基于優化BP神經網絡的梁結構有限元模型修正*

胡俊亮 余曉琳 鄭恒斌 陳舟 顏全勝，2?

(1．華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640;2．華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東廣州510640)

隨著現代橋梁結構形式的多樣化及復雜化，橋梁結構有限元模型在其計算分析過程中扮演著越來越重要的角色，研究人員投入了大量的精力到有限元模型的精細分析中．一般情況下，結構的固有特性通過現場試驗與有限元模型分析兩種方式來得到．盡管現場試驗存在環境噪聲的干擾、測量儀器的誤差以及試驗人員操作素養等因素而導致試驗結果存在誤差，但是，人們仍然可以認為現場試驗得到的結果一定程度上能夠反映結構的真實狀況．因此，當現場測試結果與有限元模型分析結果不相匹配時，往往需要進行結構有限元模型修正，以期能模擬結構的真實狀況．

Mottershead 和 Friswell［1］認為有限元模型不精確、與試驗結果不相匹配的原因可歸結于以下3個方面:①模型結構誤差;②模型參數誤差;③模型階次誤差．基于上述原因，研究人員將注意力轉移到基于試驗結果的有限元模型修正上．有限元模型修正方法大體可分為兩類:整體結構矩陣型修正方法與參數型修正方法．

整體結構矩陣型修正方法首先由Berman等［2］提出:以有限元模型的質量矩陣M和剛度矩陣K的加權范數最小化為目標函數，以振型正交性和M、K對稱性為約束條件，采用有約束的最小化求解方法進行模型修正．該方法應用了通過振動試驗得到的結構特征向量與振型矩陣(經擴階后的振型矩陣)．模型修正的精度直接與擴階后的振型矩陣精度相關．且通過整體結構矩陣修正得到的結果將改變原有的結構矩陣帶狀、稀疏特性而成為滿秩矩陣，甚至有些元素變為負值，導致得到的結構矩陣物理意義不明確．其后，眾多研究人員根據存在的問題提出了他們的解決方法．Kabe［3］引入元素相關性的概念，提出了一種保持原模型結構矩陣帶狀、稀疏特性的方法;向錦武等［4］提出了通過求解結構矩陣的誤差矩陣，定位誤差較大的單元進行特定單元的修改，保持了原有結構矩陣特性．但這些方法存在的最大問題是經修正后的結構矩陣無法反饋到現有的通用有限元計算軟件中，其適用性大打折扣．

參數型有限元模型修正方法選定特定的參數進行模型修正，使得有限元模型與試驗結果誤差最?。话氵x擇的修正參數有材料彈性模量、密度、構件截面面積等．通常情況下，若修正參數過多，將導致計算工作量過大．因此，基于靈敏度分析方法，找出較敏感的參數進行模型修正可以減少工作量．房長宇等［5］基于靈敏度分析，在貝葉斯理論中引入馬爾科夫鏈-蒙特卡羅算法，提出了基于參數不確定性的有限元模型修正方法;韓芳等［6］提出了基于響應面的有限元模型改進方法．但基于靈敏度的模型優化方法存在這樣一個問題:較敏感的參數不一定就是造成有限元模型誤差的參數，這樣修正后的有限元模型不一定能夠反映結構的真實狀況．因此，Hu等［7］在總結前人工作的基礎上提出了不依賴于靈敏度分析方法的正交模型正交模態(CMCM)法．該方法在修正過程中試驗模態可以與任意一階分析模態進行組合，增加了修正方程的數量和待修正參數的個數，而不需要復雜的優化算法，極大地減少了計算工作量．但是，當修正對象的測試振型與分析振型相關性較好時，使用該方法會出現分母為零或接近零的數值病態問題．后續有眾多研究人員針對參數型有限元模型修正方法做了改進，推動了參數型有限元模型修正方法的應用．韓大建等［8］進一步指出模型修正方法可以應用于結構損傷識別領域．文中采用非靈敏度分析參數型模型修正方法，提出基于遺傳算法優化的BP神經網絡方法進行模型修正，既能避免整體結構矩陣型修正方法的不足，又能綜合平等考慮各參數對結構的影響．

