利用系統理論的觀點學習高等數學

鄭銳麗 吳澤賓

摘 要：本文主要應用系統理論的觀點，結合部分高等數學教學經驗，指出把“學習高等數學”看作一個系統，分析該系統的組分、結構、子系統。并試著利用系統的多樣性、整體性、相關性理論理解各個系統，從而啟示學者如何學好高等數學，為學習者學好高數提供思考，拓寬系統理論的實際應用。

關鍵詞：系統；子系統；學習；高等數學

高等數學是大學學習的基本內容，更是理工科學生學好專業課的基礎理論支撐。然而，大部分學生對高等數學的學習存在畏難心理，對某些知識點理解不夠全面、深刻，更不能培養學生解決問題的數學思維能力。系統的相關性、整體性、多樣性觀點啟示我們在學習高等數學時，要聯系自身情況分析學習效果，思考各知識模塊之間的聯系和區別，并從整體的角度看待“學習高等數學”這個過程。避免“只見樹木，不見森林”的局限思維，不再只是哪個知識點不會學哪個，而是要帶著動態聯系的思維方式來學習。

1 系統的闡述

系統是指由若干要素相互作用、并以一定的結構形式復合組成的、在特定的外部環境下具有某種特定功能的有機整體。[ 1 ]一切事物都不可能孤立于周圍的環境，事物的內部必定存在相互關聯的事物子群體，因而我們都可以利用系統的觀點來描述和分析。組分是指事物中包含的各個部分，不可再細分的組分稱為系統的要素或元素。系統的特性包括整體性、相關性、多樣性等。

1.1 整體性

整體性指系統具有其整體的布局、整體的行為方式、整體的特性、整體的功能、整體的發展方向，與外部其他系統整體的聯系等。[ 2 ]高等數學知識具有整體的解題思路、整體的知識結構、整體的數學思維方式、整體的邏輯結構、整體的對理工學科產生的整體輔助作用等。

1.2 相關性

相關性指系統內部不存在孤立的組分，任一組分或元素必定以系統或自身的發展為前提，與其他要素或組分相互關聯、相互依存、相互牽制、相互促進等。學習者學習高等數學的過程中，學習者的學習方法與學習者的學習效率密切相關，兩者間相互作用，相互促進或相互牽制。

1.3 多樣性

多樣性指系統內部組分或要素、關系等的多元化、差異性，系統是多樣性的統一。學習者的學習動機、學習方法、學習工具、學習評價或效果、自身基礎、高等數學知識是系統的組分，這些組分相互之間既有區別又有聯系，體現了系統的多樣性或差異性。

1.4 系統的結構和系統的可分性

系統的結構指各組分之間相互關聯方式的總和。

系統的可分性或劃分子系統是指當系統的組分或要素的數量較多，且彼此之間存在較大的差異，為了方便系統分析，可以將特點相同或相近的組分或要素合并起來，形成若干子系統。若利用集合的思想來描述，可設表示某個系統，表示其元素或組分集合，根據子系統與系統間的關系，有，稱為系統的子系統，且具有系統的特性。[ 6 ]

2 如何利用系統理論學習高等數學

從學習者的角度分析，如果把“學習高等數學”看作一個系統，則可把其劃分為“學習者學習動機子系統、自身基礎子系統、學習方法子系統、知識子系統、學習工具子系統、評價或效果子系統，這些子系統或組分相互作用構成整個學習系統。[ 3 ]學習者必須弄清自身的學習動機，根據自身的基礎特點確定學習方法并選擇合適的工具教輔書或學習伙伴，學習吸納知識，建立自身的知識系統，通過評價及時調整學習方法或樹立正確的學習動機，以此提高學習效率或效果，不斷優化學習系統。從而提高自身學習的主觀能動性和實際應用能力，不斷提高學習質量。以下是系統內部結構圖1：

如圖所示，箭頭方向表示子系統之間的作用關系，箭頭雙向說明各子系統之間的作用關系是雙向的。各個子系統之間的相互關系共同構成了“學習高等數學”的有機整體系統。

從學習者的角度分析，下面給出“學習高等數學”系統的結構聯系圖2。

各個子系統又包含各個要素或組分，以下闡述各個子系統的組成。

1）學習動機系統包括興趣需求、專業需求、升學需求、拿學分需求等。學習者必須認清自身學習高等數學的目的，才能做出正確的學習選擇和學習評價。學習需求因人而異，有的出于學習興趣；有的僅僅為了拿學分畢業；有的則是因為專業學習的要求，如工程計算相關專業；也有的學習者是為了專插本或考取研究生，再有學習者出于多個學習需求。該子系統也可稱為“學習高等數學”的目標系統。

2）學習基礎子系統包括基礎好、基礎一般、基礎差三個要素。該子系統與其他子系統間均相互聯系、相互影響，它們之間存在直接聯系或間接聯系。例如：基礎好的學習者的學習動機傾向于升學需求或興趣需求，基礎差的則趨于拿學分畢業。反過來，不同的學習動機影響學習者的學習態度和方法，進一步影響學習者的知識結構子系統和評價效果子系統，最后又對學習者的學習基礎產生影響，使各子系統間形成作用閉環。

