多層半平行鋼絲索靜力拉伸模型及參數分析*

彭崇梅 張啟偉 李元兵

(同濟大學橋梁工程系，上海200092)

拉索是中承式、下承式拱橋與索支承橋梁的重要受力構件，由于施工和使用過程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當一部分拉索在成橋后不久便出現嚴重損傷，甚至導致橋梁坍塌．半平行鋼絲索是實際工程中拉索的主要應用形式，索體鋼絲按同心同向作輕度扭絞，并用纏包帶反向緊密纏繞索體，最外層熱擠HDPE護套而成．目前，工程實踐中采用的基于平行鋼絲假定的并聯模型，忽略了鋼絲間拉力不均勻分布和接觸摩擦的影響，且不能進一步用于拉索的腐蝕、斷絲等病害的研究，而半平行鋼絲索的其他研究很少．

Matteo等［1］基于平行鋼絲假定的延性模型和延-脆性模型，采用Monte-Carlo方法研究了Williamsburg橋主纜的安全系數．Faber等［2］基于并聯模型，采用概率方法研究了半平行鋼絲索的靜力拉伸強度和疲勞壽命．上述研究是基于平行鋼絲假定的并聯模型，未考慮鋼絲間拉力的不均勻分布、接觸、摩擦等因素，且研究文獻較少，而與半平行鋼絲索幾何相近的鋼絞線(鋼絲繩)或多股螺旋彈簧的研究則取得了一定的進展．Raoof等提出了半連續模型，用來研究鋼絲繩的靜力、彎曲和疲勞特性［3-5］，該模型假定“繩股中的每層上具有足夠的鋼絲來使其特性取平均值，各鋼絲層可被視作連續的正交各向同性薄層”;Blouin和 Cardou［6］將鋼絲繩視作厚壁圓筒，基于連續介質力學建立了半連續模型;半連續模型不能準確計算各層鋼絲間的接觸力和軸向拉力，且不能計算非圓形鋼絲層構造(如半平行鋼絲索)的索體受力性能．因此，一些學者基于Love［7］曲桿理論，建立了由單根鋼絲集成的離散模型．Costello等［8-9］、LeClair等［10］根據單根鋼絲的基本方程，對鋼絞線和鋼絲繩進行了研究，但均忽略了摩擦滑移的影響;Jiang等［11］學者則通過建立不同股和絲的有限元模型對多層鋼絲繩進行了研究;王桂蘭等［12］建立了鋼絲繩類金屬捻線成形過程中的有限元模型．馬軍等［13］通過有限元模擬了鋼絲繩在拉伸變形過程中股內鋼絲間的載荷分布情況;蕭紅［14］則在螺旋彈簧的研究方面作了一定的工作．

鑒于半平行鋼絲索具有螺旋外形的特點及本身構造的特殊性，內部鋼絲接觸復雜，既不能采用并聯模型，也不能直接應用鋼絞線研究中的現象和規律，且用以描述鋼絲間接觸、摩擦和滑移的物理量也很難通過試驗方法獲得，從而難以準確描述多層半平行鋼絲索的受力行為．文中基于Love［7］曲桿理論，考慮鋼絲彎矩、扭矩、剪力和泊松效應的影響，推導了靜力拉伸荷載作用下的半平行鋼絲索非線性控制方程，通過數值計算和參數分析重點討論了螺旋角對半平行鋼絲索軸力、扭矩、軸向剛度和鋼絲間拉力分布的影響．

1 基本方程

考慮一n層半平行鋼絲索橫截面，索體鋼絲根據螺旋半徑進行分層，拉索鋼絲分層如圖1所示，中心鋼絲為0層，半徑為R1，其余各層依次由里向外進行編號，半徑均為R，各層鋼絲螺旋半徑為各外層鋼絲中心相對螺旋中心的距離，以ri表示，圖1中數字表示各層鋼絲的編號，如編號5對應鋼絲層螺旋半徑為r5．

圖1 半平行鋼絲索截面分層示意圖Fig．1 Layered schemes of cross section for semi parallel wire cable

