在比較和發現中探尋數學本質
——《倍數和因數》教學新設計

任衛兵（特級教師）

【教學內容】

義務教育教科書數學五年級下冊第30～31頁。

【教學過程】

一、準備

課前，每位學生獨立、自主完成“倍數和因數”研究學習。

（材料單類似于教材第30至31的內容，只是在找出36的所有因數時，材料中僅提供了一種“列舉除法算式”的方法，另外材料中也沒有直接呈現出一個數的倍數或因數有什么特點。材料單的最后，還精心設計了三個閱讀提示：1.學習材料中有三道例題，每一道例題講的是什么？2.如有興趣，可以嘗試完成例題和“試一試”。3.在閱讀的過程中，如有發現可以寫在相應的地方）

二、匯報

師：課前，我們已就“倍數和因數”進行了閱讀，這節課我將和同學們一起繼續深入閱讀。這部分內容有三道例題，說一說每道例題講的是什么？

生：第一道例題講了“4×3＝12,4和3都是12的因數，12是4的倍數，也是3的倍數”。

師：簡單地說，就是什么是倍數和因數。

生：第二道例題介紹了怎樣找出3的倍數。

生：第三道例題講了怎樣找出36的所有因數。

（結合學生回答，板書：1.什么是倍數和因數？2.怎樣找一個數的倍數？3.怎樣找一個數的因數）

師：今天我們將圍繞這三個方面作進一步的探究。

三、探究

1.什么是倍數和因數？

師：既然同學們都進行了課前閱讀，那就請你們先舉一道乘法算式，對照算式說一說，什么是倍數和因數？

生：2×5＝10,10是 2的倍數，也是5的倍數。2和5都是10的因數。

師：在課前閱讀中，同學們一定看到了這樣一段話“4×3=12，12是 4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數”，那如果說“12是倍數，4和3是因數”對不對呢？