1 基本原理

假設結構原始整體剛度矩陣為K，原始整體質量矩陣為M，則修正后的剛度矩陣、質量矩陣分別為

式中，ki、mi為第 i#單元剛度矩陣與質量矩陣，αi、βi為第i#單元彈性模量修正系數與密度修正系數．

為簡化計算，減少待修正參數數量，將式(1)表達為

式中，α、β為結構整體彈性模量修正系數與密度修正系數．

設有限元模型得到的結構特征向量與振型矩陣為 、Φ．模型試驗得到的結構特征向量與振型矩陣為*、Φ*．若采用測量振型矩陣作為目標函數，則需要將測量振型做擴階處理，如此則會引入擴階過程誤差，且計算工作量較大．可采用特征向量誤差作為目標函數，定義目標函數為

式中，x代表待優化參數，VLB為待優化參數上限值，VUB為待優化參數下限值，以文中算例來說，待優化參數包括結構材料彈性模量、密度以及邊界條件模擬為彈簧的豎向剛度和抗彎剛度．式(3)通常采用優化算法進行迭代求解．文中采用基于遺傳算法(GA)優化的BP神經網絡方法進行求解．

2 基于遺傳算法優化的BP神經網絡

BP神經網絡即誤差反向傳播神經網絡，它是由非線性變換單元組成的前饋網絡，其實質是求解誤差函數最小值問題．近年來，BP神經網絡因其結構簡單，可調參數較多，訓練算法也較多，可操作性好而在結構損傷識別領域得到了廣泛的應用．Ko等［9］研究了采用神經網絡進行信號處理的新穎濾波技術．Wu等［10］將BP神經網絡用于建筑結構的損傷檢測中．Povich等［11］用三層BP神經網絡對一個20跨的平面桁架進行了損傷識別研究．孫宗光等［12］運用了動態網絡和GA網絡進行了橋面結構損傷位置識別，取得了較好的識別效果．宋玉普等［13］采用了基于模態應變能與神經網絡的方法對一個空間鋼網架進行了損傷位置和程度的識別工作，驗證了其方法的有效性．

BP神經網絡存在的學習收斂速度慢、不能保證收斂到全局最小值以及難以準確獲得對網絡訓練影響重大的網絡結構、網絡初始權值和閾值等缺陷，使得其應用受到一定程度的局限．而上述問題一般可通過智能優化方法進行解決，消除該不足之后，BP神經網絡強大的自主學習能力和優越的預測能力能夠在有限元模型修正領域得到有效應用．運用優化算法對神經網絡進行優化可以從兩個方面開展:一是對網絡結構進行優化，即主要確定隱含層數和各隱含層節點數;另一方面則是對網絡初始權值和閾值進行優化．

對于大多數問題，三層BP神經網絡已經足夠，過多的隱含層在計算精度上并沒有太大的提高，卻要耗費更多的計算時間．隱含層節點數按一般經驗:N1=2N2+1來選?。渲蠳2為輸入層節點數，N1為隱含層節點數．對BP神經網絡初始權值和閾值的優化則引入遺傳算法來實現．

構造遺傳算法優化BP神經網絡的步驟如下［14］:

(1)隨機生成BP神經網絡初始權值和閾值，并采用二進制編碼方式產生染色體P．每個個體由輸入層與隱含層連接權值 W1，j、隱含層閾值 b1，j、隱含層與輸出層連接權值W2，j、輸出層閾值b2，j4個部分組成:P=［η，W1，W2，b1，b2］，η 表示隱含層層數，此時只有一層隱含層，W1為由連接權值 W1，1，…，W1，j，…組成的向量，W2為由連接權值 W2，1，…，W2，j，…組成的向量，b1為由閾值 b1，1，…，b1，j，…組成的向量，b2為由閾值 b2，1，…，b2，j，…組成的向量．

