基于線性控制參數的非線性汽車懸架最優控制

岳書常，許英姿，劉燦昌，鞏慶梅，任傳波，周繼磊

(山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255049)

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基于線性控制參數的非線性汽車懸架最優控制

岳書常，許英姿，劉燦昌，鞏慶梅，任傳波，周繼磊

(山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255049)

摘要：為研究非線性汽車懸架的振動控制問題，提出一種基于線性控制參數的最優控制方法。建立了兩自由度懸架非線性動力學和數學模型，引入速度和位移線性控制參數，采用平均法導出懸架的主共振幅頻響應特性，分析了激勵幅值、非線性程度及控制參數的變化對共振幅值的影響。對懸架的穩定性進行分析，在保證振動方程存在穩定解的條件下，得到控制參數的取值范圍。以懸架的衰減率和振動能量為目標函數，以控制參數取值范圍為約束條件，利用最優化方法得到最優控制參數。研究發現，懸架的非線性振動特性受激勵幅值和系統非線性程度的共同影響，在控制過程中速度控制參數起主要作用，當兩種控制參數取得最佳值時，懸架共振峰值較無控制參數可衰減88%左右，且懸架的非線性振動特性得到消除。最后利用數值仿真，驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：非線性汽車懸架；線性控制參數；平均法；衰減率；能量函數；最優控制

0引言

受能源、環境、技術等條件的制約，傳統汽車的發展逐漸放緩，在現有技術的基礎上，提高用戶乘車的舒適性和安全性顯得尤為重要，而對這兩個性能指標影響最大的便是汽車懸架[1-4]。

基于線性系統的最優控制在線性懸架的主動控制中有效地提高了懸架的性能[1, 5-9]，但這些工作主要圍繞線性汽車懸架的動力響應分析、參數優化及主動與半主動控制方法的研究，而懸架作為典型的非線性系統[10-11]，受路面激勵時會產生復雜的動力學行為，采用此方法在一定程度上存在很大的局限性。因此，眾多學者圍繞非線性汽車懸架的控制問題開展了廣泛的研究。梁山等[11]利用仿真和實驗驗證了非線性汽車懸架受路面激勵而發生混沌運動的可能性。馮菲等[12]對4種路面激勵下汽車非線性懸架最優控制展開研究，通過設計合適的系統參數能夠得到較好的振動控制效果。江雄[13]采用等效線性化的方法研究了不同工況下1/4車非線性懸架的隨機最優控制，雖然能取得較好的減振效果，但僅限于四分之一車懸架的隨機響應及主動控制。在改進控制策略方面，陳寧等[14]基于分數階微分理論結合天棚阻尼控制策略得到一種改進的主動控制策略，雖然控制效果較好，但結構較為復雜。范建文等[15]提出一種最優控制與模糊控制相結合的復合控制策略，這實際上是在一定程度上對最優控制及模糊控制進行優化，二者結合有效提高控制效果。

就上述研究現狀來看，在非線性控制方法的理論研究方面取得了一定的進展，但在控制過程中得到合適的反饋控制增益卻不容易。另外，懸架作為機電液耦合系統，不可避免的存在時間滯后，這會導致控制系統失穩或出現混沌等復雜運動[2,16]。

為了更好的實現非線性汽車懸架的控制，提高振動控制對激勵變化的適應性。本文以1/4車懸架模型為對象，通過引入線性控制參數，分析汽車懸架非線性振動特性影響因素，在保證振動方程存在穩定解的基礎上得到控制參數的取值范圍，以衰減率和能量函數為目標函數，利用最優化方法得到最優控制參數，進而得到滿意的振動控制效果。

1非線性懸架模型

以1/4車體為研究對象，建立懸架兩自由度模型，如圖1所示。圖1中，m1、m2分別為車體質量和車輪質量，c為懸架阻尼系數，k1、k2分別為懸架剛度系數和輪胎剛度系數，x1、x2和x0分別表示車身位移、車輪位移和路面不平度函數。

圖1所示的懸架的動力學方程為

(1)

圖1　兩自由度1/4汽車懸架模型Fig.1　The quarter vehicle model with two degree-of-freedom

式中，ε(0<ε<1)表示懸架彈簧的非線性程度；x0=Acosωt，其中A表示激勵幅值，ω表示激勵頻率。

令z1=x1-x0，z2=x2-x0，則式(1)變為

(2)

在線性控制參數作用下，式(2)變為

(3)

2求解非線性振動方程

假設式(3)的解滿足

zi=aicos(ωt-θi)i=1,2,

(4)

(5)

其中，ai、θi均為時間t的慢變函數，并記φi=ωt-θi。

對式(4)求微分，得

(6)

由式(5)、(6)可以得到

(7)

將式(4)、(5)帶入式(3)中，整理得

(8)

其中，

由式(7)、(8)可得

(9)

利用平均法，將式(9)在[02π]上平均積分，即

(10)

通過計算，得

(11)

(12)

