聚碳酸脂本構方程及其在鳥撞風擋仿真中的應用*

韓強 于鵬 姚小虎? 臧曙光 李志強

(1．華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640;2．中國建筑材料檢驗認證中心有限公司，北京100024;3．太原理工大學應用力學與生物醫學工程研究所，山西太原030024)

聚碳酸脂(PC)是一種高聚物有機玻璃材料，在國防和民用領域有著廣泛的應用．眾所周知，聚碳酸脂類高聚物材料對應變率和溫度較為敏感，因此在建立其本構方程時，必須要考慮溫度和應變率效應．Mulliken等［1-7］建立了PC的三維彈-粘塑性本構模型，考慮了溫度和應變率效應，認為PC在不同應變率和不同溫度下所表現出的力學性質是由其內部分子鍵之間的相互運動所決定的．Za?ri等［8-9］則建立了PC材料在大變形下的各向異性損傷本構方程，并在結構損傷方面進行了深入的研究．然而Mulliken和Za?ri等提出的本構模型過于復雜，在工程上應用得并不廣泛．王禮立等［10-11］提出了朱-王-唐本構模型，用于描述PC材料在不同應變率下的非線性彈性和粘彈性響應．雖然在彈性階段理論值能夠與實驗值吻合得較好，但是由于本構方程沒有涉及材料的塑性階段，因而對材料力學性能的表征并不完整．文中基于Instron靜態試驗和SHPB(霍普金森壓桿)動態試驗，利用Johnson-Cook(J-C)本構模型，并使用參數識別法和最小二乘法，確定了適合于聚碳酸脂的動態本構方程．由于本構方程形式簡單，對工程領域的應用有著十分重要的意義．為了驗證本構方程的合理性，將其用于描述飛機風擋材料，進行了鳥體撞擊風擋的數值仿真，并將計算值與實驗值進行了對比．

1 聚碳酸酯的靜態和動態試驗

Instron和SHPB試驗可以用于確定材料在不同應變率下的應力-應變關系、屈服應力的率相關性以及屈服后的力學性能．SHPB實驗裝置的核心部分由撞擊桿(子彈)、入射桿、透射桿組成，試件放置在入射桿和透射桿之間．當子彈撞擊入射桿時，在入射桿中會產生壓力脈沖，當脈沖到達試件時，一部分被界面反射，一部分穿過試件透射到透射桿中，通過測定反射、透射脈沖的大小，可以得到所測材料的動態應力應變關系．為了得到PC材料不同應變率下的應力-應變曲線，一共進行了5組試驗，其中2組Instron靜態壓縮試驗(每組5個試件，加載速度分別為0．001、1 mm/min)，3組 SHPB 試驗(每組5個試件，空氣彈撞擊速度分別約為10、17、25 m/s)．實驗在室溫條件下進行，所有試件均為圓柱形，直徑為8．5mm，厚3mm．

對每組實驗的5個試件的實驗結果取平均值，并用自編的程序對實驗數據進行處理后，可以獲得PC材料在不同應變率下的真實應力-應變曲線，如圖1所示．

圖1 PC在不同應變率下的真實應力-應變曲線Fig．1 PC true stress-strain curves in different strain rates

從圖1中可以看出，隨著應變率的升高，PC材料的屈服應力逐漸增大，雖然不同應變率下的屈服應力不同，但是試件的應力-應變曲線在進入塑性階段后保持了同一趨勢，這一現象對本構方程參數的擬合有著重要的意義．另外，雖然在高應變率(˙ε＞1000s-1)和低應變率(˙ε≤1s-1)下，PC的彈性模量有所差異(這是由于高、低應變率下所使用的實驗儀器不同，實驗原理也不相同．并且在SHPB試驗中，PC在彈性階段并未達到動態平衡，而Instron試驗過程中，材料基本處于準靜態，因此彈性模量會有所差異)，但是在同一量級應變率條件下，彈性模量差別不大．基于這一點，在考慮本構方程時，將忽略其彈性范圍內的應變率效應．

2 聚碳酸酯J-C本構模型以及本構參數的確定

J-C本構方程是一種剛塑性本構方程，它主要用于表征材料進入塑性變形階段之后的力學性能．由于PC材料通常應用于抗沖擊的工程環境，人們通常關心的是PC材料在沖擊載荷作用下進入塑性階段后的應力應變情況，所以用J-C模型來表述PC本構是比較合適的．J-C的本構方程為

