以直觀操作內化概念本質的實踐研究

孫林美

【摘 要】筆者從三上學生掌握“周長”的實際情況出發，存在“周長”概念教學中對圖形概念掌握偏差導致的問題，“周長的邊線概念不清晰”“一周概念模糊”“強調周的概念弱化長的度量”，經過實踐研究，筆者從五方面著手，“直觀對比——抽象一周”，“直觀對比——抽象一周”“多種展示——直觀長度”“自主操作——辨析封閉”“組圖周長——提升概念”通過實踐操作教學，提高學生對“周長”概念的掌握，以此為鑒提高數形結合與相融。

【關鍵詞】概念 邊線 直觀操作

一、問題的提出

周長是三年級上冊數學中的一個難點，作為概念課的引入，學生對“周長”的本質屬性掌握不全面，直接影響理解、運用。因此，怎樣讓三年級學生能夠在概念新課的時候，通過實踐操作、直觀體驗，更全面掌握其本質屬性，為后續的學習奠定扎實基礎，是筆者一直思考的。

筆者通常發現，在新課結束后，學生對周長的理解，通常就是兩條長加兩條寬，或者長加寬的和乘2。直接趨于公式化的記憶，缺乏直觀意義的理解和內化。在后續的學習中，學生對組合圖形，不規則圖形的周長的解決問題非常弱，不利于高段的綜合解決問題。

（一）出現的問題

1.周長概念不清晰

通常周長與面積的內容是三年級分兩個學期教學。三上教學周長，當時學生的錯誤率不高，但是到第二學期開始講面積的時候，學生對周長面積往往分不清。例如：給你12厘米的一根線，在一平方厘米的方格板中可以圍成多少種不同形狀的長方形？

學生最容易出錯的一個是，他們圍出的是12平方厘米的長方形（長12厘米，寬1厘米；長6厘米，寬2厘米；長4厘米，寬3厘米；）

可以看出學生在圍圖形的時候，看到的是方格圖，對12厘米的線的長度概念弱化，此時只從圖形的大小與邊的關系直接建立聯系。引起直接的錯誤。

2.組合圖形的周長不會做

在新課例題中，簡單的單一、不規則圖形能夠較好的理解，但是對于圖文中間有紋路的圖形，學生開始猶豫，這些紋路需要算嗎？它們算周長嗎？

例如用正方形鋪成的臺階，請算一算它的周長是多少？

學生出現的錯誤把中間的線都算成周長了，因為它們是正方形鋪成的，正方形周長四邊要求，這個也求導致最后錯誤。

（二）出現問題的原因

每次教學，我們都會讓學生經歷周長的摸一摸物體的一周，用一根線圍一圍圖形，最后總結出長方形正方形的周長公式。當第二次進入課堂，問學生長方形周長是什么？大部分學生會告訴你長方形周長公式。孩子們覺得自己已經掌握長方形周長的方法，但是經不起推敲，圖形一變，學生錯誤擺出，究其原因是對周長本質屬性掌握不佳。

1.周長的邊線概念不清晰

每次上周長，我們都讓學生摸一摸圖形的一周是怎樣的，學生一邊在摸，學生對一周有知覺體驗，但是對于長度，這個抽象體驗是不足的。一條圍在一圈的圖形，長度到底有多少，學生不知道，反而在摸的時候，對于面的大小概念有初步的體驗，此時學生在摸的時候，隨著一周概念的建立，感知這個圖形面的大小也初步建立，這是周長與面積容易混淆的第一個感知建立，這時候，對于一周線長度的建立缺失，就是導致后續面積與周長混淆的癥結。

因此，應當讓學生明白，為了這么一圈，其實是一條線，用一條線跟一圈，這個長度大約是這么多。此時，一定要讓學生明晰，此時的周長是一條有長度的“邊線”，而不是模糊的一片大小。

