基于自相關函數相位的正弦信號頻率估計新算法*

黃 超，索繼東，于 亮

(1.大連海事大學信息科學技術學院，遼寧大連116026;2.大連理工大學城市學院電子與自動化學院，遼寧 大連116600;3.大連理工大學 軟件學院，遼寧 大連116600)

1 引言

對淹沒于噪聲中的正弦信號進行頻率估計，無論在理論中還是在實際應用中都具有非常重要的研究價值，國內外眾多學者對此做了大量的研究，主要從頻域和時域兩個角度進行分析，如基于FFT的頻率估計算法[1－2]。本文從時域的角度對頻率估計算法進行研究。傳統基于時域的自相關方法有:V.Pisarenko利用少量的自相關函數進行頻率估計[3]，此類方法計算簡單，但其性能不高;K.Lui等人在在文獻[3]的基礎上加以改進，并定義新的自相關函數[4]，但由于選取的自相關函數系數較低，估計性能受到限制;K.Lui等人在文獻[4]的基礎上加以修正，采用較高序號的自相關系數[5]，使得估計性能得到一定的提升，但是在信噪比偏低時，估計性能不夠理想;為了充分挖掘自相關函數包含的頻率信息，Rim，H.C.So，Yan Cao等人盡可能地利用多個自相關函數進行頻率估計[6－8]，使得估計性能得到很大提升，但同時算法的計算量也增大;為了進一步提升頻率估計性能，K.Lui提出了兩步自相關算法[9]，Yan Cao等人提出了基于擴展自相關的頻率估計算法[10]，在低信噪比估計性能得到進一步改善，在中高信噪比時，頻率估計方差接近克拉美羅下界(CRLB)[11]。然而，在現有很多算法中，估計性能的提升都是利用更多的自相關系數或者多步自相關函數，這樣必然會帶來算法計算量的增大，即存在頻率估計精度與算法復雜度的矛盾問題。

為了解決上述問題，本文同樣從自相關函數的角度，充分利用自相關函數包含的頻率信息，推導了一種新的自相關函數相位的頻率估計式，并且針對頻率估計范圍與頻率估計精度之間的矛盾問題，提出了一種消除相位模糊的方法。計算機仿真表明，在信噪比較高時，估計方差接近克拉美羅下界(CRLB)，與TSA算法相比，在估計性能相同條件下，本文算法的計算量大大降低，具有很好的應用價值。

2 正弦信號頻率估計算法原理

設混有高斯加性白噪聲的單頻正弦信號表示式為

其中，a、ω0、θ分別為信號的幅度、頻率、相位，η(t)為均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲。對其在觀察時間0≤t≤T內進行采樣N個樣本值，于是得到離散序列為

對上式定義其自相關函數為

當N足夠大時，由文獻[10]可知，式(3)可寫為

Pisarenko[3]算法利用低階自相關 r1、r2進行頻率估計，如下式所示:

Pisarenko算法雖然計算量小，但是頻率估計方差和CRB相差較大。為了進一步減小頻率估計偏差，K.Lui等人在PHD算法的基礎上加以改進，提出了K.Lui算法[4]。其算法僅對Pisarenko算法的r1、r2進行重新定義，改進了r1、r2的估計性能，如下式所示:

于是，式(5)可改寫為

為了進一步提高載波頻率估計性能，TSA算法[9]利用更多的自相關函數進行頻率估計:

其中:

從上式可以看出，TSA算法經過自相關函數的多次組合，充分挖掘自相關函數包含的頻率信息進行頻率估值，理論分析及仿真結果表明，SNR≥0 dB時，頻率估計方差接近CRLB，且頻率估計范圍寬;但是其算法的計算量較大(與O(N3)成正比)，不利于實時信號的處理。

3 本文提出的新的頻率估計式

目前，基于自相關函數的頻率估計算法中，很多都是通過利用多個自相關系數，使得頻率估計的性能得到提升，如 Yan 算法[8，10]、TSA 算法[9]等，但同時會帶來計算量的增加，不利于實時通信的信號處理。針對頻率估計精度與算法復雜度的矛盾問題，本文從自相關函數相位的角度，推導了一種新的頻率估計式，較好地解決了上述矛盾問題。

