線性離散時滯系統的指數穩定性?

李云璐， 高存臣

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100)

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線性離散時滯系統的指數穩定性?

李云璐， 高存臣

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100)

本文研究了一類線性離散時滯系統的指數穩定問題。通過構造適當的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用矩陣不等式技術，給出了線性離散時滯系統與時滯相關的指數穩定的充分條件。應用本文的結果，得到了不確定離散時滯系統與時滯相關的魯棒指數穩定的新判據，并用數值算例說明了本文結果的可行性與有效性。

時滯相關； 指數穩定； 線性矩陣不等式； 線性離散系統； 時滯

在生物、物理等實際過程的控制系統中都存在著時滯現象，通常時滯會使系統性質變差，例如，會引起系統的震蕩、不穩定[1]，分析和研究時滯系統的穩定性條件已成為系統控制和設計中很重要的一個課題，因而引起若干學者的廣泛關注[2-8]。離散時滯系統的穩定性在理論和實際應用中有著不可替代的位置，然而，相對于對連續時滯系統的穩定性和應用的關注[9-12]，人們對離散時滯系統穩定性和應用的研究相對較少[13-17]。而實際中又需要離散時滯系統穩定性，如在生產庫存系統中，貨物的庫存量x(k+1)往往與上個月的庫存量x(k)以及前面幾個月的庫存量x(k-h)有關，還與產量u(k)與銷售量S(k)有關，表現在數學模型上就是如下形式的離散時滯系統:

文獻[13]研究的是一類不確定離散時滯系統，改進了系統為漸近穩定的充分條件；文獻[10，12]研究的是一類帶有時滯的線性連續系統的指數穩定性問題，并將結果應用到了不確定線性系統指數穩定的判據上，文獻[10]中的時滯在給定的區間內連續，不一定可微，文獻[12]中的時滯是個恒定的常數。

基于此，本文將文獻[10，12-13]的研究方法有機地結合起來，考慮了一類帶有常時滯的線性離散系統的指數穩定問題。通過構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用矩陣不等式技術，給出了該系統與時滯相關的指數穩定的判定條件，同時也得出了不確定離散時滯系統為指數穩定的新判據，在文章最后給出了相應系統的仿真算例。

1 預備知識

考慮如下的線性離散時滯系統

(1)

其中:x(k)∈n是狀態向量；A,A1是有適當維數的常數矩陣；n是初始函數序列；范數定義為φ(k)；h∈+是系統的常時滯。

定義1.1[9]對于任意給定的常數0<α<1，如果存在常數c>0，使得x(k)≤cφhαk,?k∈對所有的初始函數序列都成立，那么系統(1)稱為α-指數穩定的。

引理1.1[17]對于給定具有適當維數的矩陣Q=QT,E,H,則Q+HFE+(HFE)T<0對所有滿足F(t)T·F(t)≤I的矩陣F(t)都成立的充要條件是存在一個正數ε>0使得下式成立

Q+εHHT+ε-1ETE<0。

引理1.2 (Schur補引理)[17]對給定的對稱矩陣

(1)S<0;

2 主要結果

這里，

證明 構造Lyapunov泛函

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k),

(3)

從而有如下關系式成立：

令(3)式沿系統(1)求差分，得

x(k+1)TPx(k+1)-x(k)TPx(k)-

2x(k)TY[x(k)-x(k-h)]+

2x(k-h)TW[x(k)-x(k-h)]；

x(k)TQx(k)-α2(h-1)x(k-h)TQx(k-h)+

(1-α-2)V2(k+1)+α-2x(k)TQx(k)-

α2(h-1)x(k-h)TQx(k-h)；

(1-α-2)V3(k+1)+hα-2y(k)TRy(k)-

經過整理，可得到

(4)

這里:

Ω1def.=

因此，ΔV(k)-(1-α-2)V(k+1)<0，

從而有

ΔV(k)<(1-α-2)V(k+1)≤0,(0<α<1),

V(k+1)<α2V(k),(0<α<1)?k∈。

(5)

由(5)式可以推出：

V(k)<α2V(k-1)<…<α2kV(0)，

在這里，引入記號

從而有

所以，

這說明線性離散時滯系統(1)是指數穩定的。證畢。

基于定理3.1，可推出不確定線性離散時滯系統的魯棒指數穩定性判據。

考慮如下系統：

(6)

這里：A(k)=A+ΔA(k)；A1(k)=A1+ΔA1(k)；ΔA(k)，ΔA1(k)是具有適當維數的不確定參數矩陣，且滿足如下形式：

ΔA(k)=DF(k)E1,ΔA1(k)=DF(k)E2，

其中：D,E1,E2是具有適當維數的常數矩陣；F(k)是一個未知的時變矩陣函數，且滿足

F(k)T·F(k)≤I,?k∈。

證明 構造與定理3.1證明中相同的Lyapunov泛函，并把定理3.1中Ω表達式中的A，A1，分別用A+DF(k)E1,A1+DF(k)E2代替，經過整理，得到

(8)

再結合引理1，(8)式成立的充要條件是存在一個正數ε>0，使得下式成立：

(9)

對(9)式利用Schur補引理，即可得到定理3.2中的(7)式成立。證畢。

注 令本文定理3.2中的α=1，可得到系統(6)漸近穩定的判定條件，與文獻[13]中的定理1，結論類似。

3 數值例子

例3.1 考慮系統(1)，其中

例3.2 考慮系統(6)，其中

D=A1;F(k)=diag{sink,sink};E1=E2=I。

令ε=0.5，利用MATLAB中的LMI工具箱可知，當α=0.6時，定理2.2中的線性矩陣不等式(7)是可行的，相應的可行解為

表1 不同的指數穩定度α對應不同的最大的時滯Table 1 Maximum time delays on different exponential decay rates α

指數穩定度①αExponentialdecayratesα最大的時滯②hMaximumtimedelaysh0．6050．6350．6660．6970．7270．7590．78100．81120．84150．87180．9025

4 結語

本文主要研究了一類帶有常時滯的線性離散系統的指數穩定問題。通過構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用矩陣不等式技術，給出了上述系統與時滯相關的指數穩定的判定準則，然后將本文的結論應用到了不確定離散時滯系統，得出了不確定離散時滯系統為指數穩定的新判據。最后，用2個數值算例說明了本文結果的可行性與有效性。

利用本文的方法，還可以研究帶有變時滯的線性離散系統的指數穩定性問題，限于篇幅，在這里就不贅述了。

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責任編輯 陳呈超

Exponential Stability of Linear Discrete Time Systems with Delays

LI Yun-Lu， GAO Cun-Chen

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

This paper investigates the exponential stability problem for a class of linear discrete-time systems with time delays. Firstly, by constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functional and linear matrix inequalities (LMIs) technique, a delay-dependent sufficient condition of exponential stability is derived for the linear discrete-time systems with time delays. Secondly, the result is applied to uncertain discrete time delay systems and a new criterion of the robust exponential stability is also proposed.Lastly, numerical example is given to show the effectiveness and feasibility of the obtained result.

delay-dependent; exponential stability; linear matrix inequalities (LMIs); linear discrete-time system; time delay

國家自然科學基金項目(60974032)資助

2013-09-28;

2014-05-30

李云璐(1990-)，女，碩士生。E-mail:qufuliyunlu90@163.com

TP13

A

1672-5174(2015)09-136-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130367