(2)選擇神經網絡預測樣本預測值yt(k)與期望值^y(k)誤差矩陣的范數作為目標函數的輸出，即

式中，q為網絡訓練輸入輸出樣本對個數，s為網絡輸出節點個數．

適應度函數采用Sheffield遺傳算法工具箱中適應度分配函數:FitnV=ranking(obj)來取，其中obj為目標函數的輸出．

(3)選用隨機遍歷抽樣算子進行選擇操作;交叉算子選擇最簡單的單點交叉算子;變異概率取為0．01，用隨機方法選出發生變異的基因．

(4)得到的神經網絡權值和閾值不滿足誤差要求，回到第(1)步．

(5)得到的BP神經網絡權值和閾值滿足誤差要求，則訓練新得到的BP神經網絡，將實測連續梁模型特征值向量作為輸入得到優化參數．

(6)將優化參數輸入到有限元分析模型，若得到的分析頻率不滿足精度要求，則修改初始權值和閾值范圍，重新進入第(1)步;當優化參數滿足精度要求時，有限元模型優化結束．

具體流程圖如圖1所示．

圖1 基于遺傳算法優化的BP神經網絡流程圖Fig．1 Flow chart of BP neural network optimized by genetic algorithms

3 算例

圖2所示為混凝土連續梁模型結構，全長3800mm，采用 C35混凝土澆筑，分別在50、1050、2750、3750 mm位置進行約束，約束細部詳見圖3．采用有限元軟件ANSYS建立該連續梁分析模型如圖4所示．以3自由度梁單元 (UX，UY，RotZ)Beam3模擬連續梁體，以Combin14單元模擬豎向約束UY和繞Z軸彎曲約束RotZ．梁體分為38個單元，按照約束位置建立4個豎向彈簧單元、4個彎曲彈簧單元，并在第1個約束位置約束縱向DX自由度．將混凝土梁彈性模量E、密度ρ以及彈簧單元豎向剛度系數Ku和抗彎剛度系數Kr作為待修正系數．設其初始取值范圍如表1所示．根據材料特性和工程經驗設定合理的待修正參數取值范圍可以大大降低尋優過程時間．

圖2 連續梁結構示意圖(單位:mm)Fig．2 Schematic diagram of structure of continuous beam(Unit:mm)

圖3 連續梁約束細部圖Fig．3 Details of continuous beam constraint

圖4 連續梁有限元模型Fig．4 Continuous beam finite element model

3．1 模型修正

編制Matlab與ANSYS接口程序，選擇上述范圍內待修正參數50組隨機數，分析得到50組結構頻率．因實測結構模態為已知量，因此在進行神經網絡學習時，將結構頻率作為輸入，待修正參數為輸出．取前40組數據作為訓練樣本，后10組數據作為測試樣本．由于待優化參數存在數量級上的差別，為平等考慮各優化參數，避免優化得到的BP神經網絡權值和閾值的不穩定，將待優化參數的數值進行歸一化處理后作為輸出．得到經遺傳算法優化后的BP神經網絡權值和閾值后，訓練BP神經網絡．根據測試樣本得到的結果發現，經50代遺傳優化后遺傳算法得到最優權值和閾值，優化BP神經網絡算法誤差降低到0．1%以下，滿足結果精度要求．遺傳算法迭代曲線如圖5所示，BP神經網絡訓練誤差性能曲線如圖6所示．將實測頻率作為輸入得到神經網絡輸出結果，修正后的參數如表1所示．

