以退為進 化難為易

劉美良++陸立峰

當前，高三教學對高考真題的引入往往是把高考試題直接呈現，這樣做的好處是學生知道是高考題，會激起學生的求知欲、好勝心，及享受問題解決后的成功感. 然而，更多的學生看到高考題時會產生畏難情緒，甚至有恐慌心理，從而導致高考試題價值沒有充分挖掘，教學效益就大打折扣.圍繞上述問題，備課組進行了微主題的教學設計研討活動，要求教師以高考二輪專題復習為背景，選用一道高考試題作為例題，進行教學設計、課堂展示和研討，試圖構建具有一般性、可操作性的高考試題的教學設計模式.本文就以一道高考試題為素材，將我校的以高考試題教學為微主題的一次教學展示研討活動的過程，整理成文，以期與同行交流、探討.

一、選題——亂花漸欲迷人眼

在茫茫題海中選什么樣的題作為教學內容，更符合學生的心理訴求和高考考查方向；如何用之，更能提升其教學價值？其方法是否具有一般可操作性？這些問題一直困擾著備課組里的每一位教師.茫茫題海何處尋、亂花漸欲迷人眼，找來找去，反復比較，最后基本統一意見，選取了浙江省2011年高考第21題作為這節課的核心問題進行教學. 理由主要有三點：一是題目代表了浙江高考命題的考查方向.縱觀近幾年浙江解析幾何試題，確有“似曾相識燕歸來，風雨依稀似故人”的感覺.試題結構具有相當的關聯性：在“雙曲”的幾何背景下，設計了一點出發的兩條直線，構成一個典型的“雙斜率”問題.這類問題涉及的幾何要素多，計算要求高，算法設計能力強，承載著高中主要數學思想如函數與方程，化歸與轉化等，突出體現了“主干知識重點考”的浙江特色. 二是解析幾何歷來是師生最不愿直面的問題，平時考試幾乎沒有幾次能完整解答，是學生邁不過的“一道坎”，也是老師心中“永遠的痛”，因此是二輪備考亟需突破的一個點.三是“雙斜率”問題符合學生實際，學生在解決此問題時，對直線方程假設是直接采用斜率作參量還是用點的坐標作參量，難以定奪，所以選此題具有針對性.同時在高三二輪復習中，學生薄弱的、需要提高的是解決“壓軸問題”的思想和心理.這三點理由也符合高三復習教學中題目選取的一般原則，即題目具有代表性、針對性、綜合性、靈活性、整體性.

二、初次上課——問題始露尖尖角

第一次上課，教師備課選用了三道高考題作為上課的內容，一是2011 年浙江高考試題理科21題，二是2011年浙江高考試題文科22題，三是2009年浙江高考試題理科 21 題，并準備把第一題作為例題，第二題作為變式引申，最后一道題做為練習.

上課一開始，教師就直接將2011年浙江高考理科21題投影顯示（如圖1），并問學生誰有想法請發言，課堂上一片寂靜，約過5分鐘老師請一位同學發言.

生1：我想求出點E，F的坐標，所以先假設P（x0，[x0][2]），再設直線PE，PF的方程.

師：嗯，有道理，那PE，PF的方程怎么表示？

生1：記切點A（x1，y1），B（x2，y2）的切線方程：PE：x1x+（y1-4）（y-4）=1.PF：x2x+（y2-4）（y-4）=1.