式中，參數 A 、B、C、n、m 為材料常數，εp為有效塑性應變，˙ε*=˙ε/˙ε0為等效塑性應變率，˙ε為塑性應變率，˙ε0為準靜態下的參考應變率，通?？梢匀?0-3s-1或者1 s-1，T*為材料的當前溫度，T*=(T-Troom)/(Tmelt-Troom)，Tmelt為材料的熔點，Troom為室溫．下面通過SHPB和Instron得到的試驗數據，確定本構方程(1)中的材料常數．具體步驟如下:

(1)實驗是在室溫條件下進行的，因此有TTroom=0，則有T*=0，式(1)轉化為 σ =(A+)·(1+Clnε˙*)．

(2)確定常數A和B時，令參考應變率ε˙0=1s-1，同時在圖1中選擇應變率為ε˙=1 s-1的實驗曲線，這里近似地認為材料的塑性應變率等于平均應變率．因此有lnε˙*=0，則式(1)化為 σ=(A+)．取εp=0，即PC材料的屈服點，則有σyield=A，從實驗數據中可以讀出σyield=A=84MPa．擬合參數B、n可得到 B=3328 MPa、n=3．1456．擬合誤差分別為3．2%和 2．7% ．

于是，可以得到PC室溫下的J-C本構方程，其表示式為

圖2是式(2)J-C本構理論曲線與實驗曲線的對比，不難發現，在低應變率下理論值與實驗值吻合較好，在高應變率下兩者有一定的差異．這主要是由于PC類聚合物材料通常會伴隨應力軟化現象，J-C本構模型雖然能夠很好地表征材料的強化階段，但卻不能很好地表征材料的軟化現象，這是J-C本構模型自身特點所決定的．盡管如此，在高應變率下的理論屈服應力與實驗屈服應力仍然吻合得較好．

圖2 不同應變率下J-C本構曲線與實驗曲線的對比Fig．2 Comparison between the experimental and J-C constitutive model results in different strain rates

3 數值仿真

為了進一步驗證PC材料J-C本構方程的合理性，應用本構方程(2)，進行了鳥體撞擊飛機風擋的數值仿真，并將計算值與實驗值進行了比較．

3．1 計算模型

采用LS-DYNA軟件對鳥體撞擊風擋進行數值仿真，風擋模型采用與實驗相同的形狀和尺寸(如圖3所示)，實驗按照飛機風擋抗鳥撞擊實驗標準GJB-2464—95進行．風擋模型由14 702個單元組成，其中包括梁單元、殼單元和實體單元，風擋下邊緣的邊界條件取為固支．為了提高計算效率，采用SPH(光滑粒子流體動力學)算法進行計算，鳥體模型由節點組成，節點數為7533，形狀為圓柱形，直徑為120mm，厚度為150mm．

圖3 鳥體和風擋的有限元模型Fig．3 Finite element model of bird and windshield

為了驗證文中確定的PC材料的J-C本構模型，風擋采用LS-DYNA中的*MAT_SIMPLIFIED Johnson-Cook model材料模型描述，參數為式(2)中材料常數，如表1所示．鳥體選用彈性流體材料，即*MAT_ELASTIC_FLUID描述，密度為950 kg/m3，體積模量為25GPa．

表1 PC風擋J-C本構模型參數Table 1 Parameters of PC windshield J-C consti tutive model

3．2 計算結果

計算時選擇鳥體速度為562 km/h，撞擊位置為風擋中點，計算風擋中線前1/3點的位移時程曲線，并與實驗結果進行對比．風擋的Von Mises應力云圖如圖4所示，與實驗的對比結果如圖5所示．

從圖4中可看到，鳥體撞擊風擋瞬間(如圖4(a)所示)，會產生很大的沖擊力，撞擊點的應力最大，而由于撞擊產生的沖擊波，導致風擋中的應力分布不均勻．隨著撞擊過程的進行(如圖4(b)、(c)所示)，與風檔中線呈45°方向的應力逐漸增大，并向風擋兩側擴散．當鳥體發生最大流變時(如圖4(d)所示)，風擋的應力達到最大值，之后便開始卸載，由于應力波的反復疊加，導致風擋的應力分布復雜化．這些現象與實驗過程中所觀察到的現象是一致的［12-15］，并且從圖5中可以看出，數值計算結果與實驗結果得到了較好的吻合，這也證明了用J-C本構模型描述PC材料力學行為的合理性．

圖4 風擋在不同撞擊時刻的Von Mises應力云圖Fig．4 Von Mises stress distribution of the windshield during the impact process at different time

圖5 風擋中線前1/3點處的位移時程曲線計算值與實驗值的對比Fig．5 Comparison of the displacement-time curve of the 1/3 point of midcourt line in the front surface of the windshield

