基于反共振頻率的復合材料損傷檢測理論研究

哈爾濱飛機工業集團飛機設計研究所 何永亮 王 剛

東北大學理學院 李永強

目前，關于復合材料無損檢測的方法有很多，但是每一種方法都有其自身的適用范圍和局限性。本文旨在針對日益復雜的檢測環境和不斷提高的檢測效率要求，研究一種既能滿足外場檢測環境和飛機部件原位檢測要求，又能兼顧實用性和高效性的損傷檢測理論。本文以復合材料結構動力學數據為基礎，通過損傷引起的復合材料結構剛度變化而導致的動力學特性改變量為損傷檢測依據，對復合材料進行損傷檢測。

Yang和Lee[1]利用反共振頻率對彈簧質量系統進行了損傷識別研究。Bamnios等[2]對裂紋梁結構進行了數值和試驗研究，并利用得到的反共振頻率成功地識別單裂紋損傷。Inada等[3]基于反共振頻率成功對一復合層狀懸臂梁進行了分層損傷識別。Dilena和Morassi[4]利用反共振頻率變化對單裂紋自由梁進行了損傷識別。結論指出，該識別方法能有效地識別結構的損傷位置和損傷程度。

由于傳統的損傷標識量均有其自身固有的缺點，而結構驅動點反共振頻率在理論上兼具有振型和固有頻率兩者的優點，它既能在一定程度上反映結構的內在稟性，又能反映結構局部物理特性的變化，同時還具有與同階的固有頻率相近的測量精度。由此可見，結構驅動點反共振頻率適合作為損傷標識量。由于目前應用反共振頻率都是對梁結構進行損傷診斷，在復合材料蜂窩夾芯結構上的應用，從國內外文獻上還未見報道。

1 反共振頻率

振動系統中的反共振是一個對工程實際很有價值的概念。所謂反共振指的是彈性系統在某些特定頻率的諧和激勵作用下，系統某些部位出現諧和響應等于零的情形。換句話說，反共振情形也就是指在某些頻率上系統某些部位的動柔度為零。那些出現諧和響應為零的頻率就是反共振頻率。

一般的無阻尼多自由系統在正弦激勵下的頻域運動方程為：

式中，K和M為分別為系統剛度矩陣和質量矩陣，f和x分別是輸入和響應向量。

由式（1）可以求得位移導納或位移頻響函數為

式中，表示伴隨矩陣，表示行列式。的第k，j項可表示為

式中，下標k，j表示矩陣的第k行、第j列已經被刪去。則可得到多自由度系統的第k，j自由度的頻響函數（或導納函數）為

當k=j時，上式即為多自由度系統k點的驅動點頻響函數（或驅動點導納函數）。

令式（4）分子為0，即求解的特征值問題，可得到的頻率即為第k，j自由度處的反共振頻率。當k=j時，得到的ωr則為驅動點反共振頻率。令式（4）分母為0，即求解的特征值問題，可得到多自由度系統的共振頻率，即固有頻率。而且對于n自由度系統驅動點導納函數來說，其反共振頻率數為（n-1），且與共振頻率是一個接一個相互交替出現的，即兩個共振頻率之間必有一個反共振頻率。

2 反共振頻率對損傷敏感性分析

為了便于對多自由度結構系統進行敏感性分析，下面將引入模態坐標表示方法。為此，在諧振力激勵下，多自由度結構系統的位移響應可表示為

式中，p為模態坐標向量，φ為振型向量矩陣，則有

式中

是由矩陣特征值組成的對角矩陣。因為有

則可令（φadj(Λ-ω2I)φT）的第kj項為零，由式（9）可得到導納函數Hkj的零點（即反共振頻率）。

對于任意的ω（包括ωr），(Λ-ω2I)i的行列式能展開為

于是對于第k，j導納函數

利用式（10）可得到導納函數表達式

考慮式（9）左邊求和表達式中的一項，并讓它對參數θ求導有

對上式右邊第二項進行差分，然后代入式（9），經過重新整理可得到反共振頻率的敏感性為

式中

由式（14）可以看出，結構反共振頻率的敏感性是其振型敏感性和固有頻率敏感性的線性組合。結構反共振頻率，特別是驅動點反共振頻率在理論上兼具有振型和固有頻率兩者的優點，它既能在一定程度上反映結構的內在稟性，又能反映結構局部物理特性的變化，同時還具有與同階的固有頻率相近的測量精度。由此可見，結構反共振頻率是一個重要的結構動力參數，對結構局部損傷敏感，適合用于結構損傷識別。

3 反共振頻率對蜂窩板損傷分析

基于反共振頻率信息的蜂窩夾層板結構沖擊損傷識別方法的基本思想是：損傷的出現必然導致結構局部剛度的變化，從而引起蜂窩板結構各驅動點反共振頻率發生不同程度的變化。通過獲取蜂窩板結構各驅動點第一階反共振頻率曲面，與無損蜂窩板結構的各驅動點第一階反共振頻率數據比較，觀察比較后曲面的突變來識別損傷發生，并對損傷進行定位及定量分析。

