眾里尋他千百度定位不準難覓處
——“物體位置的確定”教學實錄及其思考

☉江蘇省無錫市雪浪中學 戴倍琪

☉江南大學附屬實驗中學 龐彥福

·江蘇省無錫市龐彥福名師工作室·

眾里尋他千百度定位不準難覓處
——“物體位置的確定”教學實錄及其思考

☉江蘇省無錫市雪浪中學 戴倍琪

☉江南大學附屬實驗中學 龐彥福

一、對教材理解及教學觀點

若給你一張無錫大劇院的入場券，根據入場券的排號和座號，你能夠確定應該入場的位置嗎？

人們在生活、生產實踐中常常需要確定物體的位置，如影劇院里的座位，棋盤上棋子的位置，城市地圖上車站、學校、醫院、風景區的位置，在海洋中確定船只或艦艇的位置，以及戰爭中要打擊的目標的位置……

在生活中，確定物體的位置有哪些方法呢？怎樣描述你在教室里的座位呢？需要幾個數據呢？

大千世界的各種變化可以用數量來描述，物體的位置往往可以由數據來刻畫，數量的變化與位置的變化有著密切的聯系．在現實生活中往往需要確定物體的位置，因此研究物體位置的確定就成了學科及領域需要學習的內容．

從《課標》來看，關于“物體位置的確定”在小學階段已經有所了解，第一學段（1～3年級）的要求是“會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置；給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的方向”．第二學段（4～6年級）的要求是“能根據物體相對于參照點的方向和距離確定其位置；會描述簡單的路線圖；在具體情境中，能在方格紙上用數對（限于正整數）表示位置，知道數對與方格紙上點的對應”．進入初中之后，要求能“結合實例進一步體會用有序數對可以表示物體的位置”．對這一內容的了解和研究是為順理成章地引入“平面直角坐標系”做鋪墊，并且為進一步研究函數的有關內容奠定基礎．本節課的教學通過實踐、觀察、記錄、描圖等活動，感受現實世界中事物之間的聯系．在確定物體位置的過程中，進一步發展空間觀念．

通過圖形位置變化過程中相關數量的變化的討論，引導學生經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程．俗話說，良好的開始是成功的一半，初中階段學習研究一次函數（包括正比例函數）、反比例函數、二次函數的圖形與性質等，離不開平面直角坐標系，而“物體位置的確定”的學習則為“平面直角坐標系”的“登場”搭建了支架和平臺．

本節課在已有知識及經驗的基礎上，理解確定位置的重要性和必要性，能夠了解、掌握確定位置的方法，這是本節課教學的重點．

用方向角確定物體的位置時容易忽略掉“距離”這一要素，這應是教學的難點，同時確定物體的位置的方法是多種多樣的，因此要靈活運用不同的方法確定物體的位置，在經歷問題分析和解決的過程中，體悟其中所蘊含的數學思想，既是教學的重點，也是教學的難點．