推導方程之前，假定:①鋼絲間無相對滑移，鋼絲間接觸變形忽略不計;②荷載作用下，考慮泊松效應引起的螺旋半徑變化．

［9］，單根鋼絲的受力如圖2所示，其中G、G'和H為彎矩分量和扭矩分量，K、K'和Θ為單位長度外部彎矩和扭矩分量，N、N'為剪力分量，T為軸向拉力分量，X、Y、Z為單位長度外部荷載分量．

圖2 單根螺旋鋼絲受力圖Fig．2 Free-body diagram of a helical wire

第i層每根鋼絲對應的曲率分量(ki和ki')和扭率分量(i)可表示為

式中，αi表示第i層鋼絲螺旋角度．

軸向荷載作用下，螺旋角和螺旋半徑的變分為δαi和δri，則相應的曲率和扭率分量的變分為

假定弧長為si的螺旋線在中心線上的投影為li，相應的圓心角變化為φi，則存在如下幾何關系:

相應的圓心角和螺旋投影的變分δφi和δli為

半平行鋼絲索的軸向應變為ε=δli/li，螺旋鋼絲應變為ξi=δsi/si，螺旋鋼絲扭率又可表示為i=δφi/li，則方程(4)和(5)可表示為

忽略鋼絲間的接觸變形，考慮泊松效應對螺旋半徑變化的影響，則螺旋半徑的變分可表示為式中，νj為第j層鋼絲的泊松比．由于半平行鋼絲排列的特殊性，式(8)中內層鋼絲對外層鋼絲螺旋半徑的影響取內層半徑變化的平均值進行簡化．

參考文獻［9］，第i層單根鋼絲對應的彎矩分量Gi、和扭矩分量 Hi可表示為

式中:E為鋼絲彈性模量;Iyi為鋼絲截面抗彎慣性矩，Ci為鋼絲扭轉剛度，對圓形截面鋼絲為鋼絲半徑．

剪力分量Ni、N'i，單絲軸向拉力分量Ti和單位長度外部荷載分量 Xi、Yi、Zi可表示為

式中，Ai表示單根鋼絲截面積，對于圓形截面鋼絲，Ai=．

總軸力和總扭矩可表示為

式中，mi表示第i層鋼絲總數．

2 方程的求解

半平行鋼絲索中鋼絲按同心同向作輕度扭絞，各層鋼絲的扭轉角度相同，扭率相等，即1=2=…=i=…= ．對于給定的中心鋼絲軸向應變ε和扭率分量 ，先假定螺旋鋼絲半徑變化量δri為某一量值，代入方程(6)和(7)，可得 δαi和 ξi，將新的 ξi代入δri表達式，得到新一輪的 δri值，再代入方程(6)和(7)，如此循環迭代，直到相鄰兩次循環的δri變化值小于給定誤差為止．將上述計算得到的δαi和δri代入式(2)，得到曲率和扭率分量的變分;代入式(9)-(12)，即可得到索體內各層鋼絲的內力分量和總軸力、總扭矩．整個過程可通過編程實現．

3 模型驗證與參數分析

為驗證模型和程序的正確性，參考文獻［9］，以單層鋼絞線算例，鋼絲層數n為1層，R1為2．616mm，R 為2．565mm，則螺旋半徑 r1=R1+R=5．181 mm，螺旋角 αi為82．51°，泊松比 ν為 0．25，鋼絲彈模 E為196．5GPa，鋼絞線軸向應變 ε 為 0．003，扭率分量 為0．將上述參數代入式(1)-(12)，可得F=83．17kN，參考文獻［9］中結果為 83．65 kN，誤差為0．57%．計算結果驗證了模型和程序的正確性．

為討論各參數取值對半平行鋼絲索的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲索的技術參數，取Ф5-127的半平行鋼絲索進行討論，鋼絲直徑取5mm，鋼絲彈性模量E 為197．9GPa，泊松比 ν為0．3，總層數n為15．

為討論螺旋角對索內鋼絲受力的影響，假定索體不產生扭轉，即 =0，鋼絲應變取ε=0．001，變化螺旋角(45°～90°)，可得拉索總軸力、總扭矩和單根螺旋鋼絲軸力隨螺旋角變化的關系曲線，如圖3、4所示．

圖3 總軸力、總扭矩與螺旋角的關系曲線Fig．3 Variation curves of total axial force and total torque with he-lical angle change