4 結論

聚碳酸脂(PC)材料是一具有應變率相關性的高聚物材料，因此選用J-C這一形式簡單同時包含率相關性的本構方程來描述PC的力學特性非常合適．基于Instron靜態試驗和SHPB動態試驗，利用JC本構模型，并通過參數識別和最小二乘法確定了聚碳酸脂的本構方程，將其應用于鳥體撞擊飛機風擋的數值仿真，并與實驗結果進行了對比，得到了較為理想的結果，從而證明了這一本構方程的合理性．

［1］Mulliken A D，Boyce M C．Mechanics of the rate-dependent elastic-plastic deformation of glassy polymers from low to high strain rates［J］．International Journal of Solids and Structures，2006，43(5):1331-1356．

［2］Arruda E M，Boyce M C．Evolution of plastic anisotropy in amorphous polymers during finite straining ［J］．International Journal of Plasticity，1993，9(6):697-720．

［3］Hasan O A，Boyce M C，Li X S，et al．An investigation of the yield and postyield behavior and corresponding structure of poly(methyl methacrylate)［J］．Journal of Polymer Science Part B:Polymer Physics，1993，31(2):185-197．

［4］Arruda E M，Boyce M C，Jayachandran R．Effects of strain rate，temperature and thermo mechanical coupling on the finite strain deformation of glassy polymers［J］．Mechanics of Materials，1995，19(3):193-212．

［5］Wendlandt M，Tervoort T A，Suter U W．Non-linear，ratedependent strain-hardening behavior of polymer glasses［J］．Polymer，2005，46(25):11786-11797．

［6］Wendlandt M，Tervoort T A，Suter U W．Strain-hardening modulus of cross-linked glassy poly(methyl methacrylate)［J］．Journal of Polymer Science Part B:Polymer Physics，2010，48(13):1464-1472．

［7］Bouvard J L，Bouvard C，Denton B，et al．Horstemeyer M F．Simulation of impact tests on polycarbonate at different strain rates and temperatures［J］．Mechanics of Time-Dependent Materials，2011，27(3):145-147．

［8］Za?ri F，Moussa N A，Woznicab K．Constitutive equations for the viscoplastic-damage behavior of a rubber-modified polymer［J］．European Journal of Mechanics A/Solids，2005，24(1):169-182．

［9］Za?ri F，Na?t-Abdelaziz M，Gloaguen J M，et al．A physically-based constitutive model for anisotropic damage in rubber-toughened glassy polymers during finite deformation［J］．International Journal of Plasticity，2011，27(1):25-51．

［10］周風華，王禮立，胡時勝．有機玻璃在高應變率下的損傷型非線性粘彈性本構關系及破壞準則［J］．爆炸與沖擊，1992，12(4):334-342．Zhou Feng-hua，Wang Li-li，Hu Shi-sheng．A damagemodified nonlinear visco-elastic constitutive relation and failure criterion of PMMA at high strain rated［J］．Explosion and Shock Waves，1992，12(4):334-342．

［11］王禮立，董新龍，孫紫建．高應變率下計及損傷演化的材料動態本構行為［J］．爆炸與沖擊，2006，26(3):193-198．Wang Li-li，Dong Xin-long，Sun Zi-jian．Dynamic constitutive behavior of materials at high strain rate taking account of damage evolution ［J］．Explosion and Shock Waves，2006，26(3):193-198．

［12］姚小虎，韓強，張曉晴，等．飛機圓弧風擋的抗鳥撞試驗研究［J］．爆炸與沖擊，2005，25(5):417-422．Yao Xiao-hu，Han Qiang，Zhang Xiao-qing，et a1．Experimental study on arc windshield of fighter subjected to bird impact［J］．Explosion and Shock Waves，2005，25(5):417-422．

［13］姚小虎，韓強，趙隆茂，等．飛機圓弧風擋的抗鳥撞擊問題研究［J］．華南理工大學學報:自然科學版，2007，35(2):6-12．Yao Xiao-hu，Han Qiang，Zhao Long-mao，et al．Investigation into arc windshield of aircraft subjected to bird impact［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2007，35(2):6-12．

［14］姚小虎，趙隆茂，劉曉明．飛機圓弧風擋鳥撞擊數值模擬［J］．上海交通大學學報，2004，38(增刊):147-151．Yao Xiao-hu，Zhao Long-mao，Liu Xiao-ming．Numerical simulation for arc windshields of aircrafts subjected to bird impact［J］．Journal of Shanghai Jiao tong University，2004，38(Suppl):147-151．

［15］李志強，韓強，楊建林，等．基于SPH方法的鳥撞飛機風擋的數值模擬［J］．華南理工大學學報:自然科學版，2009，37(12):146-151．Li Zhi-qiang，Han Qiang，Yang Jian-lin，et al．SPH-based numerical simulation of aircraft windshield under bird impact［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2009，37(12):146-151．