生：這樣說不對。比如12是1的倍數，也是2的倍數，但不是5的倍數，也不是7的倍數，它不是所有數的倍數。

生：倍數和因數是相對的。比如12和3，12是3的倍數；12和24，12卻是24的因數。所以說“12是倍數”是不對的。

師：我們在說倍數（或因數）時，必須說明誰是誰的倍數（或因數），不能單獨說誰是倍數（或因數）。倍數和因數是一種相互依存的關系，不能單獨存在。（板書：相互依存）

師：接下來請同桌的兩個人，每人寫一道乘法算式，讓同桌說一說誰是誰的倍數，誰是誰的因數？

（教師巡視了解學生完成的情況。如發現有學生編寫了“0乘一個數等于0”的算式，則相機強調：為了方便，我們在研究倍數和因數時，所說的數一般指不是0的自然數）

師：（課件出示：20÷4＝5、3＋4＝7）這里的兩個算式，你能從中選一個，說一說誰是誰的因數或倍數嗎？

生：我選第一個算式，20是4的倍數，也是5的倍數，4和5都是20的因數。

生：我也選第一個算式，根據“20÷4＝5”，我們就可以想到“4×5＝20”。而“3＋4＝7”是一個加法算式，不能說誰是誰的倍數或因數。

生：如果把第二個算式改成“3＋3＝6”或者“4＋4＝8”，我們就能說誰是誰的倍數或因數了。

師：剛才幾個同學的回答非常精彩！倍數和因數是建立在乘法或除法的基礎上的。關于“什么是倍數和因數”，都弄明白了吧？我們來看第二道例題。

2.怎樣找一個數的倍數？

師：通過閱讀，相信大家要找到一個數的倍數并不難，難就難在能不能有順序地找出來？下面我們來比一比：在10秒鐘的時間里，看誰寫出的3的倍數最多？

（讓學生在草稿本上寫出3的倍數。并請寫得多的學生進行口頭匯報）

師：寫得多的同學肯定有他獨到的方法，我們請寫得最多的兩個同學介紹一下他們各自的方法。

生：我是用3依次去乘1、2、3、4、5 的。

生：我是用3依次加上3的，3加3等于6，6加3等于9……

師：如果老師也來和你們一起比賽，那我可能只需要5秒鐘，就能寫得比你們中的任何一個人都要多，你們信嗎？

（學生倒數5秒，教師板書——3的倍數：3，6，9，12，15……學生一開始“認為”老師“投機取巧”，漸漸地“明白”了老師獲勝的“理由”）

師：由于一個數的倍數永遠也寫不完，因此我們在寫一個數的倍數時，通常只要按順序依次寫出4、5個，再在后面添上——

生：省略號。

師：請大家用這種方法，分別寫出2的倍數和5的倍數。

（指名讓學生匯報）

3 的倍數有 3，6，9，12，15……

2 的倍數有2，4，6，8，10……

5 的倍數有：5，10，15，20，25……

（課件出示：觀察上面的例子：這三個數的倍數有些什么共有的特點）

師：觀察上面的例子，找一找這三個數的倍數有些什么共同的特點？

生：這三個數的倍數都有無數個。

師：這個同學關注的是一個數的倍數的“個數”。一個數的倍數的個數是無限的。（板書：無限的）

生：我發現：一個數的倍數中，最小的就是它自己。

師：他關注的是一個數的“最小”的倍數。一個數最小的倍數就是它本身。（板書：最小它本身）

師：由“最小”，自然會想到“最大”。那一個數有沒有最大的倍數呢？

生：因為一個數的倍數有無數個，所以沒有最大的。

（教師完成板書：倍數 最小 它本身；最大 沒有；個數無限）

3.怎樣找一個數的因數？

（1）分工合作。

師：怎樣找一個數的倍數？學會了。那怎樣找一個數的因數呢？

師：當你們閱讀到這一句“你能找出36的所有因數嗎”，你是直接往下看材料上的答案，還是先不看自己主動嘗試的呢？

（有一部分學生是直接閱讀的，也有一部分學生是先自主嘗試的）

師：請舉例說一說，哪些是36的因數？

師：看來，找出一個數的因數也不難。有什么好辦法能夠不重復、不遺漏地找出36的所有因數呢？

（出示小組活動要求：①討論：怎樣才能不重復、不遺漏地找出36的所有因數？②把思考的過程用算式表示出來，填寫學習單。③嘗試：有沒有其它的方法）

（2）小組交流。

第一組學生：我們是用列乘法算式的方法，1×36＝36、2×18＝36、3×12＝36、4×9＝36、6×6＝36。因為兩個“6”相同，我們只要寫一個“6”，36的因 數 有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

師：聽了他們的匯報，你還有什么想說的？

生：我覺得每寫出一個乘法算式，我們就可以找到36的兩個因數。這樣一對一對地找，比較方便。

生：我補充一下，如果兩個數相同，比如“6×6＝36”，那我們只能找到36的一個因數是“6”。

師：剛才兩位同學，一個總結得好，一個補充得好。除了這種方法外，還有沒有其他的方法？

第二組學生：我們用的是列除法算式的方法，36÷1＝36、36 ÷2 ＝18、36 ÷3 ＝12、36÷4＝9、36÷6＝6。36 的因數有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

師：兩組同學，一乘一除，方法雖有所不同，但也有一些是相同的。

生：他們都是一對一對找的。

生：當兩個因數相同時，我們只要寫一個就行了。

生：在寫出36的所有因數時，都是按從小到大的順序依次寫的。

（3）自主嘗試。

師：請大家在草稿本上直接寫出15、16的所有因數。

（學生匯報）

（課件出示：36的因數有1，2，3，4，6，9，12，18，36。15 的因數有 1，3，5，15。16 的因數有1，2，4，8，16。）

我思考：

觀察上面的例子：這三個數的因數有些什么共同的特點？

師：剛才我們是從哪三個方面來概括一個數的倍數的特點的？那一個數的因數又有什么特點呢？

生：一個數的最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數的因數的個數是有限的。

（根據學生回答，完成板書：因數 最小 1；最大 它本身；個數 有限）

四、總結

師：通過大家的交流，你對“倍數和因數”又有了哪些新的認識？

生：我知道了倍數和因數是相互依存的。

生：我們還發現了一個數的倍數或因數的特點。

五、拓展

師：古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯曾說過：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密?！边@句話是什么意思？這里的220與284又有怎樣的關系？你們知道嗎？

生：好像220與284有一種你中有我、我中有你的關系。

生：可能與它們的因數有關。

師：那我們一起來探尋它們之間的秘密吧。

（課件播放：原來，畢達哥拉斯發現，在自然數220與284之間，有一種非常奇妙的關系。220共有12個不同的因數：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220。如果不算220它自身這個因數，那么，220所有因數的和正好等于284。

284共有6個不同的因數：1，2，4，71，142，284。如果不算284它自身這個因數……）

師：猜一猜，如果不算284它自身這個因數，那么284所有因數的和可能等于多少？

（學生不約而同地算起來，并相繼說出和是220）

（課件繼續播放：你的真因數之和等于我，我的真因數之和又正好等于你，這對奇異的數真像一對親密無間的朋友。數學上，把具有這樣特征的自然數叫做“親和數”。畢達哥拉斯發現的220和284，是人類認識的第一對親和數，也是最小的一對親和數。古時候，親和數也被涂上了神秘的色彩。人們常把這兩個數分別寫在兩個護身符上，認為佩帶這種護身符的兩個朋友，就能保持良好而長久的友誼。近百年來，不斷有新的親和數被發現?，F在，人們找到的親和數已經超過了1200多對……）

（在學生不斷發出的驚嘆聲中，新課告一段落）

【教學設想】

1.《倍數和因數》一課的教學，采用了一種新的課堂結構，改變了原來固有的教學模式。從我準備、我匯報、我探究、我總結，到我拓展，突出了學生的主體地位，做到了真正放手讓學生去思考。圍繞課前提煉的三個問題，引導學生通過觀察、思考、討論、交流，不斷發現數學的本質。

2.《倍數和因數》一課的教學，體現了教者努力構建數學故事課程的思想。把數學的知識、道理、法則等融入學生所喜聞樂見的故事中，增強了數學學習的趣味性，彰顯了數學教學的人文特性。引入“畢達哥拉斯”的一句名言，讓學生通過猜疑、想象、嘗試、驗證，最終理解了其中的意蘊。把數學的知識、道理、思想等寓于故事中，更易走進學生的內心，更易被學生所接受。

3.《倍數和因數》一課，詮釋出一種新型的教學設計觀?！爸R”層面，簡單地說，哪些知識是不需要學生探究的，就放手讓學生自學；哪些知識是需要經歷獨立思考、相互交流、教師引導才能加深理解的，則要大張旗鼓地進行導學?！白灾鳌睂用?，我們倡導的“自主”并不是完全意義上的自主，而是在教師指導、幫助下的自主?！叭宋摹睂用?，我們不僅要通過教師的言行舉止，給學生積極的暗示、正向的影響，還要結合教學內容鏈接相關素材，給學生真、善、美的啟迪，知、思、行的改變與擴展。