解釋，所以文中將永磁同步電機分數階建模與分析法和實驗法相結合，在用分析法得到永磁同步電機整數階數學模型的基礎上，考慮實際永磁同步電機中電容和電感特性也是分數階的事實，提出永磁同步電機的分數階數學模型:

下文將對永磁同步電機進行辨識實驗，然后進行參數估計，增益K和時間常數T由傳統辨識方法得到，而分數階階次ζ和?需用分數階模型的辨識算法得到．

2 分數階模型輸出誤差辨識算法

分數階模型Gζ，?(s)的狀態空間表達式用兩個分數階積分算子 Iζ(s)和 I?(s)表示:

定義θT=［Kζ ?］，θ^為參數陣列 θ的估計值．然后給出θ^和u(t)，就可以仿真如式(3)所示的狀態空間模型，得到

圖1 輸出誤差辨識算法Fig．1 Output-error identification algorithm

采用Marquardt的迭代算法得到^θ的精確值［12］:

式中:J'θ為梯度為海賽函數為輸出靈敏度函數，;為監督函數．

3 系統辨識和實驗驗證裝置

在辨識實驗之前，永磁同步電機首先運行在穩定常態，經過一定時間后加入偽隨機信號到永磁同步電機．偽隨機信號必須能夠激勵永磁同步電機速度伺服系統的全部特性．這里使用的三相永磁同步電機型號為三洋P10B13100BXS，主要參數如下:機電時間常數0．0059 s，額定轉速2000 r/min，額定轉矩4．7N·m，轉矩常數1．27N·m．圖2是永磁同步電機辨識實驗框圖．圖3是永磁同步電機辨識和驗證實驗裝置，其中控制板是基于美國德州儀器公司，型號為TMS320F2812的DSP芯片，在實驗驗證中，速度閉環控制的反饋信號由編碼器的輸出得到．

圖2 永磁同步電機辨識實驗框圖Fig．2 Block diagram of experiment for the PMSM identification

圖3 辨識和驗證實驗裝置Fig．3 Experimental setup for identification and verification

選擇偽隨機信號作為辨識信號的一個原則是:實驗信號的頻譜能完全覆蓋待辨識系統的全部重要工作頻率．這里，需要確定實驗信號的時鐘周期Δ和序列長度Np，它們滿足以下式子［13］:

式中，fM為系統截止頻率，為了估計截止頻率，給系統施加不同周期的矩形信號，并記錄輸出響應．當矩形波的周期減小到某一數值時，系統對此激勵不再產生反應，這個周期的倒數可以作為系統截止頻率的近似值．圖4(a)所示為輸入周期0．0125 s、電壓幅值為310V的矩形波，圖4(b)為永磁同步電動機的輸出響應．由此得到，fM約為80Hz．Ts為過渡過程時間，約為0．2 s．由此可以設計出偽隨機信號周期Δ =0．003s，序列長度 Np=127．

圖4 永磁同步電機截止頻率實驗結果Fig．4 Results of cut-off frequency experiment of PMSM

4 辨識結果

首先辨識式(2)中的開環增益K和時間常數T，此處T是機電時間常數，可查知 T=0．0059 s．開環增益K從永磁同步電機開環速度系統階躍響應中得到，如圖5 所示，K=6．8251．

圖5 永磁同步電機單位階躍響應Fig．5 Unit step response of PMSM

設計時鐘周期 Δ=0．003 s和序列長度Np=127的偽隨機信號，它的頻譜能完全覆蓋待辨識的永磁同步電動機速度系統的全部重要工作頻率．圖6是輸入永磁同步電機的偽隨機信號和輸出響應．

圖6 永磁同步電機辨識實驗結果Fig．6 Results of identification experiment of PMSM

由圖6所示偽隨機激勵永磁同步電機的實驗結果，取M=300個輸入和輸出數據對．采用前述的輸出誤差辨識算法，利用 Gζ，?(s)的狀態空間表達

式(3)，由式(7)得到靈敏度函數

這里，ω'1=10-4rad/s和 ω20=104rad/s．取20 個相位超前濾波器來逼近分數階積分器．每個靈敏度函數使用Matlab中的lsim指令計算，它必須知道每個參數的值，最后算出結果 ζ=0．8574，? =0．7476．

5 實驗驗證

為了證明辨識得到的永磁同步電機速度系統分數階模型比整數階模型更準確，采用同一PI控制器設計準則，通過實驗公平比較．圖7所示是實驗驗證框圖．

圖7 實驗驗證框圖Fig．7 Block diagram of experimental validation

設定參考速度ω*r=600 r/min，用來比較的 PI控制器采用以下式子:

式中，Kp為比例系數，Ki為積分系數，給定截止頻率ωc=80rad/s和相位裕度φm=60°．為了滿足系統穩定性和魯棒性的要求，由截止頻率和相位裕度的基本定理［14］得到關于開環傳遞函數的相位和幅值的準則如下［15］:

(1)相位裕度準則

(2)增益準則

式中，P為控制器和電機構成的系統對象傳遞函數，C為控制器傳遞函數，G為電機傳遞函數．對永磁同步電機整數階模型，解方程組得到整數階模型PI控制器的比例系數Kp1=87．9941，積分系數 Ki1=8．2790．同理對永磁同步電機分數階模型，解方程組得到分數階模型PI控制器的比例系數Kp2=529．0923，積分系數 Ki2=56．2825．圖8 是永磁同步電機整數階模型和分數階模型與對應設計出的PI控制器構成的系統速度階躍響應．從實驗結果可看出，由永磁同步電動機的分數階模型設計出的PI控制器，系統的調節時間為0．08s，而由整數階模型設計出的PI控制器，系統的調節時間為1．38s，均無超調量，說明所提出的永磁同步電動機分數階模型比整數階模型更加逼近實際對象．

圖8 兩種模型的速度階躍響應Fig．8 Speed step responses of two different models

6 結語

文中對永磁同步電機分數階建模，結合分析法和實驗法，由傳統整數階模型提出一種分數階模型，采用外部輸入偽隨機信號進行系統辨識實驗，利用實驗數據，采用輸出誤差辨識算法對提出的分數階模型進行參數估計．由辨識得到的永磁同步電機分數階模型和傳統的整數階模型，通過幅值裕度和穿越頻率準則設計PI控制器，在相同的實驗條件下進行比較，驗證了分數階模型比整數階模型能更精確地描述永磁同步電機的本質．

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