一類非線性拋物型方程反問題的中心差分正則化算法

張海麗，葛美寶，徐定華

（1.同濟大學浙江學院，浙江嘉興314000；2.浙江理工大學，a.科學與藝術學院；b.理學院，杭州310018）

一類非線性拋物型方程反問題的中心差分正則化算法

張海麗1，葛美寶2a，徐定華2b

（1.同濟大學浙江學院，浙江嘉興314000；2.浙江理工大學，a.科學與藝術學院；b.理學院，杭州310018）

大量線性與非線性拋物型方程反問題以各種不同形式出現在不同應用背景下，這類方程的研究有重要的應用價值，但是非線性拋物型方程反問題存在不適定性，文中利用半中心差分法思想設計了穩定的數值算法求解反問題，研究了一類半線性拋物型方程逆時反問題的數值算法并進行數值模擬。數值模擬結果與精確解相吻合，說明了算法的有效性。

非線性拋物型；反問題；半中心差分；數值模擬；爆破時間

0 引 言

本文研究非線性拋物型方程的混合問題：

若給定源項f（·）、邊界條件和初始條件s（t），l（t），h（x），定解問題（1）的求解稱為正問題。根據拋物方程理論，在適當條件下，上述問題的解存在且唯一。若已知測量數據g（x）≡u（x，T）｜x∈［0，1］決定u（x，t），0＜x＜1，0≤t＜T的值，該問題稱為逆時反問題。這類反問題有著非常重要的應用價值，引起了國內外反問題研究者的廣泛關注和研究［1-7］。文獻［4］利用中心差分法求解了一類含有源項的熱傳導方程的逆時反問題，結果表明數值解與精確解反演良好。本文利用文獻［5］中提到的中心差分方法進行了數值模擬，模擬結果表明了該方法的有效性。對于上述問題，由于g（x）是有誤差的觀測數據，即使對于g（x）的微小誤差也會引起解u（x，t）發生巨大變化。于是本文利用半中心差分正則化方法［5］的思想將此問題進行處理。

1 中心差分正則化方法

通過中心差分代替uxx，于是方程（2）近似變形為

利用二階中心差分，在xi處用差商的形式代替微分wxx，則（3）變形為

又由方程（2）中的邊界條件可得出：

這時，方程（4）加上初始條件就會得到如下形式：

該問題是個帶有初始條件的非線性的常微分方程組，通常情況可利用龍格庫塔方法進行數值求解。但是根據三對角矩陣特征值的計算公式可知，上面矩陣A的特征值為（正整數集）。于是可知方程（5）的數值求解方法是不穩定的。故作變換：

其中a＞0為壓縮因子。公式（4）變成為如下形式

類似可得

2 數值模擬

2.1 正問題的模擬

考慮下面的正問題：

令x1=0，xi=（i-1）h，i=2，…2n，x2n+1=0，，其中，空間步長h=，時間步長τ=。經過剖分離散，這時顯式的差分格式為：當滿足步長比，該差分顯格式具有穩定性。先將空間與時間經過剖分，獲得網格m=101

圖1 正問題的精確解

圖2 正問題的數值解

圖3 T=0.01的精確解與數值解

圖4 精確解與數值解的誤差

2.2 逆時反問題的模擬

通過中心差分正則化方法可進行逆時的反演，并結合上面算例正問題的模擬結果進行比較。采用終值時刻去反演初始時刻，即由u（x，T）的測量數據去反演u（x，0）時刻的值。

仍采用以上剖分，選擇空間步長h=0.1和m=100。發現取b=4.6算法結果相對比較好，這也與矩陣穩定性的分析結果相吻合。數值模擬結果如圖5和圖6所示（實線代表精確解，星線代表數值解）。行、n=11列數據。此時正問題的精確解與數值解如圖1和2。

選擇時間的最后一行的數據，即g（x）=u（x，T=0.01）時的精確解和數值解進行比較，發現數值解與精確解之間的誤差很小。模擬結果如圖3和4所示（實線代表精確解，星線代表數值解）。

圖5 精確解與數值解

圖6 精確解與反演解的絕對誤差（T=0.001的情形）

如果分別取n=11和m=50，發現取b=2結果比較好，見圖7和圖8中的數值解與精確解非常吻合。

圖7 精確解與數值解

圖8 精確解與數值解的絕對誤差（T=0.000 1的情形）

3 結 論

本文利用了半中心差分的正則化方法對一維半線性拋物型方程的反問題進行了數值模擬，結果驗證了該算法的有效性。算例中終值時刻T取值較小，這與正問題的解爆破時間有關系，這是由于隨著時間增加，方程解發生了爆破，結果見圖9-圖12。故終值時刻T的取值不宜太大，否則會發生爆破。這也正是在實際計算中要求合理地選擇探測數據獲取時間的原因（取樣時刻T）。

圖9 T=0.03時刻的溫度分布

圖10 T=0.04時刻的溫度分布

圖11 T=0.042時刻的溫度分布

圖12 T=0.042 7時刻的溫度分布

本文空間步長選取非常關鍵，它起到正則化參數的作用。同時參數b的選取也是很重要的，它對數值結果的穩定性有影響。關于此算法的理論證明和分析，下一步將繼續進行研究。

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Central Difference Regularization Algorithm for a Kind of lnverse Problems of Nonlinear Parabolic Equations

ZHANG Hai-li1，GE Mei-bao2a，XU Ding-hua2b
（1.Tongji Zhejiang College，Jiaxing 314000，China；2.Zhejiang Sci-Tech University，a.School of Science and Art；b.School of Sciences，Hangzhou 310018，China）

A large number of inverse problems of linear and nonlinear parabolic equations occur in different application contexts in various forms.It is extremely important to study on these equations，but inverse problems of nonlinear parabolic equations are ill-posed.This paper uses semi-discrete central difference method to design a stable numerical algorithm to solve inverse problems，studies a kind of numerical algorithm to solve inverse problems of semi-linear parabolic equations，and conducts numerical simulation. Results of numerical simulation are consistent with exact solutions，indicating that this algorithm is effective.

nonlinear parabolic；inverse problems；semi-discrete central difference；numerical simulation；blow up time

O175.26

A

（責任編輯：李啟正）

1673-3851（2014）03-0320-05

2012-12-19

國家自然科學基金（NSFC11071221、NSFC10561001）；浙江理工大學科研基金（KY2012015）

張海麗（1982-），女，河北張家口人，助教，碩士，從事數學物理方程反問題的研究。