關于不定方程x2-8y4=M(M=17,41,73,89,97)*

管訓貴

(泰州學院 數理學院，江蘇 泰州 225300)

1 引言及主要結論

設d,k為給定的整數，且d>0為非平方數，k≠0.N(d,k)表示不定方程

x2-dy4=k

(1)

的正整數解的個數.

1983年，Tzanakis[1]對不定方程(1)進行了系統研究，證明了

定理1a)N(2,17)=0，在y≡0(mod 8)時；b)N(2,41)=0，在y≡0(mod 8)時；

c)N(2,73)=0，在2|y且y?0(mod 3)時；d)N(2,89)=0，在y≡0(mod 16)時；

e)N(2,97)=0，在y≡0(mod 8)時.

定理2a)N(8,17)=0，在y≡0(mod 8)時；b)N(8,41)=0，在y≡0(mod 4)時；

c)N(8,73)=0，在2|y且y?0(mod 3)時；d)N(8,89)=0，在2|y且y?0(mod 5)時；

e)N(2,97)=0，在y≡0(mod 4)時.

2020年，管訓貴[2]運用初等方法完全解決了定理1，即證明了

定理3i)N(2,17)=2，(x,y)=(7,2)，(23,4)；ii)N(2,41)=0；iii)N(2,73)=0；iv)N(2,89)=2，(x,y)=(11,2)，(91,8)；v)N(2,97)=0.

可是，定理2至今尚未得到改進.本文仍用初等方法，獲得

定理4i)N(8,17)=1，(x,y)=(5,1)；ii)N(8,41)=3，(x,y)=(7,1)，(13,2)，(71,5)；iii)N(8,73)=1，(x,y)=(9,1)；iv)N(8,89)=1，(x,y)=(283,10)；v)N(8,97)=1 ，(x,y)=(15,2).

2 定理4的證明

為便于下文應用，我們先列出Pell方程U2-8V2=1的遞推序列和數論性質：

un+2=6un+1-un，u0=1，u1=3；

(2)

vn+2=6vn+1-vn，v0=0，v1=1；

(3)

un+r=unur+8vnvr，vn+r=unvr+vnur；

(4)

(5)

u-n=un，v-n=-vn;

(6)

(7)

un+2km≡(-1)kun(modum)；vn+2km≡(-1)kvn(modum).

(8)

下面證明定理4.

i) 設相應的不定方程為

x2-8y4=17.

(9)

易知，方程X2-8Y2=17的一般解可由以下2個非結合類給出：

或

若方程(9)有整數解，則必有n，使得

y2=±(un+5vn)，或y2=±(un-5vn)=±(u-n+5v-n).

當n≥0時，un+5vn>0；當n<0時，un+5vn<0.因此可歸結為

y2=un+5vn，n≥0；

(10)

或

y2=-un+5vn，n>0.

(11)

先討論式(10).文中用T表示取模所得剩余序列的周期.

利用(2)和(3)對式(10)取模5，得T=6，且當n≡1,2,4,5(mod 6)時，un+5vn≡3,2,2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0，3(mod 6)，即n≡0，3,6,9(mod 12).

對式(10)取模11，得T=12，且當n≡3,6(mod 12)時，un+5vn≡10(mod 11)為模11的平方非剩余，故排除，剩n≡0，9(mod 12)，即n≡0，9,12,21(mod 24).

對式(10)取模1153，得T=24，且當n≡9,21(mod 24)時，un+5vn≡76，1077(mod 1153)均為模1153的平方非剩余，故排除，剩n≡0，12(mod 24)，即n≡0(mod 12).

若n≠0，則可設n=2×2t(2k+1)(t≥1，k≥0).令m=2t，則m≡1,2(mod 3),故2m≡2,4(mod 6).

由式(10)和式(8)，可知

y2≡±(u2m+5v2m)≡±5v2m(modu2m).

(12)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則由式(12)結合式(5)可得

(13)

再討論式(11).

利用(2)和(3)對式(11)取模5，得T=6，且當n≡1,2,4,5(mod 6)時，-un+5vn≡2,3,3,2(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0，3(mod 6)，即n≡0，3,6,9(mod 12).

對式(11)取模11，得T=12，且當n≡0,3(mod 12)時，-un+5vn≡10(mod 11)為模11的平方非剩余，故排除，剩n≡6，9(mod 12)，即n≡6，9,18,21(mod 24).

對式(11)取模1153，得T=24，且當n≡6,9,18,21(mod 24)時，-un+5vn≡60,274，1093,879(mod 1153)均為模1153的平方非剩余，故排除.因此式(11)不成立.

綜上，方程(9)僅有正整數解(x,y)=(5,1).證畢.

ii) 設相應的不定方程為

x2-8y4=41.

(14)

易知，方程X2-8Y2=41的一般解可由以下兩個非結合類給出：

或

若方程(14)有整數解，則必有n,使得

y2=un+7vn，n≥0；

(15)

或

y2=-un+7vn，n>0.

(16)

先討論式(15).

