耦合場中軸向壓縮碳納米管的尺度效應*

姚小虎 陳達 歐智成 孫玉剛

(華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640)

納米技術是當今科研領域的熱門技術課題之一，而碳納米管的發現是其最有意義的突破之一．碳納米管具有優異而獨特的機械、力學、電學、化學和光學性能．完美的結構、小尺度、低密度、高硬度和高強度等性質使碳納米管在材料增強、場發射平板顯示器、傳感器和納米電子等領域獲得了廣闊的應用．

對于碳納米管性能的研究，目前主要有納米實驗方法、原子級模擬方法和連續介質力學方法．由于受到納米尺度的限制，碳納米管力學行為的實驗研究是非常困難的．當原子系統比較大時，原子級模擬所要的計算成本是比較高的，這就在實際應用中受到了很大的限制．因此，基于連續介質的力學方法近年來成為研究碳納米管力學性能的主要方法之一．

盡管連續體模型在分析較大尺寸的碳納米管力學問題時起了很重要的作用，但是連續體模型在求解的過程中并不允許涉及其內在尺寸的依賴性．因此不能使用經典連續體模型來研究碳納米管的尺度效應問題．

非局部彈性理論主要用來解釋彈性體中的尺度效應［1］．Li等［2］運用非局部彈性理論對多壁碳納米管的熱屈曲進行了研究．Murmu等［3］基于非局部梁模型研究了單壁碳納米管在溫度變化和周圍彈性介質影響下的屈曲問題，分別考慮了尺度和溫度的影響．

作為納米復合材料和納米元器件基本單元的碳納米管，其工作環境往往是復雜多變的．許多學者只對單個物理場作用下碳納米管的屈曲行為進行了深入的研究，在熱-電-力多場耦合作用下碳納米管的屈曲行為則極少有人問津．Zhang等［4］用分子動力學方法研究了溫度場對單壁碳納米管受軸壓、扭轉和徑向外壓以及扭壓組合荷載作用條件下的屈曲行為和后屈曲行為的影響，同時考慮了初始軸壓作用下單壁碳納米管的熱屈曲問題．辛浩等［5］采用分子動力學方法分別對含缺陷扶手型碳納米管和對應完善結構的碳納米管進行軸向壓縮模擬，通過比較兩者在不同溫度下的承載性能，發現完善結構的碳納米管承載性能比含缺陷的碳納米管承載性能更依賴溫度．Yao等［6］基于經典連續介質力學板殼理論，對多壁納米管在扭矩作用下屈曲受溫度變化的影響做了深入分析．Zhang等［7］基于熱彈性力學理論建立了彈性復合圓柱殼模型，對具有較大長細比受軸壓作用的多壁碳納米管受溫度變化影響進行了探討．Amin等［8］對熱-力-電耦合作用下彈性介質中多壁氮化硼納米管的軸壓屈曲進行了研究．Ghorbanpour等［9］考慮尺度效應，對雙壁碳納米管進行了熱屈曲的研究．Ansari等［10］基于非局部彈性理論與多壁彈性殼模型，研究了溫度變化下碳納米管的軸壓屈曲問題．Narendar等［11］基于非局部彈性梁理論對單壁碳納米管進行了熱屈曲的研究．結合非局部彈性理論的熱屈曲問題的研究還有很多［12-14］，但是基于非局部彈性理論研究多物理場耦合作用下的屈曲問題則極少有人涉及．

基于非局部彈性理論，文中采用彈性殼體模型，計及多壁碳納米管層間范德華力的影響，建立了熱-電-力多場耦合作用下考慮碳納米管尺度效應的屈曲控制方程，從理論上推導與分析多壁碳納米管在多場作用下的軸壓屈曲條件，并給出雙壁碳納米管軸向屈曲臨界載荷的解析解，對其進行參數研究，以期為碳納管的應用與設計提供有價值的依據．

1 非局部理論的本構關系

在經典彈性理論模型中，彈性體內的一點x的應力只取決于該點的應變，而在Eringen的非局部彈性模型［15］中，彈性體內某一參考點x點的應力不僅取決于x點的應變，而且與體內所有其他點的應變相關．非局部理論［8］與經典彈性理論的區別就在于x點以外的點對x點的影響，經典彈性理論的本構關系是忽略了x點以外點的應變影響．對于非局部彈性理論來說，最一般的本構方程形式包含了一個對整個目標區域的積分．因為非局部彈性本構方程涉及到空間積分，該積分體現了體內所有點的應變張量對給定點應力張量貢獻的加權平均，這導致了求解非局部彈性問題解析解的困難．然而，Eringen［15］指出對于一些核函數，積分本構方程可以完全轉化成一個等價的微分形式．因此我們可以得到非局部理論的本構關系為