由正弦信號的三角函數特性可知

于是，可得下式:

為了進一步提高頻率估計性能，對上式進行展開:

其中，p≥1，p≤q≤N－2m－1。于是，可得出本文新的頻率估計式:

式中，ξm為整數。

為了研究參數(p，q，m)對頻率估值的影響，對上式進行了仿真。在仿真中，當(m，p，q·m)在(0，π)范圍內時，此時 ξm=0，令信號幅度 a=1，θ=0，ω0=0.01π，SNR=10 dB，N=200，p=1(蒙特卡洛仿真100次)。圖1給出了m=1時不同q值時的頻率估計方差，從圖1可以看出，隨著q值增大，估計性能不斷提升，當q為50左右時，估計性能逐漸接近最佳值。圖2給出了q=1時不同m取值的估計方差，從圖2可以看出，當m為60左右時，頻率估計性能最佳。

由上式可得頻率估計值為

圖2 不同m值的估計性能Fig.2 Mean square error versus m

以上仿真中，假設頻率范圍為(0，π/m)。從圖1和圖2可以得出，為了提高頻率估計精度，(p，q，m)參數的取值很關鍵，不難得出(p=1，q=50，m=60)的性能會好于(p=1，q=50，m=1)及(p=1，q=1，m=60)的性能;而m＞1時會縮小頻率估計范圍，為了擴大估計范圍，即m，p，q∈(0，π)，此時ξm有2m+1種可能的值，即存在相位模糊問題，為了準確地找出 ξm值，消除相位模糊，可采取以下措施(令 m=1，2，…，ε，):

(1)m=1，此時不存在相位模糊問題，即ξ1=0，可求出頻率估計值1，p，q;(2)m=2，求出

時對應的 ξ2，再根據式(13)求出頻率估計值(|·|min為取最小值);

(3)以此類推;

(4)m=ε，求出

時對應的ξε，再根據式(13)求出頻率估計值ε，p，q。

綜上可知，q值的增大會帶來頻率估計精度的提升，但同時會導致計算量過大，因此，在實際應用中，應綜合考慮估計性能和計算量之間矛盾的問題。

4 計算量及性能分析

圖1 不同q值的估計性能Fig.1 Mean square error versus q

4.1 計算機仿真及性能分析

本節通過計算機MATLAB仿真實驗(蒙特卡洛仿真100次)來驗證本文提出算法的估計性能。圖3給出SNR=10 dB時不同頻率處的性能比較，本文頻率估計算法的性能(m=50，p=1，q=70)在 ω0∈[0.15π，0.85π]達到 CRLB，頻率估計范圍與 TSA算法[9]相當，都寬于 K.Lui算法[5]的頻率估計法范圍。圖4給出了ω0=0.3π、N=200時不同信噪比下各種算法的性能比較，可以看出，在SNR＞0 dB時，隨著信噪比增大，本文算法(m=50，p=1，q=50，m=50，p=1，q=70 及m=50，p=1，q=80)與TSA 算法的估計性能相當，都接近于CRLB，且性能都好于K.Lui算法[5];在 SNR＜0 dB 時，隨著 SNR 的減小，估計性能偏離CRLB的程度從大到小依次為K.Lui算法[5]、本文算法(m=50，p=1，q=50)、本文算法(m=50，p=1，q=70)、本文算法(m=50，p=1，q=80)和 TSA 算法[9]。

圖3 不同頻率處的性能比較Fig.3 Mean square error versus ω0

圖4 不同信噪比下的性能比較Fig.4 Mean square error versus SNR

綜上分析可得，在信噪比較高時，本文算法中q值可以選擇較小(q值越小，計算量越小)，如q=50，其估計性能也接近CRLB;在信噪比較低時，本文算法中q值可以選擇較大，如q=80，其估計性能偏離CRLB最小。