利用(2)和(3)對式(15)取模3，得T=4，且當n≡2,3(mod 4)時，un+7vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余，故排除，剩n≡0,1(mod 4)，即n≡0,1,4,5(mod 8).

對式(15)取模17，得T=8，且當n≡1,5(mod 8)時，un+7vn≡10,7(mod 17)均為模17的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4(mod 8)，即n≡0(mod 4).

若n≠0，則可設n=2×2t(2k+1)(t≥1，k≥0).取m=2t，則m≡1,2(mod 3)，故2m≡2,1(mod 3).

由式(15)和式(8)，可知

y2≡±(u2m+7v2m)≡±7v2m(modu2m).

(17)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則結合式(17)、式(5)可得

(18)

再討論式(16).

利用(2)和(3)對式(16)取模3，得T=4，且當n≡0,3(mod 4)時，-un+7vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 4),即n≡1,2,5,6,9,10(mod 12).

對式(16)取模11，得T=12，且當n≡5,9,10(mod 12)時，-un+7vn≡10,8,7(mod 11)均為模11的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,6(mod 12).

對式(16)取模7，得T=3，且當n≡0(mod 3)時，-un+7vn≡6(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除n≡6(mod 12)，剩n≡1,2(mod 12)，即n≡1,2,13,14,25,26,37,38,49，50(mod 60).

對式(16)取模59，得T=20，且當n≡13,14,6,17,9(mod 20)時，-un+7vn≡31,34,58,10,10(mod 59)均為模59的平方非剩余,故排除n≡13,14,26,37,49(mod 60)，剩n≡1,2,25,38,50(mod 60).

對式(16)取模601，得T=60，且當n≡38,50(mod 60)時，-un+7vn≡580,548(mod 601)均為模601的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,25(mod 60).顯然，n≡25(mod 60)等價于n≡25,85,145(mod 180).

對式(16)取模2699，得T=180，且當n≡25,145(mod 180)時，-un+7vn≡756，1053(mod 2699)均為模2699的平方非剩余,故排除；又對式(16)取模199，得T=9，且當n≡4(mod 9)時，-un+7vn≡55(mod 199)為模199的平方非剩余，故排除n≡85(mod 180).最后剩n≡1,2(mod 60).

若n≡1(mod 60)且n≠1，則令n=1+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

式(16)結合式(4)和式(8)得

y2=-un+7vn≡±(-u1+2m+7v1+2m)≡±13v2m(modu2m).

(19)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則式(19)結合式(5)可得

(20)

對于n≡2(mod 60)且n≠2，令n=2+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

則m≡1,8,16,23,22,9,12,26,19,10,20,15(mod 35)，故2m≡2,16,32,11,9,18,24,17,3,20,5,30(mod 35).

式(16)結合式(4)和式(8)得

y2=-un+7vn≡±(-u2+2m+7v2+2m)≡±71v2m(modu2m).

(21)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則式(21)結合式(5)可得

(22)

綜上，方程(14)僅有正整數解(x,y)=(7,1)，(13,2)和(71,5).證畢.

iii) 設相應的不定方程為

x2-8y4=73.

(23)

易知，方程X2-8Y2=73的一般解可由以下兩個非結合類給出：

或

若方程(23)有整數解，則必有n，使得

y2=un+9vn，n≥0；

(24)

或

y2=-un+9vn，n>0.

(25)

先討論式(24).

利用(2)和(3)對式(24)取模17，得T=8，且當n≡1,2,3,5,6,7(mod 8)時，un+9vn≡12,3,6,5,14,11(mod 17)均為模17的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4(mod 8);再對式(24)取模8，得T=8，且當n≡4(mod 8)時，un+9vn≡5(mod 8)為模8的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 8).

對式(24)取模5，得T=6，且當n≡1,4(mod 6)時，un+9vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2,3,5(mod 6).由于2|n，所以n≡0,2(mod 6)，即n≡0,2,6,8(mod 12).又4|n，故n≡0,8(mod 12)，即n≡0,8,12,20,24,32(mod 36).

對式(24)取模179，得T=36，且當n≡12,24(mod 36)時，un+9vn≡167,11(mod 179)均為模179的平方非剩余，故排除；對式(24)取模199，得T=9，且當n≡2,5(mod 9)時，un+9vn≡71,134(mod 199)均為模199的平方非剩余，故排除n≡20,32(mod 36)，剩n≡0,8(mod 36)，即n≡0,8,36,44(mod 72).

對式(24)取模1009，得T=72，且當n≡8,44(mod 72)時，un+9vn≡770,239(mod 1009)均為模1009的平方非剩余，故排除，剩n≡0,36(mod 72)，即n≡0(mod 36).

對式(24)取模79，得T=13，且當n≡1,2,4,6(mod 13)時，un+9vn≡12,71,43,48(mod 79)均為模79的平方非剩余，故排除；再對式(24)取模599，得T=13，且當n≡3,5,7,8,10,11,12(mod 13)時，un+9vn≡414,287,359,449,383,562,593(mod 599)均為模599的平方非剩余，故排除，剩n≡0,9(mod 13)，即n≡0,9,13,22,26,35(mod 39).

