數形結合明結構，以退為進獲思路
——2015年廣東廣州中考卷第25題解析與反思

☉江蘇省連云港市花果山中學 劉文燕

數形結合明結構，以退為進獲思路
——2015年廣東廣州中考卷第25題解析與反思

☉江蘇省連云港市花果山中學 劉文燕

函數是中考考查的重點內容，函數考題也是考查數形結合的重要知識背景，各地考卷中也充分挖掘函數在數形結合上的考查功能，本文關注2015年廣東廣州卷第25題，從數形結合的角度講解思路，并反思此類問題的教學思考，與同行研討.

一、考題展示及思路突破

考題（2015年廣東廣州中考卷第25題）已知O為坐標原點，拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C，且O、C兩點之間的距離為3，x1· x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，點A、C在直線y2＝-3x＋t上．

（1）求點C的坐標；

（2）當y1隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求2n2-5n的最小值．

思路突破：（1）利用y軸上點的坐標性質表示出C點坐標，再利用O、C兩點間的距離為3寫出點C的兩種可能的坐標.

（2）先將點C的兩種可能的位置（0，3）或（0，-3）分別代入直線y2＝-3x＋t，可求出對應的t的值，于是可以求出相應的點A的坐標；當點A的坐標求出之后，結合“x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4”又得出點B的坐標.最后再把兩組不同的點A、B、C的坐標信息代入拋物線y1＝ax2＋bx＋c中，即可求出解析式，從而問題獲得突破.

（3）由第（2）問的求解，仍然分兩種情況討論，

①若c＝3，則y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3，得出y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝-（x＋1＋n）2＋4，y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x＋3-n，到此之后，為了更好地理解，我們從“形”的角度進行分析：

在圖1中，分別畫出了y1＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3的圖像，在圖2中，分別畫出了平移之后的y3＝-（x＋1＋n）2＋4， y4＝-3x＋3-n圖像.

圖1

圖2

再結合圖像分析，拋物線平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，在圖2中，該圖形P就是在對稱軸左側的部分，如果平移之后的直線與P有公共點，則拋物線的頂點P一定在Q點（直線與拋物線對稱軸交點）上方，這時把拋物線對稱軸x＝-1-n分別代入拋物線、直線解析式，應該有yP≥yQ，得不等式-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，解出n的取值范圍.

②若c＝-3，則y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3，y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝（x-1＋n）2-4，y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x-3-n，同樣，我們也從“形”的角度進行分析：

圖3

圖4

在圖3中，分別畫出了y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3的圖像，在圖4中，分別畫出了平移之后的y3＝（x-1＋n）2-4，y4＝-3x-3-n的圖像.

結合圖像分析，拋物線平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，在圖4中，該圖形P就是在對稱軸右側的部分，如果平移之后的直線與P有公共點，則拋物線的頂點P一定在Q點（直線與拋物線對稱軸交點）下方，這時把拋物線對稱軸x＝1-n分別代入拋物線、直線解析式，應該有yP≤yQ，得不等式（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解出n的取值范圍.

值得注意的是，當n的取值范圍求出之后，還需要用題目中的規定“n＞0”檢驗，從而把確認之后的n的取值范圍用于求2n2-5n的最小值.

規范解答：（1）令x＝0，則y＝c，故C（0，c）.

因為OC的距離為3，所以|c|＝3，即c＝±3，所以點C的坐標為（0，3）或（0，-3）.

（2）因為x1x2＜0，所以x1，x2異號.

①若C（0，3），即c＝3，把C（0，3）代入y2＝-3x＋t，則0＋t＝3，即t＝3，所以y2＝-3x＋3.

把A（x1，0）代入y2＝-3x＋3，則-3x1＋3＝0，即x1＝1，所以A（1，0）.

因為x1，x2異號，x1＝1＞0，所以x2＜0.

因為|x1|＋|x2|＝4，所以1-x2＝4，解得x2＝-3，則B（-3，0）.