圖5 遺傳算法遺傳誤差迭代曲線Fig．5 Error iterative curve of genetic algorithm

圖6 BP神經網絡誤差變化曲線Fig．6 Error curve of BP neural network

表1 修正參數對比Table 1 Modified parameters comparison

為避免高階模態測量誤差導致模型修正的誤差，僅取前四階頻率作為模型修正目標函數的標準值．綜合考慮優化算法的修正能力，分別按照未優化、BP算法優化、遺傳算法優化的 BP神經網絡(GABP)算法優化3種方式考慮模型修正結果．修正后頻率對比見表2．當未進行任何優化時，前兩階頻率與實測值接近，但是三、四階頻率誤差在15%以上;當BP神經網絡權值未采用遺傳算法優化時，得到的修正模型計算頻率誤差在4%左右，整體精度有所提高，但是前兩階頻率精度較未優化時反而有所降低;采用GA優化后的神經網絡得到的修正模型分析頻率誤差在0．5%以下，精度得到了很大的提高．最重要的是，就本算例來說，采用GA算法對BP神經網絡初始權值和閾值進行優化后，當預設相同計算精度時，GABP方法計算效率要高得多，可以達到直接BP修正方法的2倍以上。

表2 修正后頻率對比1)Table 2 Frequency comparison odter modification

3．2 模型修正驗證

模態保證準則［15］利用振型的正交性來分析比較兩個振型之間的關聯性．最早被提出是評估試驗模態特征向量質量的需要，后廣泛應用于結構損傷識別領域［16-19］．文中利用MAC作為有限元模型修正的評價指標．當MAC矩陣的數值趨于0時，說明兩個振型之間無相關性，當MAC矩陣數值趨于1時，說明兩個振型之間完全相同．MAC矩陣的計算式如下所示:

各方法MAC值如表3所示．經過模型修正后MAC值對角數值均在0．9以上，特別是經過GABP方法修正后MAC矩陣對角數值均在0．94以上，說明修正后分析振型與測量振型具有高度相關性．

圖7示出了測量振型與模型修正后計算振型的對比．為保證分析振型與測量振型數量級的一致性，按照振型比例系數［20］對各分析振型做預處理．從圖7可知，第1、2階振型各分析振型與測量振型吻合度較高，第3、4階未修正模型分析振型與測量振型有較大差別，而BP修正模型與GABP修正模型分析振型與測量振型高度吻合．振型對比結果與頻率計算結果具有類似的規律．

4 結論

文中提出了基于遺傳算法優化的BP神經網絡方法，對一個三跨連續梁試驗模型進行了有限元模型修正，得到以下結論:

(1)修正后有限元模型的預測誤差有了較大程度的降低，說明采用文中方法進行有限元模型修正具有較高的精度，MAC矩陣與振型對比結果同時說明了該方法的有效性;基于GA優化的BP神經網絡計算效率有了較大的提高，能更快得到收斂結果;

表3 各方法MAC值列表Table 3 MAC values list of each method

圖7 前4階振型對比Fig．7 The first 4 mode shapes comparison

(2)采用GA優化后神經網絡結果顯著高于采用隨機權值和閾值的神經網絡模型修正結果;

(3)對文中算例而言，僅考慮全局參數的優化就得到滿足精度要求的修正有限元模型，說明在大部分情況下，不必以單元尺度來進行參數優化，這樣可大大降低計算工作量;

(4)根據頻率對比與振型對比結果發現，GABP修正方法得到的頻率較BP修正方法有較大的提高，而二者振型并沒有明顯的差別，說明了振型測量的不敏感性，因此，在進行模型修正時可以較敏感的頻率而非位移振型作為修正的目標函數．

［1］Mottershead J E，Friswell M I．Model updating in structural dynamics:a survey ［J］．Journal of Sound and Vibration，1993，167(2):347-375．

［2］Berman A，Flannelly W G．Theory of incomplete models of dynamic structures［J］．AIAA，1971，9(8):1481-1487．

［3］Kabe A M．Stiffness matrix adjustment using mode data［J］．AIAA，1985，23(9):1431-1436．