4.2 算法復雜度比較

從表1可以看出，本文算法的計算量(與 O(N2)成正比)高于 K.Lui算法[5]，低于 TSA算法[9]的計算量(與 O(N3)成正比)。由式(8)、式(9)、式(13)可以看出，K.Lui算法[5]只利用幾個自相關系數進行頻率估計，本文算法利用多個自相關系數且通過遞推的方式求出頻率值，而TSA算法[9]是在一步自相關的基礎上再作自相關運算，其計算量最大。從圖4的仿真結果來看，本文算法(m=50，p=1，q=80)與TSA算法的頻率估計性能非常接近，但本文算法的計算量約為TSA算法[9]的2/5，非常有利于信號的實時處理。

表1 算法計算量比較Table1 Comparison of arithmetic operations

5 結論

充分利用自相關函數包含的頻率信息進行頻率估計，可以使估計性能得到提升。本文針對加性高斯白噪聲的正弦信號，提出了基于加窗自相關函數相位噪聲的頻率估計算法。文中推導了自相關函數相位噪聲的頻率估計式，并針對頻率估計范圍與頻率估計精度之間的矛盾問題，提出了一種消除相位模糊的方法。仿真結果表明，在信噪比較高時，估計方差接近克拉美羅下界(CRLB)，且在估計性能相同條件下，與TSA算法相比，本文算法的計算量大大降低，在工程上具有很好的應用價值。

然而，在現有的眾多算法中，低信噪比時的估計性能還是不夠理想，如何更好地挖掘自相關函數包含的頻率信息，降低頻率估計的信噪比閥值，將是我們進一步研究的內容。

[1]王宏偉，趙國慶，齊非林.一種實時精確的正弦波頻率估計算法[J].數據采集與處理，2009，24(2):208－211.WANG Hong－wei，ZHAO Guo－qing，QI Fei－lin.Real－Time and Accurate Single Frequency Estimation Approach[J].Journal of Data Acquisition ＆ Processing，2009，24(2):208－211.(in Chinese)

[2]路偉濤，楊文革，洪家財，等.一種新的正弦信號頻率和初相估計方法[J].電訊技術，2012，52(9):1459－1464.LU Wei－tao，YANG Wen－ge，HONG Jia－cai，et al.A Novel Method for Frequency and Initial Phase Estimation of Single－ tone Signals[J].Telecommunication Engineering，2012，52(9):1459－1464.(in Chinese)

[3]Pisarenko V.The retrieval of harmonicsby linear prediction[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1973，33(5):347－366.

[4]Lui K，So H C.Improved Variant of Pisarenko Harmonic Decomposition for Single Sinusoidal Frequency Estimation[J].IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics，Communications and Computer Sciences，2007，90(11):2604－2607.

[5]Lui K，So H C.Modified Pisarenko Harmonic Decomposition for Single－tone frequency estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56(7):3351－3356.

[6]Elasmi－Ksibi R，Besbes H，L pez－Valcarce R，et al.Frequency estimation of real－valued single－tone in colored noise using multiple autocorrelation lags[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2010，90(7):2303－2307.

[7]So H C，Chan K W.Reformulation of Pisarenko harmonic decomposition method for single－tone frequency estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52(4):1128－1135.

[8]Cao Yan，Wei Gang，Chen Fang－Jiong.An exact analysis of Modified Covariance frequency estimation algorithm based on correlation of single－tone[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，92(4):2785－2790.

[9]Lui K，So H C.Two－stage autocorrelation approach for accurate single sinusoidal frequency estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2008，88(7):1852－1857.

[10]Cao Yan，Wei Gang，Chen Fang－Jiong.A ClosedformExpanded Autocorrelation Method for Frequency Estimation of A Sinusoid[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，92(4):1852－1857.

[11]Funga H W，Alex C，Kotb K H Li，et al.ParameterEstimation of A Real Single Tone from Short Data Records[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2004，84(3):601－617.