師：那怎么求出點E，F的坐標？

學生面露難色，遲疑不決，其他同學也覺得涉及5個變量，肯定做不了！難道還要霸王硬上弓，用求根公式解出兩個交點？一時間學生議論紛紛，課堂有點嘈雜，很明顯學生的思路和老師想法不一致.這時，教師急了，拋出了參考答案的解法，詳細解答了這個題目.之后就直接給出變式即2011年的文科第22題，供學生模仿練習，剩下給第三題的時間不多了，教師有點亂了陣腳，只是點到為止.課后備課組的同伴圍在一起七嘴八舌，有的說課堂容量太大，計算要求過高；有的說直線方程的假設是關鍵，兩條直線的斜率關系的探求，學生反映都難以想到；有的說方法的呈現不自然，猶如“魔術師帽子里突然多了一只活蹦亂跳的兔子”，教師這樣講有點生吞活剝、囫圇吞棗似的.那么到底難在哪里？怎樣的教學處理能化“難”為“易”？這節課要達到什么樣的教學目標？什么樣的教學境界？這節課首先是難在如何通過兩條切線方程合理表示，求出點E，F的坐標.而合理的設點，設直線方程是解析幾何的一種基本能力，這種能力的形成一方面需要經驗的積累，另一方面需要有一定的預見性，并將該能力的培養滲透在平時點點滴滴的教學之中.經過討論，大家認為這節課的教學目標不能僅是完成高考試題的教學和展示，而是要通過問題的解決的過程中落實解析幾何的思想方法，在自主探究的過程中將條件、結論進行有效地、自然地化歸，并通過合理地設點、設曲線方程減少運算，優化算法，形成一種能探究“陌生的東西”、解決“繁難問題”的心理意識和機制.按照這樣的想法，重新進行了教學設計，第 2 次上課教師利用問題串、變式串在學生最近發展區進行啟發式探究教學.

三、再次上課——輕舟已過萬重山

問題1：如圖2，已知點P（-1，1）在拋物線C1：x2=y上，圓C2：x2+（y-4）2=1，求過點P且與圓C2相切的直線方程.

師：滿足條件的切線方程有幾條？如何求出切線方程？

生2：假設切線的斜率為k，則切線方程：y-1=k（x+1），利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出.即：=1，即k=，說明還有一條切線是斜率不存在的情況.所以兩條切線方程是：x=-1，y-1=（x+1）.

師：很好，考慮很全面.通常關于k的方程有兩個解k1，k2，真是一“k”兩用一箭雙雕??！

變式1：已知拋物線C1∶x2=y，圓C2∶x2+（y-4）2=1的圓心為點M.點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，若兩條切線的斜率之積為3，求點P的坐標.

師：條件中的“斜率之積為3”如何用數量關系表述？

生3：就是前面指的k1，k2的乘積等于3（學生脫口而出），即：k1·k2=3.

師：那如何借助k1·k2=3，求出點P的坐標？endprint

生4：設點P（x0，[x0][2]），過點P的切線方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，則由=1，可得（[x0][2]-k2）+（8x0-2[x0][3]）k+[x0][4]-8[x0][2]+15=0（*），k1k2=3=，∴[x0][2]=2，或[x0][2]=9，即可求出點P的坐標.

師：這個求解方法有值得我們學習總結之處嗎？請發表看法.

生：把k1k2=3當作（*）式方程的兩根之積，以k為主元，這樣處理很有效.

變式2：已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交y軸于A，B兩點.是否存在點P，使線段AB被點N（0，）平分？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由.

師：解決問題的關鍵是求出哪些量？如何求？

生5：求出A，B兩點的坐標.所以由變式1：過點P的切線方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，令x=0，則A（0，[x0][2]-k1x0），B（0，[x0][2]-k2x0），所以=2[x0][2]-（k1+k2）x0，由（*）式方程可得：k1+k2=，代入上式：=2[x0][2]-·x0，可得[x0][2]=.

師：看來由一點出發“雙斜率”問題，找到兩者的斜率的關系很要緊，要具有方程的意識.這樣的處理方式值得總結，推廣.

問題2：如圖1，已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，兩條切線交拋物線于E，F兩點.若過M，P兩點的直線l垂直于EF，求直線l的方程.

師：有前面的解題經驗積累，應先求出哪些量，又如何表示呢？

生6：求出E，F的坐標，然后根據條件kMP·kEF=-1，可求出點P的坐標.