［4］向錦武，周傳榮，張阿周．基于建模誤差位置識別的有限元模型修正方法［J］．振動工程學報，1997，10(1):1-7．Xiang Jin-wu，Zhou Chuan-rong，Zhang A-zhou．Modification of finite element model based on identified error locations［J］．Journal of Vibration Engineering，1997，10(1):1-7．

［5］房長宇，張耀庭．基于參數不確定性的預應力混凝土梁模型修正［J］．華中科技大學學報:自然科學版，2011，39(11):87-91．Fang Chang-yu，Zhang Yao-ting．Model updating of prestressed concrete beams using parameters uncertainty［J］．Journal of Huazhong University of Science and Technology:Natural Science Edition，2011，39(11):87-91．

［6］韓芳，鐘冬望，磨季云．基于改進響應面法的結構模型修正研究［J］．武漢理工大學學報:交通科學與工程版，2012，36(1):196-198．Han Fang，Zhong Dong-wang，Mo Ji-yun．Research on model updating based on improved response surface method［J］．Journal of Wuhan University of Technology:Transportation Science ＆ Engineering，2012，36(1):196-198．

［7］Hu S L，Li H J，Wang S Q．Cross-model cross-mode method for model updating［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(4):1690-1703．

［8］韓大建，王文東．基于振動的結構損傷識別方法的近期研究進展［J］．華南理工大學學報:自然科學版，2003，31(1):91-96．Han Da-jian，Wang Wen-dong．Overview of vibration-based damage identification methods［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2003，31(1):91-96．

［9］Ko H，Baran R，Arozullah M．Neural network based novelty filtering for signal detection enhancement［C］∥Proceedings of the 35thMidwest Symposium on Circuits and Systems．Washington D C:IEEE，1992:252-255．

［10］Wu X，Ghaboussi J，Garrett J H．Use of neural networks in detection of structural damage［J］．Computers ＆Structures，1992，42(4):649-659．

［11］Povich C R，Lim T W．An artificial neural network approach to structural damage detection using frequency response functions［C］∥Proceedings of the 1994 AIAA/ASME Adaptive Structures Forum．Washington D C:American Institute of Aeronantics and Astronautics，1994:151-159．

［12］孫宗光，高贊明，倪一清．基于神經網絡的橋梁損傷位置識別［J］．工程力學，2004，21(1):42-47．Sun Zong-guang，Gao Zan-ming，Ni Yi-qing．Identification of damage location in bridge deck by neural network［J］．Engineering Mechanics，2004，21(1):42-47．

［13］宋玉普，劉志鑫，紀衛紅．基于模態應變能與神經網絡的鋼網架損傷檢測方法［J］．土木工程學報，2007，40(10):13-18．Song Yu-pu，Liu Zhi-xin，Ji Wei-hong．Damage diagnosis of spatial trusses based on modal strain energy and neural network ［J］．China Civil Engineering Journal，2007，40(10):13-18．

［14］史峰，王輝，郁磊，等．MATLAB智能算法30個案例分析［M］．北京:北京航空航天大學出版社，2011．

［15］Allemang R J，Brown D L．A correlation coefficient for modal vector analysis［C］∥Proceedings of International Modal Analysis Conference．Orlando:SEM，1982:110-116．

［16］George H，Rene B Testa．Modal analysis for damage detection in structure［J］．Journal of Structural Engineering，1991，117(10):3042-3063．

［17］Wahab M M A，Roeck G D．Damage detection in bridges using modal curvatures:application to a real damage scenario［J］．Journal of Sound and Vibration，1999，226(2):217-235．

［18］Yan Y J，Cheng L，Wu Z Y，et al．Development in vibration-based structural damage detection technique［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(5):2198-2211．

［19］Sherif B，Toshiyuki O，Shuichi M．Wavelet-based technique for structural damage detection ［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2010，17(5):473-494．

［20］Chen H P，Bicanic N．Assessment of damage in continuum structures based on incomplete modal information［J］．Computers ＆ Structures，2000，74(5):559-570．