本文只考慮激勵頻率接近懸架固有頻率ω1或ω2時的主共振情況，并且在非內共振情況下，當ω接近ω1時，與a1相比，a2是小量；當ω接近ω2時，與a2相比，a1是小量。所以式(11)、(12)變為

(13)

(14)

(15)

(16)

消去θi，得到主共振幅頻響應方程

(17)

由式(17)可得，主共振峰值大小分別為

(18)

相應的無控制時主共振峰值大小為

(19)

為了評價振動控制的效果，將有控制、無控制時懸架主共振振幅峰值的比值定義為衰減率，第一階和第二階主共振時的衰減率分別為

(20)

由式(20)可知，當衰減率01時，說明振動控制前后主共振振幅增大，未起到減振作用。

3運動穩定性及最優控制分析

只對車身運動進行穩定性分析。懸架非線性振動解的穩定性由式(13)的矩陣的所有特征值所決定，考慮到其特征方程為

(21)

由穩定性定理[17]知，對于μe>0，系統穩定的條件為

(22)

由式(22)可以得到

(23)

(24)

(25)

(26)

為了評價控制參數對懸架非線性振動的控制效果，將最優化控制中的衰減率和振動能量的加權平方和作為優化函數，將控制參數取值范圍作為最優控制的約束條件，即

J=ρ1R2+ρ2E2,

(27)

s.t.

(28)

(29)

選擇圖1所示的懸架作為仿真模型，各參數的取值分別為：m1=240 kg，m2=36 kg，k1=16 000 N/m，k2=160 000 N/m，c=250 N·s/m，A=0.10 m，ε=0.4。

利用MATLAB，設置不同的速度控制參數限值，得到優化計算結果如表1所示，其中gu1和gu2分別對應于式(29)所表示的位移控制參數gu的兩種不同取值。表1表明，控制參數限值λ取值的不斷減小，使得控制參數gu和gv呈現出減小的趨勢，衰減率R由1.000變化到0.290，振動能量E也相應地分別取得不同值。這就是說，通過設置λ的取值，控制參數會相應的做出變化，進而可以得到不同的振動控制效果。

表1　優化計算結果

4數值仿真

為了分析控制參數對懸架非線性振動的減振作用，首先考慮不同激勵幅值和非線性程度對懸架主共振幅值的影響(以第一階主共振為例)。圖2表示非線性程度取固定值(ε=0.4)，激勵幅值取不同值時的第一階主共振幅頻曲線。從圖2可以看出，隨著激勵幅值的增大，主共振振幅隨之增大，而共振頻率變化不大；當激勵幅值較小時(A=0.05 m)，懸架振動呈現出線性特性，隨著激勵幅值的增大，線性特性逐漸減弱，當A=0.10 m時，呈現出非線性特性。

圖3表示激勵幅值取固定值(A=0.10 m)時不同非線性程度下的主共振幅頻曲線。從圖3可以看出，當激勵幅值一定時，隨著非線性程度的增大，懸架振動逐漸由線性特性轉變為非線性特性，主共振振幅隨著ε的增大而增大，而主共振頻率變化不大。

圖2ε=0.4時不同激勵幅值下的幅頻曲線

Fig.2Amplitude-frequency curves with different

amplitude of the excitation, whereε=0.4

圖3A=0.1 m時不同非線性程度下的幅頻曲線

Fig.3Amplitude-frequency curves with different

nonlinear degree, whereA=0.1 m

通過圖2和圖3還可以發現，懸架非線性特性的出現受激勵幅值和非線性程度二者的共同作用，當非線性程度較大(ε=0.4)、激勵幅值較小(A=0.05m)，或者非線性程度較小(ε=0.1)、激勵幅值較小(A=0.10m)時，均表現出線性特性。

取A=0.10m，ε=0.4，其他參數保持不變，得到控制參數對共振幅值的影響如圖4所示。當A=0.10m時，在gv不變(gv=0)、gu變化的情況下，懸架振動表現出非線性特性，隨著gu取值的減小，非線性程度有所增加，并且主共振峰值所對應的激勵頻率向左偏移，而主共振峰值變化較小，如圖4(a)所示。當gu=0、gv發生變化時，隨著gv取值的減小，主共振幅值明顯減小，而主共振峰值對應的激勵頻率變化不大，如圖4(b)所示。從圖4(b)還可以看出，隨著gv取值的減小，懸架的非線性特性程度逐漸減弱直至完全變為線性特性。

圖4(c)表示gu和gv均發生變化時主共振幅值與激勵頻率之間的關系曲線。從圖4(c)中可以看出，隨著gu和gv的變化，主共振幅值逐步減小，特別是當gu=6.16和gv=0變化到gu=0.11和gv=-8時，主共振幅值由0.85 m減小到0.10 m左右，這說明在兩種控制參數作用下，懸架振動控制效果較無控制參數能夠提高88%。對比圖4(a) ~ (c)還可以發現，gv在控制過程中起主要作用，其對懸架系統的減振效果明顯優于gu對系統的減振效果。