由于3|n，所以n≡0,9(mod 39).

對式(24)取模313，得T=39，且當n≡9(mod 39)時，un+9vn≡168(mod 313)為模313的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 39).結合n≡0(mod 36)得n≡0(mod 468)，當然就有n≡0(mod 78).

式(24)結合式(6)和式(8)可得

y2=un+9vn≡±(u±2m+9v±2m)≡±(u2m±9v2m)(modu3m).

(26)

(27)

再討論式(25).

利用(2)和(3)對式(25)取模7，得T=3，且當n≡0,1(mod 3)時，-un+9vn≡6(mod 7)為模7的平方非剩余，故排除，剩n≡2(mod 3)，即n≡2,5(mod 6).再對式(25)取模5，得T=6，且當n≡2,5(mod 6)時，-un+9vn≡2，3(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除.因此式(25)不成立.

綜上，方程(23)僅有正整數解(x,y)=(9,1).證畢.

iv) 設相應的不定方程為

x2-8y4=89.

(28)

易知，方程X2-8Y2=89的一般解可由以下兩個非結合類給出：

或

若方程(28)有整數解，則必有n,使得

y2=2un+11vn，n≥0

(29)

或

y2=-2un+11vn，n>0.

(30)

先討論式(29).

利用(2)和(3)對式(29)取模3，得T=4，且當n≡0,1(mod 4)時，2un+11vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余，故排除，剩n≡2,3(mod 4)，即n≡2,3,6,7(mod 8).

對式(29)取模8，得T=8,且當n≡3,7(mod 8)時,2un+11vn≡7,3(mod 8)均為模8的平方非剩余，故排除，剩n≡2,6(mod 8)，即n≡2(mod 4)，從而n≡2,6,10(mod 12).

對式(29)取模5,得T=6,且當n≡0,4(mod 6)時,2un+11vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除n≡6,10(mod 12),剩n≡2(mod 12),即n≡2,14,26,38,50(mod 60).

對式(29)取模601，得T=60，且當n≡14,26,50(mod 60)時，2un+11vn≡159,489,219(mod 601)均為模601的平方非剩余,故排除，剩n≡2,38(mod 60).

對式(29)取模29，得T=10，且當n≡8(mod 10)時，2un+11vn≡26(mod 29)為模29的平方非剩余,故排除n≡38(mod 60)，剩n≡2(mod 60)，即n≡2,62,122(mod 180).

對式(29)取模24121，得T=180，且當n≡62,122(mod 180)時，2un+11vn≡23454,567(mod 24121)均為模24121的平方非剩余,故排除，剩n≡2(mod 180).

若n≠2，則令n=2+2×32×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

式(29)結合式(4)和式(8)得

y2=2un+11vn≡±(2u2+2m+11v2+2m)≡±283v2m(modu2m).

(31)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則由式(31)結合式(5)可得

(32)

對{un}取模283，得T=284.根據m的取法，同時注意到{2t}取模284的T=35，有表1.

表1 u2m取模283時的數據

續表

再討論式(30).

利用(2)和(3)對式(30)取模7，得T=3，且當n≡0,1(mod 3)時，-2un+11vn≡5(mod 7)為模7的平方非剩余，故排除，剩n≡2(mod 3)，即n≡2,5(mod 6).再對式(30)取模5，得T=6，且當n≡2,5(mod 6)時，-2un+11vn≡2，3(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除.因此式(30)不成立.

綜上，方程(28)僅有正整數解(x,y)=(283,10).證畢.

v) 設相應的不定方程為

x2-8y4=97.

(33)

易知，方程X2-8Y2=97的一般解可由以下兩個非結合類給出：

或

若方程(33)有整數解，則必有n,使得

y2=3un+13vn，n≥0

(34)

或

y2=-3un+13vn，n>0.

(35)

先討論式(34).

利用(2)和(3)對式(34)取模7，得T=3，且當n≡0,2(mod 3)時，3un+13vn≡3(mod 7)為模7的平方非剩余，故排除，剩n≡1(mod 3)，即n≡1,4(mod 6).再對式(34)取模5，得T=6，且當n≡1,4(mod 6)時，3un+13vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余，故排除.因此式(34)不成立.

再討論式(35).

利用(2)和(3)對式(35)取模17，得T=8，且當n≡0,2,3,4,6,7(mod 8)時，-3un+13vn≡14,10,5,3,7,12(mod 17)均為模17的平方非剩余，故排除，剩n≡1,5(mod 8)，即n≡1(mod 4).這等價于n≡1,5,9,13,17(mod 20).

對式(35)取模19，得T=20，且當n≡5,9,13,17(mod 20)時，-3un+13vn≡10,3,13,8(mod 19)均為模19的平方非剩余，故排除，剩n≡1(mod 20).

式(35)結合式(4)和式(8)得

y2=-3un+13vn≡±(-3u1+2m+13v1+2m)≡±15v2m(modu2m).

(36)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，則式(36)結合式(5)可得

(37)

綜上，方程(33)僅有正整數解(x,y)=(15,2).證畢.