所以y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，則當x≤-1時，y隨x增大而增大．

②若C（0，-3），即c＝-3，

把C（0，-3）代入y2＝-3x＋t，則0＋t＝-3，即t＝-3，所以y2＝-3x-3.

把A（x1，0），代入y2＝-3x-3，則-3x1-3＝0，即x1＝-1，所以A（-1，0）.

因為x1，x2異號，x1＝-1＜0，所以x2＞0.

因為|x1|＋|x2|＝4，所以1＋x2＝4，解得x2＝3，則B（3，0）.

所以y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，則當x≥1時，y隨x增大而增大.

綜上所述，若c＝3，當y隨x增大而增大時，x≤-1；

若c＝-3，當y隨x增大而增大時，x≥1.

（3）①若c＝3，則y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3.

y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝-（x＋1＋n）2＋4，

則當x≤-1-n時，y隨x增大而增大.

y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x＋3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x＝-1-n時，y3≥y4，

即-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，

解得n≤-1.

因為n＞0，所以n≤-1不符合條件，應舍去.

②若c＝-3，則y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3.

y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝（x-1＋n）2-4，

則當x≥1-n時，y隨x增大而增大.

y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x-3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x＝1-n時，y3≤y4，

即（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

二、變式改編

以下本著命題研究的興趣，對該題做出一些個性化的變式改編，提供研討.

變式在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C，且O、C兩點之間的距離為3．

（1）求點C的坐標；

（2）若點A、C在直線y2＝-3x＋t上，且x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4.

①當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍；

②將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為“曲線P”，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與“曲線P”有公共點時，求n的取值范圍．

變式意圖：改變后題干表述更簡潔明了，讓學困生根據絕對值的“幾何意義”也能順利解出第（1）問，而將部分原有題干條件后置到第（2）問小題干中，考慮到原考題第（3）問“求2n2-5n的最小值”只是增加解題層次的一種附加式設問，式子“2n2-5n”與前面無甚關聯，本著削枝強干的目的，直接求n的取值范圍.

三、教學思考

由于廣州卷這道考題是全卷最后一題，且沒有配圖，就是網上流傳的一些參考答案也沒有提供圖像分析，而從追求提升此類問題解題教學的效益來看，數形結合的分析、講解是很重要的；此外就考題的三個并列式設問來看，引導學生體會并列式問題背后的遞進式求解策略也是提供解題能力的關鍵，以下就圍繞這兩個方向做出進一步的闡釋.

1.數形互助，借助圖像直觀揭示問題的結構

根據教學經驗，有些數學適應性較弱的學生面對諸如上文中的文字函數題往往感到抽象晦澀，這時如果能借助圖像直觀思考，常常能讓更多的學生看清問題的結構，而且又能加深對符號表達簡潔性、嚴謹性的認識.

2.以退為進，借助上一問解答思考后續問題

中考綜合題常常有2～3個問題，多以并列式問題居多，然而這些并列式問題并非簡單拼湊，而是形異質同，互為暗示與啟示，又層層推進.理解上述命題特點之后，再看廣州卷考題的三個設問，就不難發現，第（1）問啟發了我們對于C點的兩種可能位置要分類討論；而由此出發，第（2）問則需要分類討論出兩種可能的函數解析式，并且思考了開口向下（上）拋物線的增減性，題中“y1隨著x的增大而增大”的訓練考查，恰恰又啟發著第（3）問中“平移后y隨著x的增大而增大的部分為P”.

1.章建躍．中學數學課改的十個論題［J］．中學數學教學參考（上），2010（3～5）．

2.許衛兵．簡約：數學課堂教學的理性回歸［J］．課程·教材·教法，2009（5）.

3.羅增儒．數學的領悟［M］．鄭州：河南科學技術出版社，1997．

4.劉東升．“并列”式問題與“遞進”式求解——由一則解題教學案例說起［J］．中學數學教學參考（中），2012（8）.

5.【美】波利亞.怎樣解題［M］．閻育蘇，譯．北京：科學出版社，1982.

6.劉東升．關聯性：一個值得重視的研究領域［J］．中學數學（下），2013（12）.H