3）學習知識子系統包括概念、性質、應用三大組分。概念組分包括極限、導數、極值、不定積分、定積分等概念；另一方面，每個概念對應的性質，如導數的幾何意義；每個概念的實際應用，如不定積分在經濟學中的應用等。學習者知識系統的豐富程度取決于其對各項知識的掌握程度，通過對知識點的消化理解，進而總結歸納出知識要點。知識系統也可理解為知識模塊，各個模塊之間相互關聯，相互補充?？傊?，學習應該是一個“由薄到厚再由厚到薄”的過程，前階段注重知識的積累，后階段強調對知識的歸納、理解及應用。

4）學習評價或效果子系統包括學習者平時練習的情況、學習考核結果、學習者自我評價、其他學習者的評價、教師評價。評價目的不在于證明，而在于改進學習高等數學系統。因為評價結果輸出后形成反饋信息輸入，學習方法子系統、學習動機子系統或學習工具子系統等子系統收到信息后必定作出系統調整，不斷改善和優化學習方法，所以評價子系統直接影響學習者的學習效果，進而影響學習目標子系統。

5）學習方法子系統包括迂回學習法、理論式學習法、技巧性學習法、題海戰術法等。

高等數學與中學數學最大的區別在于高數側重數學理論的理解、應用，中學數學側重計算和解題的技巧性，故學習者初學高數時無法適應高數的學習內容。無法理解數學概念及其實際應用或者跟后面所學知識的關系，這時可采用迂回學習法。即暫時記下無法理解的內容，繼續學習后面的知識并回顧已學知識，達到溫故知新，更知故的效果。[ 4 ]

另外，高等數學概念相對枯燥抽象，學習者學習時可采取理論聯系實際的方法理解和記憶概念。以導數為例，導數概念是高等數學中最重要的概念之一，它是工程、經濟、管理、電子計算機等領域中一種重要的數學計算工具，如經濟學中的彈性分析、邊際成本分析、邊際利潤分析、邊際產量分析等。所以學習者必須重視理論概念的學習和應用。

6）工具子系統包括各類學習輔導書和學習文具，同時也包括教師和同學。選擇不同的輔導書對學習者必定產生不同的作用。

3 舉例

下面以高等數學知識系統的子系統“概念”為例說明。該子系統可再分為若干個主要子系統：數列極限、函數極限、導數、原函數、不定積分、定積分、二重積分、微分方程、常數項級數、函數項級數、冪級數。[ 5 ]

極限概念是高等數學理論體系中最基本的組成部分。由數列xn=f（n）當項數n→∞時極限概念（即“ε-δ語言”）進一步引申出函數y=f（x）在自變量x→∞和x趨于某一點x0時各自的極限定義；再將函數y=f（x）中因變量y對自變量x的平均變化率Δy/Δx在Δx→0時極限值定義為函數y=f（x）在點x0處的導數或微商，記為f ′（x0）或

；緊接著，給出原函數的概念：若在某個區間上有F′（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區間內的一個原函數；再將f（x）的全體原函數F（x）+C（C為常數）定義為f（x）的不定積分，記為f（x）dx；最后，把聯系自變量、函數及其導函數的數學關系式稱為微分方程，通過積分逆運算解微分方程，可得出函數y=f（x）；如：

已知y=f（x）滿足方程=-，求y=f（x）？

解：把方程變形為：=-；

兩邊同時積分得：lny=ln+C1，

令C1=lnC，即lny=ln+lnC=ln，

所以y=。

通過各概念之間的聯系，學習者可將以上概念合并劃分為一個子系統。如下圖3所示：

學習者在學習概念的過程中應思考各個知識點之間的多樣性、關聯性、同一性，對聯系較緊密的組分或元素進行合并劃分子系統，形成整體思維，不斷構建自身的理論體系框架、概念性質聯系框架、知識應用結構框架；或者學到一個階段后溫故，回頭理解已經學過的概念知識和概念性質以及相應的知識應用點，加深對已學知識的理解的應用并更好的學習理解現階段學的知識點。

4 結語

文章的目的在于鼓勵學習者應用系統理論的思維方法來看待“學習高等數學”這一過程。從不同方面分析“學習高等數學”的結構組成，進而闡述各組分或子系統的組成，并對各子系統的特性進行分析，論述各子系統間的相互作用，最后綜合分析，建立“學習高等數學”系統的內部聯系網絡結構，啟示學習者如何學好高等數學，為學習者提供思考的理論路徑，旨在達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1] 苗東升.論系統思維（一）：把對象作為系統來識物想事[J].系統辯證學學報，2004（07）.

[2] 苗東升.論系統思維（二）：從整體上認識和解決問題[J].系統辯證學學報，2004（10）.

[3] 吳瑞春.用系統科學的觀點理解如何上好高中數學課[J].2013（07）.

[4] 余達錦，楊淑玲.創新創業教育背景下高等數學教學方法研究[J].2013（04）.

[5] 郭運瑞.高等數學[M].2014（01）.

[6] 許國志.系統科學[M].2000（01）.

作者簡介：鄭銳麗（1988.09-），女，廣東揭陽人，研究方向：管理系統工程；吳澤賓（1987.10-），男，廣東揭陽人，碩士研究生，研究方向：信息系統工程。