方程解的存在唯一性定理及其在神經元網絡模型研究中的應用

張麗俊，張家豪

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

方程解的存在唯一性定理及其在神經元網絡模型研究中的應用

張麗俊，張家豪

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

研究利用函數的性質研究方程解的存在性和唯一性問題的方法，得到了一個判斷方程解唯一性的定理，進而利用該定理證明了神經元網絡模型中的一類非線性積微分方程波前解的存在唯一性問題，大大簡化了原文獻中的證明。

解的存在性和唯一性；積微分方程；波前解

0 引 言

關于方程f（x）=0解，即函數y=f（x）零點的存在性和唯一性問題是高等數學中最基本也是最重要的問題之一。微積分學中關于利用函數的連續性或者可微性來證明方程解的存在性和唯一性問題的基本定理有介值定理和中值定理［1］，而這兩個定理正是微積分學中的基礎和重要的定理。本文研究方程解的存在性和唯一性的證明方法，并給出一個利用函數及其導函數的關系判斷函數零點唯一性的定理，并利用該定理證明神經元網絡模型中的一個模型方程波前解對應的波速方程解的唯一性問題，以期簡化文獻中的證明。

證明函數y=f（x）的零點存在性問題的一個最基本的思路和定理就是介值定理，即若函數y=f（x）是一個閉區間［a，b］上的連續函數，且f（a）f（b）=0，那么在該區間內至少有該函數的一個零點存在。介值定理已被廣泛應用于證明涉及解的存在或者說函數零點的存在性問題上。除此之外，中值定理也可以巧妙地用來證明函數的零點問題，例如可以構造函數y=f（x）的原函數F（x），然后證明函數F（x）在某個閉區間上滿足中值定理的條件，即：若y=F（x）在［a，b］連續，（a，b）可導，F（a）=F（b），則至少存在一點c∈（a，b）使得F′（c）=f（c）=0。然而對于證明方程解唯一性問題的最基本的一個思路就是若能證明函數是單調的，則函數的零點若存在則必是唯一的。但顯然函數單調的要求過于苛刻，一般情況下函數都不能滿足。另外還有一個基本的想法，那就是利用反證法證明可微函數零點的唯一性。若假設該函數至少有兩個零點，利用函數與其導函數的關系推出矛盾的結論，則可以證明該函數的零點若存在必然是唯一的。本文基于這個思路給出了一個關于函數零點的唯一性定理，結論如下：

定理1 若函數f（x）是定義在某個區間I上的可微函數，則有下列結論成立：

（A）若存在非負函數g（x），使得f′（x）＞g（x）·f（x），則對任何A≥0，若在區間I的內部有點x0使得f（x0）=A，則x0必是唯一的；

（B）若存在正值函數g（x），使得f′（x）≥g（x）·f（x），則對任何A＞0，若在區間I的內部有點有x0使得f（x0）=A，則x0必是唯一的。

1 定理1證明

在本節將給出定理1的證明。

證明：本文將對結論（A）進行證明，結論（B）證明類似而省略。

對任何實數A≥0，若有x0使得f（x0）=A，則由已知條件可知

所以函數f（x）在x=x0的一個包含在區間I內的小鄰域（x0-ε，x0+ε）內是嚴格單調遞增的，從而任意x∈（x0，x0+ε］，f（x）＞A。若有x1≠x0使得f（x1）=f（x0）=A，不妨設x1＞x0，且對于任意x∈（x0，x1）都有，f（x）≠A，即取x1為函數f（x）位于x=x0右側的第一個值達到A的點。由已知條件可知f（x）在區間［x0+ε，x1］上滿足拉格朗日中值定理條件，而f（x0+ε）＞A=f（x1），所以至少存在一個點ξ∈［x0+ε，x1］，使得f′（ξ）=。然而f′（ξ）=g（ξ）f（ξ）≥0，得到矛盾。所以假設存在x1≠x0使得f（x1）=f（x0）=A不成立，即x0若存在就必是唯一的。

當然關于函數零點的唯一性還有其他的證明方法，例如可以利用函數在零點左右兩側的極值的特點證明函數零點的唯一性，若能夠證明函數在某點一側的最大值小于0，而另一側的最小值大于零，則顯然該零點是唯一的。下面將利用定理1來證明神經元網絡的模型方程中一類基本的積微分方程的波前解的對應波速方程解的唯一性問題。

2 神經元網絡系統中一類非線性積微分方程波前解的存在唯一性

2.1 模型的背景以及數學假設

神經元網絡的模型方程中有一個基本的模型方程［2-3］：

其中，R表示全體實數集，其右側積分中的函數H（x）常被取為Heaviside函數，即：

K（x）被稱為核函數，往往被理解為是概率密度函數。一般情況下核函數K（x）具有下列基本的性質：核函數K（x）幾乎處處光滑，在x=0處連續，且有：

其中，C、ρ是正常數，R表示全體實數集。一般的模型中的核函數具有下列三類。

第一類：非負的核函數，即，K（x）≥0，x∈R。非負核函數對應了神經元網絡中的單純激勵的模

圖1 第一類核函數

圖2 第二類核函數

對于以上三類核函數，以及其他一些類型的核函數，該方程的波前解的存在性、唯一性以及穩定性在近年來得到了廣泛的關注［2-8］。這些研究論文中最基本的一種方法和思路就是通過證明所謂“波速指標方程”解的存在唯一性來證明的［6-9］。

