Duffing系統線譜值降低的參數選取

蘭朝鳳，陳 歡，張 夢，李鳳臣

(1.哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080;2.哈爾濱工業大學 能源科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;3.中國艦船研究設計中心，湖北武漢 430026)

混沌是非線性科學的一個重要分支，是美國氣象學家E.N.Lorenz在1963年研究大氣運動對流試驗時，首次發現的流體的一種特殊運動形式.混沌理論作為非線性科學的重要分支，有人預言它將主導21世紀的科學，同時，自然界中的混沌現象幾乎是無處不在.混沌現已被廣泛應用于物理學、數學、流體力學、化學、生物學、信息科學、醫學、經濟學及社會科學等各個領域，而在各個領域中的應用也各有特點［1-6］.

近年來，隨著混沌理論的深入研究，混沌控制與反控制技術取得了長足進步，20世紀90年代取得了重要突破，提出了混沌控制及反控制的方法:實現混沌的首要條件是建立對初始條件的敏感性;改變系統參數;引入外部擾動;非線性是系統出現混沌的必要條件，也就是說混沌是非線性系統的通有行為.那么，對于一個系統來說，如何設計系統參數，才可以使系統出現混沌或避免混沌現象的出現，這就涉及到怎樣控制系統參數或外激勵參數來實現定態到混沌或從混沌到定態的過渡過程［7］.因此，針對非線性動力學系統開展混沌機理、系統動力學運動規律的研究顯得具有重要的理論意義和實際應用價值.

目前混沌處理方法被應用到各個領域，如極具代表性的Duffing方程應用到非線性隔振系統、船的橫搖運動、結構振動、微弱周期信號檢測、電力系統周期振蕩分析、周期電路系統的模擬與控制等的分析中［8-10］，它描述了系統的共振現象、調和次調和振動、擬周期振動、混沌現象等.對于系統中復雜的運動形式，如何選取參數以使得系統處于平衡狀態、周期運動、擬周期運動、混沌運動非常重要，因此，文中詳細探討系統的阻尼參數、非線性參數、外激勵參數對系統輸出動力學規律的影響以及輸出功率譜值的變化規律，為實際工程應用提供一定的參考.

1 Duffing系統的動力學模型

單自由度Duffing振子是描述系統共振、調和、次調和振動、擬周期振動以及混沌現象的最簡單數學模型，因此，對它進行參數分析可以解釋一類相似的動力學問題.模型形式為

式中:x為狀態變量;f(x，x'，μ)為向量場，是一廣義函數;μ為系統可調節參數.

外力作用下的硬彈簧Duffing振子的振動形式為

式中:r為系統阻尼參數;ω0為系統固有振動角頻率;k3為系統非線性恢復力參數;u(x，y，t)為外部控制器.

式(2)寫為廣義狀態方程的形式為

式中:f(x，y)和g(x，y)均為廣義函數的形式;A和ω為施加外激勵的幅值和角頻率;φi為相位角;i代表施加外激勵的個數，為正整數.

當式(3)中為單頻外激勵時，式(3)可寫為以下形式的狀態方程:

為分析線性系統、非線性系統、外激勵作用下的非線性系特征，以及系統參數與外激勵參數對系統輸出功率譜的影響，進行數值分析.

本文目的在于通過系統參數的有效控制，實現混沌信號的輸出，進而實現信號能量的降低.

2 數值分析

根據已有的研究可知，Duffing系統未受外激勵擾動時，處于自激振蕩狀態，由于自身存在阻尼的影響，經過一段時間后系統輸出接近于0，最終處于穩定狀態;在相平面圖上表現為一條孤立的封閉曲線，即極限環;功率譜類似于噪聲譜;Poincare截面是處于混沌輸出狀態的亂點，但是仍然是一個圓環，可以判定系統處于擬周期運動狀態.由此分析，要想使系統最終處于穩定的動力學運動狀態，需對該非線性自激振動系統施加外激勵以維持系統的運動軌跡.以下仿真研究不同的外激勵作用于系統和系統參數改變時，系統輸出的動力學特征.

2.1 非線性參數對系統輸出特性的影響

仿真參數:外激勵幅值A=50.00 N，角頻率ω=1.000 rad·s-1，系統諧振角頻率 ω0=1.000 rad·s-1(全文仿真中此參數均取此值)，阻尼系數r=0.250 0.系統輸出隨非線性參數k3變化的分岔圖如圖1所示;非線性參數k3的取值范圍為0.100 0～1.000 0，等間隔變化.

圖1 輸出隨非線性參數變化的全局分岔圖

由圖1可知，非線性參數取0.200 0，0.510 0，0.600 0與1.000 0時，系統輸出分別處于周期一運動、周期二運動、周期四運動與混沌運動狀態.系統輸出的最大LE(Lyapunov指數的簡寫)Lmax與非線性參數k3的關系曲線如圖2所示.