式中，σij為經典應力張量，cijkl為經典剛度張量，εkl為經典應變張量，2為拉普拉斯算子，e0為與每種材料相對應的常數，需要通過相關的實驗或分子模擬獲得，a為內部特征長度(例如C—C鍵的長度、晶格長度、顆粒距離等)．

2 屈曲控制方程

下式是熱-電-力多場耦合作用下的應力-應變關系［8］:

式中，{σ}、{ε}、{E}和{}分別表示應力、應變、電場和溫度應力系數，θ表示溫度變化值，［C］和［e］T分別表示彈性剛度矩陣和壓電系數．每個系數的值取決于材料的結構性質．

Sai和Mele［16］的研究結果表明，鋸齒型碳納米管與扶手椅型碳納米管在壓電反應上有著不同的性質，鋸齒型碳納米管表現出縱向的單軸應變(拉伸或者壓縮)的壓電反應，而扶手椅型碳納米管則表現出與扭矩耦合的電偶極子力矩，所以兩者在熱-電-力多場耦合作用下的應力應變具體形式是有所區別的，但在推導多壁碳納米管屈曲控制方程時可以得到一個統一的形式，文中因為是做軸壓載荷的研究，所以將以鋸齒型碳納米管為模型．

以彈性圓柱殼為模型，其殼體厚度為t，半徑為r，u、v和w分別代表殼中面的軸向位移(x軸)、環向位移(y軸)和徑向位移(z軸)．結合非局部理論的本構方程(1)，可以給出基于非局部彈性理論多場耦合作用下彈性殼的線性屈曲控制方程:

式中:D=Et3/［12(1- ν2)］，為有效彎曲剛度，E 為殼的彈性模量，ν為殼的泊松比;Nx0、Ny0和 Nxy0為相應方向的前屈曲臨界載荷，包含著熱、電、力場引起的載荷;w'為屈曲徑向位移增量，p為屈曲徑向力增量．

由于碳納米管層間存在范德華力的作用，最外層碳納米管可能會受到彈性介質基體的作用，碳納米管周圍彈性介質基體對碳納米管最外層的作用可以看作為彈性常數為k的“彈簧”作用，這些量都將體現在屈曲控制方程的屈曲徑向力增量p上．假設研究的多壁碳納米管層數為n，即有

式中:Pi代表第i層管的法向力增量;wi表示第i層管徑向位移增量，為簡便且在不引起混淆情況下略去增量位移上標;ri表示為第i層管半徑;c為范德華常數，采用以下取值［17］

式中，d=1．42×10m．

式中，Δri為第i層管半徑變化量．根據應變的關系，容易得到:從而得出與NxiM的關系．

對于多壁碳納米管而言，在屈曲前由于軸向壓縮載荷引起的層間距的變化量為零．換言之，在臨界屈曲發生前由機械載荷引起的范德華力為零．同樣地，可以認為屈曲前由軸向壓縮載荷引起的最外層和彈性介質之間的壓力為零．但是溫度的改變能夠使所有管在法線方向膨脹或者收縮，則屈曲前由熱載荷引起的每層管的范德華力和最外層管與彈性介質之間的壓力不能忽略．

假定各層碳納米管所受軸壓荷載相等，設各層單位長度軸向載荷為Fx，溫度均勻改變量為T，軸向電場強度為Ex，則有:

綜上所述，可以建立基于非局部彈性理論的熱-電-力耦合作用下n層碳納米管的屈曲控制方程:

以雙壁碳納米管為例，從理論上可以給出雙壁碳納米管臨界軸壓屈曲載荷的解析表達式．

取n=2，則基于非局部理論多場耦合作用下雙壁碳納米管的屈曲控制方程為式中，N0x1、N0xy1、N0y1、N0x2、N0xy2、N0y2是由熱、電和力場耦合作用產生的前屈曲載荷．

由于圓柱殼的臨界屈曲載荷對其邊界條件是不敏感的，在文中假定考慮簡支邊界條件，其位移模式如下:

式中，r1、r2為雙壁碳納米管內、外管半徑，L為碳納米管的管長，f1、f2為實常數，m、q分別為碳納米管的軸向波數和周向波數．

根據f1、f2取到非零解的條件，可以得出臨界軸壓屈曲載荷Fx的解析表達式．

3 結果分析

數值計算選取的共同參數具體如下:

低溫和室溫時取:

高溫時取:

當圖中所用數據與上述數據不同時將會在對應的圖中給出．

圖1 不同e0a時φ與r1的關系曲線Fig．1 Relation curves between φ and r1with different e0a

圖2 不同e0時與r1的關系曲線Fig．2 Relation curves betweenand r1with different e0

圖1與圖2分別是無量綱參數φ和臨界軸壓屈曲載荷Fx與雙壁碳納米管內半徑r1的關系曲線，其中r2=r1+0．34nm．從圖1可以看出，當以e0a為一組合的參數時，取不同的e0a值，φ始終小于1，且φ會隨著r1的增大而越來越接近1，說明經典理論下的臨界軸壓屈曲載荷是偏大的．從曲線的前部分來看，也就是r1很小的時候，φ比1小得多或比較小，說明此時采用非局部理論得到的臨界軸壓屈曲載荷比利用經典彈性理論得到的臨界軸壓屈曲載荷要小很多，表明小尺度效應顯著．在該尺度范圍內，經典理論下的臨界軸壓屈曲載荷是偏大很多的，經典理論已經不適合運用在該尺度范圍．從曲線的后半部分來看，也就是r1比較大的時候，φ幾乎接近1，說明此時非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷與經典理論下臨界軸壓屈曲載荷是相近的，表明尺度效應已經不再顯著，在該尺度范圍，經典理論分析不會產生太大的誤差．圖2中，僅考慮e0單獨變化的影響，對比不同曲線，e0越大，小尺度效應越大，可以看到e0越大，其對應的臨界軸壓屈曲載荷F1x越小;當雙壁碳納米管內半徑r1增大時，其小尺度效應相對會變小，所以會逐漸接近經典理論下的臨界軸壓屈曲載荷，因而各曲線會越來越接近，從而趨向一個相同的值．文獻［10］中對多壁碳納米管軸壓屈曲問題進行數值分析，得到的結論是屈曲載荷比會隨著非局部參數e0a的增大而減小，屈曲載荷比小于1，并且當e0a很大時，屈曲載荷比是遠小于1的，這說明小尺度效應會使多壁碳納米管更容易屈曲．這與圖1和圖2得到的結論一致．

圖3與圖4分別給出了在高溫與低溫環境下，臨界軸壓屈曲載荷F1x與溫度變化量T的關系曲線，其中 r1=0．35nm，r2=0．70 nm．從圖3 與圖 4可以看出，在高溫與低溫環境下，以e0a為一組合參數，取不同的e0a，非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷與溫度變化量T的關系是線性的，而且在高溫環

境下是負線性的，在低溫環境下是正線性的．這說明高溫或低溫環境下，溫度上升會導致臨界軸壓屈曲載荷的減少或增加．該結果與前面的研究［18］是吻合的，碳納米管熱膨脹系數在低溫或室溫下是負值，而在高溫下是正值．從不同的e0a的曲線來看，不同e0a代表不同程度的小尺度效應，而e0a的不同，并沒有改變臨界軸壓屈曲載荷與相應溫度環境下溫度變化量的線性關系，只是小尺度效應越大，其對應的臨界軸壓屈曲載荷越小或越大．

圖5是在低溫環境下，臨界軸壓屈曲載荷F1x與電壓U的關系曲線，其中r1=0．35nm，r2=0．70nm．從圖5可知，以e0a為一組合參數，取不同的e0a，非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷F1x與電壓U的關系是線性的，而且是負線性的．說明低溫環境下，電壓的上升會導致臨界軸壓屈曲載荷的下降．從不同的e0a的曲線來看，不同e0a代表不同程度的小尺度效應，而e0a的不同并沒有改變臨界軸壓屈曲載荷與高溫環境下溫度變化量的負線性關系，只是小尺度效應越大的，其對應的臨界軸壓屈曲載荷就越?。?/p>

圖3 不同e0a時F1x與T(高溫)的關系曲線Fig．3 Relation curves betweenand T with different e0a(at high temperature)

圖4 不同e0a時與T(低溫)的關系曲線Fig．4 Relation curves between and T with different e0a(at low temperature)

圖5 不同e0a時與U的關系曲線Fig．5 Relation curves betweenand U with different e0a

4 結論

通過前面數值分析，可以得出以下結論:

(1)在小尺度范圍內，經典理論對臨界軸壓屈曲載荷的分析是高估的，是不適用的，應當用非局部理論來分析;而在比較大的尺度范圍內，經典理論對臨界軸壓屈曲載荷的分析是可以接受的．

(2)溫度場的變化和臨界軸壓屈曲載荷的關系是線性的，高溫情況下是負線性關系，低溫情況下是正線性關系．

(3)電場的變化和臨界軸壓屈曲載荷的關系是負線性關系．

(4)通過單獨變化e0和e0a，能夠看出在較小半徑時臨界軸壓屈曲載荷在不同小尺度效應下的值是不同的，說明小尺度效應在此時影響很大;而在較大半徑時，臨界軸壓屈曲載荷在不同尺度效應下的值是很接近的，說明小尺度效應的影響可以忽略不計．

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