本文以鋁制0.2m×0.2m，0.01m厚，蒙皮厚1mm，蜂窩胞元壁厚t為0.05mm，蜂窩胞元壁長l為6mm的蜂窩夾層板為模型，數值仿真模擬計算出各種損傷情況下蜂窩板各節點第一階反共振頻率值（本節中損傷程度以損傷面積D表示，D以蜂窩面積為單位）。

當蜂窩板存在芯層壓潰損傷，損傷位于蜂窩夾層板中心位置時，隨著損傷程度的增加，損傷對蜂窩板反共振頻率差值的影響如圖1所示。

當蜂窩板存在蒙皮脫層損傷，考慮損傷位于非中心位置（圖2中凸起位置），隨著損傷程度的增加，損傷對蜂窩板反共振頻率差值的影響如圖2所示。

由圖1、圖2可看出，數據圖中較銳利的突起處與損傷位置完全符合，表明反共振頻率法可準確地識別出蜂窩板的損傷位置。隨著損傷程度的有規律增加，突起峰值點所對應的反共振頻率差值也相應的規律增加，表明反共振頻率法可判定蜂窩板的損傷程度。

下面考慮損傷位置改變時，反共振差值法對損傷識別的效果。當存在芯層壓潰損傷，且損傷位置沿對角線由中心位置向邊界斜向移動時，損傷對反共振頻率差值的影響如圖3所示。

圖1 蜂窩板中心位置損傷程度增加反共振頻率差值Fig.1 Effect of increased damage in the center position on honeycomb panel anti-resonance frequency difference

圖2 蒙皮脫層損傷程度增加反共振頻率差值Fig.2 Effect of increased skin damage on anti-resonance frequency difference

圖3 損傷位置沿對角線方向改變時反共振頻率差值Fig. 3 Effect of damage position moving on diagonally on honeycomb panel anti-resonance frequency difference

由圖3可看出，由于邊界效應，當損傷位置越靠近邊界時，反共振頻率法對蜂窩板損傷的判定效果越不明顯。

4 蜂窩板損傷程度的定量分析

由于蜂窩夾層板的復雜結構所致，當損傷程度按一定比例增加時，其頻率變化大都呈無規律變化，這給蜂窩夾層板的損傷程度識別帶來很大困難。這里只對個別位置的個別損傷情況的損傷程度識別加以研究探討。

在損傷形式、損傷位置判定正確的基礎上，先以蜂窩夾層板中心位置處芯層損傷為例，其第2階固有頻率隨損傷程度增加的頻率變化量如圖4所示（本節損傷程度以損傷蜂窩個數為單位）。

圖4 蜂窩板中心位置芯層損傷第2階頻率變化量Fig.4 The second mode frequency variation of honeycomb panel with damage in the center position

從圖4中我們可看出，各損傷對應的頻率變化量與擬合直線能較好地吻合。通過圖4所示3點數據可求得擬合直線方程如下：

其中，下標為相應數據點號。

通過式（16）可計算出損傷程度D。

由反共振頻率定義可知，對于蜂窩板每個單元節點都有對應該點的反共振頻率，故反共振頻率反應結構局部性能的能力要強于固有頻率，因此反共振頻率可以更準確地反映蜂窩板損傷程度的變化。

中心損傷時損傷所在行單元各點隨損傷程度增加的變化關系如圖5所示，可見曲線峰值（即損傷位置反共振頻率差值）近似等差遞增。其損傷位置反共振頻率隨損傷程度增加的變化量如圖6所示，得此擬合直線就可在損傷形式、損傷位置判定正確的基礎上，只要計算出其與無損蜂窩板反共振頻率的差值，就可準確計算出損傷程度。

5 結論

反共振頻率法可有效直觀地判定損傷位置，并具備損傷程度判定的能力。通過與筆者對蜂窩夾層板損傷檢測研究的其他方法[5]（振型法、曲率模態法等） 相比較，反共振頻率法較其他方法可更有效地識別蜂窩板各位置的損傷，這是本方法的突出優點。

圖5 中心損傷所在行單元反共振頻率差值Fig.5 Line unit anti-resonance frequency difference of increased damage in the center position on honeycomb panel

圖6 損傷位置反共振頻率變化量Fig.6 Anti-resonance frequency variation at damage location

[1]Yang S M, Lee G S. Structural damage identification using pole/zero dynamics in neural networks. AIAA Journal, 2001, 39(9)： 1805-1808.

[2]Bamnios Y, Douka E, Trochidis A. Crack identification in beam structures using mechanical impedance. Journal of Sound and Vibration,2002, 256(2)： 287-297.

[3]Inada T, Shimamura Y, Todoroki A, et al. Development of the two-step elimination identification method by resonant and anti-resonant frequency changes. Key Engineering Materials, 2004, 270-273：1852-1858.

[4]Dilena M, Morassi A. The use of ant resonances for crack detection in beams. Journal of Sound and Vibration, 2004, 276(1/2)： 195-214.

[5]張英杰,顏云輝,李永強,等.基于振型數據的蜂窩夾芯板損傷檢測.東北大學學報,2012, 33(3)：418-421.