李 偉
(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院, 甘肅 蘭州 730070)
丟番圖方程x2-3y4=397的正整數解
李 偉
(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院, 甘肅 蘭州 730070)
利用遞歸序列、同余式、二次剩余的方法證明了丟番圖方程x2-3y4=397僅有正整數解(x,y)=(20,1)。
丟番圖方程; 遞歸序列; 二次剩余; 正整數解
關于丟番圖方程x2-Dy4=N(D,N∈Z,且D>0為非平方數)已有不少研究工作[1-7]。設N(D,N)為方程x2-Dy4=N的正整數解的組數,文獻[1]證明了以下幾個結果:
文獻[3]證明了
文獻[6]證明了當y≡0(mod8)時,
N(2,17)=0
N(2,41)=0
N(2,97)=0
N(8,17)=0
文中利用遞歸序列、同余式和二次剩余的方法證明了丟番圖方程x2-Dy4=N,當(D,N)=(3,397)時僅有正整數解(x,y)=(20,1)。
定理丟番圖方程
(1)
僅有正整數解(x,y)=(20,1)。
證明 首先考慮pell方程
(2)
其一般解由以下兩個非結合類給出:
(3)
或
(4)
y2=±(vn+20un)
或
當n≥0時,vn+20un>0;當n<0時,vn+20un<0。因此可歸結為
(5)
或
(6)
可驗證下列關系成立:
(7)
(8)
(9)
對式(5)取模5,得剩余序列周期為3,當n≡1,2(mod3)時,vn+20un≡2(mod5),為模5的二次非剩余,故排除。剩n≡0(mod3)。
對式(5)取模3,得剩余序列周期為6,當n≡3,4(mod6)時,vn+20un≡2(mod3),為模3的二次非剩余,排除。剩n≡0,1,2,5(mod6)。
對式(5)取模7,剩余序列周期為8,當n≡2,4,5,7(mod8)時,vn+20un≡3,6,6,3(mod7),為模7的二次非剩余,排除。剩n≡0,1,3,6(mod8)。
對式(5)取模193,剩余序列周期為24,當n≡1,2,3,5,6,8,10,13,14,15,17,18,20,22(mod24)時,vn+20un≡22,87,133,103,160,58,73,171,106,60,90,33,135,120(mod193),為模193的二次非剩余,排除。剩n≡0,4,7,9,11,12,16,19,21,23(mod24)。
因此可歸結為n≡0(mod24)。
若n≠0,令n=0+6(4k±1)m, m=2t, t>1, 由式(9)可知
(10)
因v2m≡2(mod5),所以
又v2m≡1(mod8),設2s‖um,則
所以
因此
所以式(10)不成立,此時式(5)無解。當n=0時,得到方程(1)的解為(20,1)。
對式(6)取模5,剩余序列周期為3,當n≡1,2(mod3)時,-vn+20un≡3(mod5),為模5的二次非剩余,排除。剩n≡0(mod3)。
對式(6)取模3,剩余序列周期為6,當n≡0,5(mod6)時,-vn+20un≡2(mod3),為模3的二次非剩余,排除。剩n≡1,2,3,4(mod6)。結合模5得n≡3(mod6),即n≡3,9,15,21(mod24)。
對式(6)取模8,剩余序列周期為4,當n≡0(mod4)時,-vn+20un≡7(mod8),為模8的二次非剩余,排除;當n≡1,3(mod4)時,-vn+20un≡2(mod8)不可能為完全平方數,故排除。剩n≡2(mod4),即n≡2,6,10,14,18,22(mod24)。所以式(6)無解。
由上述討論可知,方程(1)僅有正整數解(x,y)=(20,1)。證畢。
[1]CohnJHE.Somequarticdiophantineequations[J].PacificJMath.,1968,26:233-243.
[2] Mordell L J. Diophantine equations[M]. London: Academic Press,1969.
[3] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2012.
[4] 朱德輝.關于不定方程x2-3y4=166[J].重慶師范大學學報:自然科學版,2008,25(3):21-23.
[5] 黎進香,張春蕊.關于不定方程x2-3y4=46的初等解法[J].哈爾濱工業大學學報,1995,27(5):13-16.
[6] Tzanakis N. On the diophantine equations[J]. Number Theory,1983,17:144-164.
[7] 柯召,孫琦.數論講義[M].北京:高等教育出版社,2001.
Positive integer solutions of diophantine equationx2-3y4=397
LI Wei
(College of Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)
Methods of recurrent sequence, congruence and quadratic residue are used to prove that diophantine equationx2-3y4=397 has positive integer solution (x,y)=(20,1) only.
diophantine equation; recurrent sequence; quadratic residue; positive integer solution.
2014-06-09
李 偉(1982-),男,漢族,甘肅慶陽人,蘭州交通大學碩士研究生,主要從事數論方向研究,E-mail:SLXYLiWei@163.com.
O 156.1
A
1674-1374(2014)06-0625-03