圖3 第三類核函數

2.2 波速指標函數解的存在唯一性研究

行波解是方程的一類形如u（x，t）=U（z）=U（x+ μt）的解，這類解中的波前解因為具有和神經元傳輸類似的性質而得到了廣泛關注。波前解的典型特征是。顯然模型方程（1）是一個非線性積微分方程，為了得到其波前解，通過行波變換將該非線性偏微分積分方程化為下列常微分積分方程：

一般來說對于非線性方程（2）我們是無法求出其解的，然而若方程（2）的解能夠滿足下列條件H 1：

若進一步假設0＜μ＜c，則非線性方程（1）就可以退化為一個簡單的一階線性微分方程：

利用一階線性常微分方程求解方法［10］容易求出方程（3）的精確解為：

但注意到函數（4）并不一定是方程（2）的解，除非函數（4）滿足條件（H 1），所以為了證明這類解的存在和唯一性，必須證明存在唯一的波速μ0使得函數（4）滿足假設條件U（z）＜θ，z＜0；U（0）=θ；U（z）＞θ，z＞0。利用條件U（0）=θ，通過積分的變量代換，得到：

即：

若令“波速指標方程”

則證明存在唯一的波速μ0使得

成立是證明函數（4）是原模型方程（1）唯一波前解的一個必要條件，顯然這個問題就是證明函數零點解的存在性與唯一性問題。對于存在性問題，易見波速指標方程φ（μ）是（0，c）上的連續函數，且，補充定義φ（μ）在0處值為0，c處值為，則φ（μ）就是［0，c］上的一個連續函數，利用閉區間上連續函數的介值定理可知對任意θ∈）則存在使得然而對于該方程解唯一性問題的證明就困難了許多。利用式（6），對其求導得到

若核函數K（x）是屬于第一類的，即，K（x）≥0，則顯然，φ′（μ）＞0當核函數是屬于第二類的，即存在正常數M和N使得函數K（x）≥0當x∈（-M，N）；而K（x）≤0當x∈（-∞，-M）∪（N，+∞），在任何區間上不恒為0且滿足，則有

所以速度指標函數y=φ（μ）是一個單調遞增的函數，所以μ0是方程（7）的唯一解。然而對于第三類核函數，文獻［8］用了4頁的篇幅證明了μ0是方程（7）的唯一解。下面我們將利用定理1給出一個簡單明了的證明。

定理2 假設K（x）是滿足條件（H）的一個核函數，若存在正常數M和N使得函數K（x）滿足且K（x）在任何區間上不恒為0，則存在唯一的μ0使得函數

證明：對于μ0的存在性問題如上面所討論的已經用介值定理證明。下面只需要證明其唯一性問題。由式（8）以及K（x）所滿足的條件，并結合φ（μ）的表達式（6）可知

3 結 論

文獻［8］中作者通過構造一個函數列的方法，用了4頁的篇幅證明了μ0是波速指標方程-θ的唯一解。顯然，定理2的證明相對于原來文獻的證明簡單明了許多。雖然當核函數取第三類核函數時速度指標函數y=φ（μ）不再是一個單調遞增的函數，但是從定理2的證明中可以看出該函數一旦與x軸相交后一定是穿過x軸之后是單調遞增的，該證明方法和思路可以推廣到其他類型的核函數的波速方程解的存在唯一性問題的相關證明中，本文為該類問題的證明提供了一條簡單的思路和方法。

［1］華東師范大學數學系.數學分析：上冊［M］.3版，北京：高等教育出版社，2001.

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［9］Zhang L.Dynamics of neuronal waves［J］.Mathematische Zeitschrift，2007，255（2）：283-321.

［10］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］，北京：高等教育出版社，2004：164-167.

A Theorem on Existence and Uniqueness of Solutions to Equations and lts Application in the Study of Neuronal Network Model Equations

ZHANG Li-jun，ZHANG Jia-hao
（School of Sciences，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

A theorem on the uniqueness of the solutions to equations by studying the properties of corresponding functions is obtained in this paper.The uniqueness of the wave front solutions to a class of integral-differential model equations in neuronal network is proved by applying this theorem，which greatly simplifies the original proof in literature.

existence and uniqueness of solution；integral-differential equations；wave front solution

O175.14

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）03-0316-04

2013-12-20

國家自然科學基金項目（11101371）

張麗?。?973-），女，杭州人，副教授，博士，主要從事動力系統理論及其在非線性方程中的應用研究。