圖4 單根螺旋鋼絲軸力與螺旋角的關系曲線Fig．4 Variation curves of axial force with helical angle for a wire

由圖3和4可以看出，隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;圖3(b)中總扭矩的變化則經歷了一個先增加后降低的過程，螺旋角為60°附近時，總扭矩達到峰值;而螺旋角為90°時，軸向荷載作用下總扭矩為0．

假定鋼絲索軸力不變時，取總軸力F為1000kN，拉索軸向應變ε隨螺旋角變化的關系曲線如圖5所示．為研究拉伸過程中彎扭變形能對拉索的影響，取單位長度拉索，拉索拉伸變形能和彎扭變形能可表示為

對比拉伸變形能和彎扭變形能所占的百分比，可以量化彎扭變形能的影響．圖6為拉索能量百分比η隨螺旋角的變化曲線．

圖5 軸向應變隨螺旋角的變化曲線Fig．5 Variation curves of axial strain with helical angle

圖6 能量百分比隨螺旋角的變化曲線Fig．6 Variation curves of energy ratio with helical angle

由圖5可以看出，當總軸力一定時，拉索軸向應變隨螺旋角的增大而減小，且減小的速度逐漸趨緩，其下限值為對應的平行鋼絲索應變．由圖6可以看出，當螺旋角較小時，鋼絲的彎扭變形占主導地位，隨著螺旋角的增大，拉伸應變能所占比例逐漸增加，而彎扭應變能逐漸減小，在55°附近，兩者所占比例相等，當螺旋角為85°時，彎扭應變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

為討論不同螺旋角變化，對應半平行鋼絲索內螺旋鋼絲的軸力不均勻分布，定義鋼絲軸力增長幅度 i如下:

不同螺旋角對應的鋼絲軸力增長幅度如圖7所示．

圖7 不同螺旋角下鋼絲軸力的不均勻分布曲線Fig．7 Nonuniform distribution curves of tensile force for different helical angle

由圖7可以看出，當螺旋角度較小(對應重度扭絞)時，拉索中鋼絲不均勻分布較明顯，相對于并聯模型，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)，分布基本均勻，鋼絲拉力變化幅度為(-0．07%，0．02%)．

軸向荷載作用下，拉索的軸向剛度會降低，為討論拉索軸向剛度隨螺旋角的變化，將總軸力除以拉索橫截面積，可得到拉索截面平均軸向應力，平均軸向應力與中心鋼絲軸向應變關系曲線對應斜率，可反映拉索軸向剛度，用拉索彈性模量Ec表示如下:

拉索平均軸向應力ˉF-軸向應變ε曲線如圖8所示．對于給定的螺旋角，索內平均軸向應力與軸向應變關系曲線為線性關系，直線斜率即為拉索彈性模量，隨著平行鋼絲索螺旋角變小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快．當螺旋角為90°時，拉索彈性模量為197．9GPa，當螺旋角為45°時，拉索彈性模量為68．1GPa，相對于鋼絲的彈性模量降幅達65．5%;在橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)內，由圖8內插可得螺旋角為86°時，拉索彈性模量為195．2 GPa，拉索彈性模量最大降低 1．4%．

圖8 拉索平均軸向應力-應變曲線Fig．8 The mean stress-strain curves of cable

4 結論

推導了多層半平行鋼絲索的靜力拉伸模型，通過數值計算和參數分析研究了索體軸力、扭矩、軸向剛度等變化規律，文中模型不僅適用于半平行鋼絲索，也適用于單層鋼絞線的情況，主要結論如下:

(1)隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;總扭矩的變化則經歷了一個先增加后降低的過程，當螺旋角大于85°時，彎扭應變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

(2)當螺旋角度較小(對應重度扭絞)時，拉索中鋼絲拉力的不均勻分布較明顯，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．

(3)隨著平行鋼絲索螺旋角的減小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快，當螺線角為45°時，最多可降低65．5%，對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍，軸向剛度最大降低1．4%．

實際工程中，拉索鋼絲間接觸變形、由腐蝕、磨損等因素引起的斷絲、滑移等均會改變索內鋼絲的拉力分布，這些因素的影響值得進一步研究．

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