設E（x1，y1），F（x2，y2），由y-[x0][2]=k（x-x0），

y=x2.?x2-k1x+k1x0-[x0][2]=0，∴x1·x0=k1x0-[x0][2]，∴x1=k-x0，同理∴x2=k2-x0，∴kEF==x1+x2=（k1+k2）-2x0，由kMP·kEF=-1即可求出.

師：直線和曲線相交問題中，已知一個點的坐標，借助韋達定理求另一個點的坐標，是常用的方法，也是解析幾何中一種常見的結構模型.

生7：其實求E，F的坐標，還可簡單點，利用點差法就可以. ∴kEP==x1+x0=k1，kEF==x2+x0=k2. 全班同學為其鼓掌、喝彩.

師：請同學對以上問題認真總結，并在原題的背景上，能否思考并提出新的、有價值的問題？

學生輕聲交流，思考，很快有學生就提出新的問題，經整理如下，供學生自主練習.

（1）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M. 已知點P（t，t2）（-3≤t≤-2）是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交拋物線于E，F兩點.求直線EF斜率的最值.

（2）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M. 已知點P（t，t2）（-3≤t≤-2）是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交拋物線于E，F兩點.求△PEF的面積的最小值.

表揚學生的有意義的思考后，教師自然地投放了2011年的浙江文科高考試題.

（3）（2011浙江，22）如圖3，設P是拋物線C1：x2=y上的動點，過點P作圓C2：x2+（y+3）2=1上的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點，是否存在點P，使得線段A，B被拋物線C1在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，則說明理由.

并告訴學生問題2就是2011年浙江理科的21題，老師順水推舟，展示了浙江近幾年高考試題——雙斜率模型一眼望穿！學生真切感知高考解幾試題的“本”與“源”，可謂一題破萬題山！學生的情緒高漲，難以自抑！整節課自然順暢，有序遞進，師生有效互動，思維活躍，全然沒有著急的焦慮，卻不知不覺有輕舟已過萬重山的歡快！下課的鈴聲已響起，學生的思維仍沒有止步，部分同學在課后又自編了如下問題.

（4）在平面直角坐標系xOy中，設P是橢圓C∶+=1上的一個橫坐標大于2的一個點，過P作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線分別與y軸交于A，B兩點，試確定點P的坐標，使得△PAB的面積最小.

四、思考

選用高考題為例題的解題教學，與其說是教“解”法，不如說是教“想”法. 即進行“解題技能”成因的合理性、必要性的探究，讓思路來得自然一些，使學生知道解題思路的形成是有規律可循的，是有人情味的、清楚的，這才是解題教學的根本之道.所以，在第二次教學設計中，教師在學生的“最近發展區”設計問題1 “求過圓外一點的切線問題”，然后借助變式1中的“斜率之積為3”這一問題逐步逼近思維核心和問題本質；問題 1及其變式其實是問題 2 的“退化”，是根據問題 2 中的雙斜率背景編制而來.為此，圍繞著它設置了問題 1 及其兩個變式來搭建學生得以攀爬的“支架”，使學生一步一個臺階，循序漸進、節節攀登，使課堂真正回歸到數學知識生成、學生思維發生的“原生態”.至此，把2011年浙江21題這樣一座“難以攀登的大山”進行了“解體”、“退化”，在幾何系統結構不變的情況下，設計了一系列問題串、變式串，比較好地突破了教學的難點.這樣的設計，自然順暢，有序遞進，使問題建構在經驗基礎之上，有規律可循，一環扣一環、一步進一步，引導學生在一個逐步開放的空間里自主地發現，探究，直到學生自編關聯性的問題.

當然，對于一道高考試題，尤其是“難”題的教學而言，可根據問題的特點，學生的基礎，設計不同的教學方法，也可將各種教學方法結合運用.傳統的直面問題的講授法并非唯一的選擇，適當把原來的綜合問題進行分解、分拆、退化. “善于退，足夠的退，退到最原始而又不失去本質的地方”，退到在學生已有的經驗基礎上建構方法、化難為易，也應成為廣大教師嘗試高題試題教學的一種追求！endprint