二、課堂教學實錄與說明

1.創設情境，感知確定位置的必要性

師：班主任老師利用星期天要去位于郊區的小明家（小明家住的是獨門獨戶的房子，如圖1）進行家訪，你能給老師指路嗎？

圖1

圖2

生1：沿馬路走，在馬路左側，第三排第三戶便是．

師：如圖2，住在幸福家園的小強家（城鎮的商品房）老師也要去，你能給指路嗎？該怎么找到呢？

生2：2單元四樓的一戶．

生3：是2單元404室．

師：謝謝同學們熱心而清晰的指路．老師一定能找到這兩個同學家的位置．今天我們就來探究“物體位置的確定”．

說明：初中階段認識、研究“定位”比小學里認識“定位”上了一個較大的臺階，小學階段的第一學段主要是定性描述物體的位置，第二學段則過渡到用有序自然數對定量刻畫物體的位置，現階段是用有序實數對定量刻畫點的位置及“定位”的方法和蘊含的坐標思想．生活中處處存在著數學，以實際問題作為引例，比較貼近學生的生活實際和學生的生活經驗，顯得自然，體現了生活中確定位置的重要性和必要性，本節課是研究物體（點）位置的確定，引入做到了開門見山，提出問題，為課堂探究做好了鋪墊．教學是用教材教而不是教教材，創設情境、引入新課，選取素材可以是教科書中的，也可以根據學生情況、根據本地生活實際和學生的生活經驗合理選用非教材中的適宜素材來引入新課．接近學生生活的情境能夠使他們感受到學習數學的實際意義和實用性．備課要做到理解教材、理解學生、理解教學，并依據學生的認知起點實施教學．教學設計需要進一步優化和提煉，切實做到所選擇的引入情境或素材要緊密聯系教學內容，結合學生生活實際及認知基礎，能夠揭示數學本質．

2.探究體驗，尋找確定位置的方法

師：如果將班級學生的座位約定從前往后為第一排、第二排、……依此類推，從進門往里為第一列、第二列、……依此類推，并且排在前、列在后，用（排數，列數）表示一個同學的座位位置，譬如小桐的座位可表示為（2，4）．請同學們報出自己當前的位置．

……

師：剛才是用有序數對來確定物體或點的位置．結合圖3，你能向別人介紹或描述自己學校所在的位置嗎？

生4：在人民醫院的東側．

圖3

生5：別人要是不知道人民醫院的位置呢？應該說成是在長安路與解放路交叉口的東側解放路路南．

師：這樣指就很清楚了，即使對這里的地形不熟悉，只要找到路標就能找到我們學校了．這種確定位置的方法是……？

生6：和地理課上利用經線緯線是同樣的道理．

生7：這種方法也可以看作是找兩線的交點．

師：很好的想法，善于知識的遷移與類比，是學習數學的好方法．

師：請同學們看圖4，表示的是某次海戰中敵我雙方艦艇對峙示意圖．對我方潛艇來說，北偏東40°的方向上有哪些目標？

圖4

生8：有敵方戰艦B和小島．

師：距我方潛艇圖上的距離1.5cm處的敵艦有哪幾艘？

眾生：用刻度尺測量，紛紛舉手……

師：根據現有條件，你能確定每艘敵艦的位置嗎？

生9：只能確定它們的方向，不能確定每艘敵艦的具體位置．

生10：要確定每艘敵艦的位置，還需要一個數據，就是距離．

師：方向角加上距離，你能說的更明白嗎些？比如小島距離我方艦艇90km，怎樣描述小島的位置？

生10：小島在我方艦艇北偏東40°的90km處．

師：的確，利用方向角加上距離也能確定出物體或點的位置．

說明：隨著學習內容的增加與深入，定位（確定位置）的方式方法豐富多樣了，通過師生對話，交流討論，進一步感受確定物體位置的幾種常用方法，體會確定物體或點的位置方法的比較與合理選擇．發展學生的數學應用意識．

3.拓展延伸，由確定物體位置到確定點的位置

師：如圖5，點A在沿直線l自上而下運動的過程中，∠BAC的大小是如何變化的？

生11：先由小變大，再由大變?。?/p>

師：∠BAC變化的過程中，有最大值嗎？

生12：∠BAC的最大值是180°，即點A運動到線段BC上時.

