Arps遞減微分方程的推導及應用

陳元千，郝明強

（中國石油勘探開發研究院，北京100083）

1945年，Arps［1-2］通過定義損失比（Loss ratio）參數，對油井實際產量遞減數據進行統計分析，并在未經推導的情況下提出了一個常微分方程。在此基礎上，首創性建立了指數、雙曲、調和3 種遞減模型，受到學界的高度重視，并被世界各石油公司和儲量價值評估公司廣泛應用于產量和可采儲量預測。筆者在此方面通過長期深入研究，也取得了一些成果［3-16］。本文應用文獻［3］的研究成果，對Arps 微分方程進行了理論推導。

1 Arps 微分方程的推導

Arps 遞減率為單位時間的產量變化率［1-2］，表示為

式中：D 為遞減率，月-1或a-1；q 為遞減階段產量，m3/月或104m3/a；t 為生產時間，月或a。

由此，Arps 初始遞減率Di可相應表示為［2］

式中：qi為初始階段產量，m3/月或104m3/a。文獻［3］給出遞減率與時間的關系式為

式中：n 為遞減指數，取值［0，1］，n=0 時產量為指數遞減，0

對式（3）兩邊求倒數后，得出

實際數據［1］表明D-1-t 呈直線關系（見圖1），相關系數高達0.999 2，這證明了式（4）的正確性。

圖1 D-1-t 關系曲線

對式（4）兩邊關于t 進行求導，得

式（5）清晰地展現了遞減指數n 的含義。將式（1）代入式（5），即可得出與Arps 相同的二階常微分方程：

對式（6）兩邊積分，得到Arps 一階常微分方程為

式中：c 為積分常數。

當t=0 時，q=qi，由式（7）得

結合式（2），得

將式（9）與式（7）結合，可得

式（10）也可由式（4）結合式（1）直接得出，式（5）—式（7）的推導過程便于理解Arps 微分方程的由來。

2 Arps 微分方程的應用

在Arps 微分方程基礎上，在［0，1］區間假定不同的n 值，由式（10）求解得出Arps 的3 種遞減模型。

2.1 指數遞減模型

當n=0 時，可將式（10）改寫為

對式（11）求倒數，并關于q，t 分離變量積分，得到

對式（12）求積、簡化，得到Arps 指數遞減模型為

2.2 雙曲遞減模型

當0

對式（14）求積并整理，得到Arps 雙曲遞減模型為

2.3 調和遞減模型

當n=1 時，由式（10）可得

對式（16）進行分離變量積分，得到

對式（17）求積并整理，得到Arps 調和遞減模型為

［1］Arps J J.Analysis of decline curve［J］.Trans.A.I.M.E.，1945（160）：228-247.

［2］Arps J J.Estimation of primary oil reserves［J］.Trans.A.I.M.E.，1956（207）：182-186.

［3］陳元千.雙曲遞減分析的一個簡單方法［J］.天然氣工業，1989，9（2）：24-27.

［4］陳元千.油氣藏工程計算方法［M］.北京：石油工業出版社，1990：223-227.

［5］陳元千，李璗.現代油藏工程［M］.北京：石油工業出版社，2001：127-161.

［6］陳元千.確定遞減類型的新方法［J］.石油學報，1990，11（1）：74-80.

［7］陳元千.確定定容氣藏遞減類型的新方法［J］.石油勘探與開發，1984，11（3）：52-59.

［8］陳元千.常數百分遞減的分析［J］.天然氣工業，1986，6（1）：47-50.

［9］陳元千.判斷油田遞減類型的新式典型曲線圖［J］.中國海上油氣（地質），1993，7（6）：33-39.

［10］胡建國，吳劍霞，陳元千.產量遞減分析的典型曲線圖［J］.新疆石油地質，1993，14（2）：147-151.

［11］陳元千.雙曲線遞減的簡化及確定可采儲量的截距法［J］.天然氣工業，1994，14（4）：32-37.

［12］陳元千.利用遞減參數確定可采儲量的方法［J］.石油勘探與開發，1994，21（3）：95-98.

［13］陳元千.廣義的КОПЫТОВ公式及其應用［J］.石油勘探與開發，1991，18（1）：56-61.

［14］陳元千，胡建國.新型遞減曲線方程的推導及應用［J］.新疆石油地質，1992，13（3）：251-256.

［15］陳元千.預測油氣田可采儲量和剩余可采儲量的快速方法［J］.新疆石油地質，2005，26（5）：544-548.

［16］陳元千，王孝金，程繼榮，等.適用于海外合作開發油田預測可采儲量、產量和儲采比的方法［J］.中國海上油氣，2011，23（6）：380-383.