圖2 隨非線性參數k3的最大LE曲線

由圖2可知，非線性參數區間為0.627 6＜k3＜0.805 8，系統輸出的最大LE除少數點小于0外，其他參數處取值均大于0，表明系統處于混沌運動狀態.非線性參數k3=0.813 8時LE最大，為0.512 3，表明此參數處混沌程度最強.

2.2 阻尼參數對系統輸出特性的影響

仿真參數:非線性參數k3=1.000 0，外激勵幅值A=50.00 N，角頻率ω=1.000 rad·s-1.系統輸出隨阻尼參數r變化的分岔圖如圖3所示.

圖3 輸出隨阻尼參數r變化的全局分岔圖

由圖3可知，在r=0.420 0處發生了一次逆倍周期分岔，r=0.360 0發生第2次逆分岔，即r在區間(0.420 0，1.000 0)中系統處于周期一運動，在區間(0.360 0，0.420 0)中系統處于周期二運動;平面上有無限個混亂的點代表系統發生混沌，即r在區間(0.200 0，0.320 0)中系統處于混沌狀態.

仿真參數:外激勵幅值A為50.00 N，角頻率為1.000 rad·s-1，阻尼參數r為0.250 0，非線性系數k3為 1.000 0，阻尼系數r的取值范圍為 0～1.000 0，等間隔變化.系統輸出的最大LE與阻尼參數r的關系曲線如圖4所示.

圖4 最大LE與阻尼參數的關系

由圖4可知，阻尼參數r＞0.460 0時，系統輸出的最大LE接近于0，表明系統的混沌程度較弱;當阻尼系數在0.243 2＜r＜0.305 3及0.434 4＜r＜0.829 8區間時，系統輸出的最大LE大于0，表明系統處于混沌運動狀態;當r=0.239 2時，系統輸出的最大LE為0.451 6，系統混沌程度最強.由此，據系統輸出的最大LE大小，可選定系統所處混沌程度強弱的阻尼參數.

2.3 外激勵幅值與角頻率參數對系統輸出特性的影響

仿真參數:非線性參數k3=1.000 0，阻尼參數r=0.250 0，外激勵幅值從0.10～100.00 N，以0.1為步長變化，角頻率以步長0.1變化，系統輸出LE大于0時的外激勵幅值和角頻率參數值利用描點法在圖上繪出，如圖5所示.

圖5 輸出LE隨A和ω變化的混沌區域圖

圖5可實現外激勵幅值和角頻率的混沌區域參數的聯合選取.

仿真參數:阻尼參數r為0.250 0，非線性參數k3為1.000 0，外激勵角頻率ω為1.000 rad·s-1，幅值A的取值范圍是0～100.00 N，等間隔變化.系統輸出的最大LE與A關系曲線如圖6a所示.外激勵幅值為50.00 N，角頻率ω的取值范圍為0～20.000 rad·s-1，等間隔變化.系統輸出的最大LE與ω關系曲線如圖6b所示.

圖6 最大LE與A，ω的關系

由圖6a可知，當外激勵幅值在38.94 N＜A＜44.44 N與53.15 N＜A＜57.66 N區間時，系統輸出的最大LE較大.外激勵幅值A=55.16 N時，系統輸出的LE最大，為0.439 4，此幅值處系統所處混沌程度最強.由圖6b可知，外激勵角頻率在1.702 rad·s-1＜ω ＜2.002 rad·s-1與0.901 rad·s-1＜ω＜1.201 rad·s-1區間時，系統輸出的最大LE較大.當角頻率ω=1.802 rad·s-1時，系統輸出的LE最大，為0.390 3，此角頻率處系統所處混沌程度最強.由此表明，據系統輸出的最大LE大小，可選取系統所處混沌程度強弱的幅值參數和角頻率參數.

2.4 功率譜下降值的數學統計表

根據2.2與2.3節的數值分析結果，選取一些代表性的參數，給出系統輸出的基頻處功率譜與線性系統基頻處功率譜的差值及系統運動狀態.表1中外激勵角頻率ω=1.000 rad·s-1.

對單自由度Duffing系統，調節系統阻尼參數、非線性參數及外激勵參數均可改變系統的運動狀態，即系統參數與外激勵參數共同作用、相互制約著系統的運動規律.通過適當調整控制參數，實現混沌反控制，有望控制系統穩定地處于混沌運動狀態，輸出線譜值降低，提高隔振效果.

表1 系統輸出功率譜值的統計表

3 結論

1)系統具有非線性是系統發生混沌運動的必要條件，非線性系數越小，系統越難發生混沌.

2)系統阻尼參數越小，到達混沌所需的激勵力越小，混沌區域分布在更大的參數平面內.

3)在一定范圍內，外界的激勵力幅值A越大、激勵角頻率 ω越小，系統發生混沌的可能性就越大.

4)系統混沌運動的產生是系統阻尼參數、非線性參數、外激勵參數之間是共同作用、相互制約的結果.適當調整控制參數，實現混沌反控制，有望控制系統穩定地處于混沌運動狀態，達到降低單頻線譜值的目的.

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