圖5

師：∠BAC由小或變大的過程中，有最小值嗎？生11：是接近0°，即無窮小的意思．

師：點A在什么位置時，△ABC是等邊三角形？

師：你是怎么得出這個結果的？

生14：當△ABC是等邊三角形時，可以根據勾股定理求得．

師：點A在什么位置時，△ABC是直角三角形呢？

圖6

師：如圖6，當點O沿直線l從左向右運動時，△On+1PQ的周長是如何變化的呢？

生16：先變小再變大．

生17：點O從O1運動到O2的過程中，相應三角形的周長不斷變小，點O從On運動到On+1的過程中，相應三角形的周長不斷變大．

生18：△On+1PQ的周長先從無窮大逐漸變小，然后又逐漸變大．

師：在點O變化的過程中，形成的三角形的周長有沒有最大值呢？

生18：沒有．

師：有沒有最小值呢？

生19：有．根據對稱，作點P關于直線l的對稱點P′，連接P′Q，P′Q與直線l的交點處即是周長最小的三角形頂點O的位置．

說明：學生隨著年齡的增長，認知水平在提高，認識“定位”問題自然就上了臺階，從確定物體的位置過渡到確定點的位置，這是研究對象的數學化程度提高的象征．確定物體位置的方法是學習“圖形與坐標”、“函數與圖像”、“曲線與方程”的理論基礎．隨著學習的深入，用代數方法研究幾何問題的步驟是：確定坐標原點→選擇坐標系→用坐標（或方程）表示點（或曲線）→通過坐標（或方程）獲得圖形（或曲線）的幾何信息，其蘊含的數學思想就是笛卡爾的坐標思想．研究思路是根據已有定位經驗，概括定位方法，進而解決定位問題．體現了“具體→抽象→具體”的思維方法．通過教學能使學生明確用有序數組表示點的意義，理解掌握確定物體（點）位置的方法能夠滿足數學地解決生活中的定位問題的需要，體現了數學的育人意義及價值．其蘊含的形象思維及抽象思想、數形結合思想、對應思想等對發展學生智力和數學素養有著積極的影響．教學中，探索的思路讓學生尋找，解決問題的方法讓學生發現．引導學生觀察、思考的過程，是為了讓學生體會數與形的內在聯系，增強學生“發現問題和提出問題、分析問題和解決問題”的能力．

4.總結回顧，反思提升

師：本節課我們研究的對象是什么？

生20：是物體或點．

師：研究的內容是什么？我們是怎樣研究的？

生21：是確定這些物體或點的方法．……

師：常用確定物體位置的方法有哪些？如何簡捷地表示物體的位置？

……

師：確定位置的過程中蘊含著哪些數學思想？

……

師：用有序數組表示點有何意義？

……

5.布置作業，鞏固提高

必做與選做（略）.

三、教學思考與感悟

教師是課堂活動的設計者、引領者、參與者與合作者．教師的作用是喚醒學生求知、引導學生學習．有效的課堂活動需要老師給學生搭建平臺，有了平臺學生才便于表演；實現課堂教學有效性需要老師給學生尋找支點，有了合適的支點學生才會跳得更高．教師教學要根據學生已有的學習基礎及生活經驗，找準教學的邏輯起點，優化設計過程，合理實施課堂教學．教學中，注重對數學本質的認識和理解，提高學生認識數學、理解數學、應用數學的能力．數學教學的核心任務是培養學生的思維．探究性教學要根據學生的實際情況，通過合理的、適宜的問題，讓學生經歷直觀、猜測、推理、發散、歸納、類比、概括、優化、反思等活動過程，感悟數學知識的形成過程及應用，加深理解數學知識與方法，養成良好的數學思維習慣，使學生的思維品質得到進一步提高．知識是能力的基礎，能力是知識的升華，思想方法是其靈魂，解決問題是知識的運用，是獲得能力的途徑．在教學過程中要注重思想方法的滲透與提煉，只有這樣，才能挖掘學生發現問題和提出問題的能力，才能發展學生分析問題和解決問題的能力．數學教學不能只讓學生記住枯燥的結論，數學學習除了知識本身外，還要關注獲得知識的過程，以及呈現數學知識載體的豐富內涵，防止讓學生“只見樹木不見森林”的現象．建造高樓必須打好基礎，夯實樓基，數學學習同樣要找準認知的起點，使知識在構建過程中形成體系，使學生在認知過程中理解數學．通過確定物體的位置到探究確定點的位置，進而為學習平面直角坐標系深入研究函數埋下伏筆，使研究內容由淺入深，層層遞進．

1．中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2．余文森，劉冬巖.有效教學的基本策略［M］.福州：福建教育出版社，2013．

3．楊裕前，董林偉．義務教育教科書·數學（七年級下冊）［M］.南京：江蘇科技出版社，2013．

4．龐彥福．初中數學有效教學［M］．北京：北京師范大學出版社，2015．

5．龐彥福，肖健，黃海濤.建立模型找關系抽絲剝繭現本質［J］．中學數學（下），2014（10）．

6．龐彥福，詹慧，翁壽峰．數學教師的“六研究”［J］．中學數學（下），2014（3）．H