(a)gv=0

(b)gu=0

(c) gv≠0且gu≠0

圖5表示不同激勵頻率下速度控制參數變化曲線。由圖5可以看出，隨著激勵頻率ω的增大，速度控制參數gv逐漸減小，表明當激勵頻率變化時，速度控制參數也會隨之變化，速度控制參數對于激勵的變化表現出良好的適應性。從圖5還可以看出，當激勵頻率ω不變時，增大非線性程度ε的取值，速度控制參數gv不斷減小，這種現象說明非線性程度在控制作用中的作用不可忽視。

圖6表示不同激勵頻率下非線性程度ε對衰減率R的影響。從圖6可以看出，隨著ε的增大，衰減率隨之減小，意味著懸架主共振幅值的減小，進一步說明了減振效果。另外，對于某一固定激勵頻率ω下，隨著非線性程度ε的增大，速度控制參數gv不斷減小，同樣表現出控制參數對于不同非線性程度的適應性。

上述算例的分析表明，非線性汽車懸架的振動受激勵幅值和非線性程度二者的共同作用，在控制參數的作用下，懸架振動所表現出的非線性現象得到抑制，并且振幅峰值大幅度衰減。另外，當激勵或系統參數發生變化時，由最優化控制得到的最優控制參數能做出相應的變化，避免失穩現象的發生。因此，相比于其他最優化控制方法，基于線性控制參數的最優化控制方法表現出了較強的優越性。

圖5ε取不同值時激勵頻率ω對gv的影響

Fig.5Effect ofωongv with different values ofε

圖6ε取不同值時激勵頻率ω對R的影響

Fig.6Effect ofωonRwith different values ofε

5結論

對于兩自由度非線性汽車懸架，本文采用引入線性控制參數研究激勵和非線性程度分別變化對懸架振動的影響以及控制參數對懸架的減振作用，得到如下結論：

①懸架的非線性特性受激勵幅值和系統非線性程度的共同影響，僅考慮激勵幅值或非線性程度并不足以說明懸架振動的非線性特性，懸架的非線性振動是激勵和彈簧非線性聯合作用下的運動。

②在懸架非線性振動中引入線性控制參數gu和gv，一方面懸架共振峰值由0.85 m降到0.10 m左右，振動衰減效果明顯，另一方面在振動過程中出現的非線性特性得到消除。另外，從控制效果來看，速度控制參數gv優于位移控制參數gu，而且gu和gv取不同值時懸架主共振幅值降低程度不同，即產生不同的控制效果。

③基于線性控制參數的最優化控制是研究懸架非線性振動的一種有效方法。當激勵或非線性程度發生變化時，控制參數也會隨之變化，但仍取得良好的控制效果，說明控制參數對于激勵或非線性程度的變化具有一定適應性。

④基于線性控制參數的振動控制相對簡單且容易理解，與無線性控制參數時相比，振動控制效果可以提高88%，為懸架減振控制研究提供了基礎。事實上，懸架作為強耦合系統，不可避免的存在時間滯后問題，因此基于控制參數的非線性汽車懸架最優控制效果有待進一步的實驗驗證，這也是今后工作的重點。

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(責任編輯梁健)

Optimal control of nonlinear vehicle suspension based on linear control parameters

YUE Shu-chang, XU Ying-zi, LIU Can-chang, GONG Qing-mei, REN Chuan-bo, ZHOU Ji-lei

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In order to study the vibration control of nonlinear vehicle suspension, an optimal control method is presented by using control parameters and applied to the control of nonlinear vibration of vehicle suspension system. The nonlinear dynamic and math model of two degree-of-freedom suspension system is built and the linear control parameters of velocity and displacement are applied. The amplitude-frequency response is obtained by averaging method. The following analysis of the effects of excitation amplitude, nonlinear degree and the control parameters on resonance amplitude are studied. The suspension system stability is analyzed, and the range of control parameters is gained on the condition of stable solution of the system. Taking the attenuation rate and vibration energy of suspension system as objective functions and the stable control parameters as constraint conditions, the optimal control parameters are calculated by the optimization method. The results show that the nonlinear vibration characteristic of vehicle suspension is influenced by the amplitude of excitation and the nonlinear degree of the system. The control parameter of velocity plays the main control role. The peak amplitude of suspension vibration can be suppressed about 88% when the optimal values of two control parameters are obtained by comparing with no control parameters, and the nonlinear characteristics can be eliminated. Finally, a simulation example validated the correctness and effectiveness of the results.

Key words:nonlinear vehicle suspension; linear control parameters; averaging method; attenuation rate; vibration energy; optimal control

中圖分類號：O322；U463.33

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2015)06-1372-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1372

通訊作者：許英姿(1961—)，女，山東淄博人，山東理工大學副教授; E-mail：xuyz@sdut.edu.cn。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275280)

收稿日期：2015-10-26；

修訂日期：2015-11-12