2.周長“一周”概念模糊

對于單獨一個圖形，學生的一周概念建立是清晰的，但組合圖形出現的時候，就出現問題。學生經歷單獨圖形周長的一周感知，每條邊圍成一個圖形的周長，這樣組合圖形的時候，學生往往容易思維定式，忽視大圖一周的長度，而是把所有的圖形的外周都相加。因此，如何讓學生在單個圖形組合中感知周長是外周一圈的長度，十分重要。同時也是一種新的思維模式產生。

3.強調“周”的概念，弱化“長”的度量

新課概念教學中，我們主要強調讓學生指一指圖形的周長，有時“指一指周長”這樣的語言描述在有些版本的教材上也有所呈現?；谶@些操作，學生認為圖形的一周即“周長”。

在實際的操作中，“周長”是一周的長度，“一周”可以指一指，但是“長度”卻需要測量?！爸钢荛L”僅僅指的是圖形的一周邊線，并不是一周邊線的長度。因此在這樣的直觀教學中“指一指”只能用在指邊線的范圍，指“周長”明顯不合適。

二、研究結果與啟示

直觀操作指學生通過擺一擺，想一想，比一比，看一看等多感官的動手實踐中經歷概念問題的思考過程，逐步把動手的過程與思考過程相結合，內化概念，提升數學思維。

周長是一個概念課，是指封閉圖形一周的長度。對于三年級孩子，“封閉”概念有些模糊，理解起來有些困難，“一周”，“長度”看似簡單的詞語，在具體的圖形理解中還是困難重重。因此，只有讓學生進行動手實踐后，積累一定的實踐積累，經歷體驗、感悟后對于周長的概念才是生動的，更是深刻的。

1.直觀對比——抽象一周

顧名思義，“周長”由“周”和“長”組成。抽象“一周”的過程，非常有必要。通常的教學中，筆者更喜歡讓學生到黑板上指一指，黑板的一周在哪里，門的一周在哪里，學生幾乎不會出錯地這一圈。但是當沒有特定的情節和要求規范時，學生指的“一周”往往與圖形的形狀、面的大小產生聯系。

因此，讓學生能夠把圖形的“周”從物體本身抽象出來，需要一定的情景配合與引導，筆者做如下嘗試。

案例研究：

小明是個小畫家，他畫了一幅畫，老師覺得他畫得非常棒，要和小明一起做一個畫框，裱起來。

師：這幅畫的畫框該怎么裝呢？小強提了這樣一個建議，一起來看

師：小朋友，你同意他們這樣做畫框嗎？

學生：我不同意。

師：為什么？

學生：這樣做畫框有另外兩邊沒有包住，畫框容易掉下來，而且也保護不了整幅畫。

學生：我覺得應該把外面一圈都包起來，不是只包兩邊。

師：哦，什么是“一圈”的意思？

學生：一圈就是把外面的四條邊都包起來。

學生：一圈就是從這個點開始，外面圍一圈，又回到這個點（同時用手勢表示了一番）。

說完，全班的同學都跟著他一起畫了一個圈。

師：你能夠用動作或手勢來表示嗎？

（學生有些是用一個手指在空中畫圈，有些是兩只手一起畫圈，還有的是同桌相互合作畫圈，一個學生站起來說：“我覺得我們體育課在操場上沿著跑到跑一圈回到開始的地方也是一圈?！保?/p>

師：一圈的共同之處是什么呢？

學生：都是從一個點出發，又回到這個點。

師：小朋友表達得很清楚，一圈就是從一個點出發，再次回到這個點。中間不能斷開，“一圈”可以說成“一周”，給畫安裝一個畫框可以表示成給畫一周安裝畫框。

研究啟示：

學生對“一周”的生活感受較多，但是僅停留在淺層次的理解上。學生通過說一圈，表示一圈，幫助他們由實物模型的感知建構起對應的“概念意象”。實現生活化到數學化的過渡。學生通過演示，在操作中加深了對一周的理解，為“一周”的抽象奠定基礎。

2.指圖形“周”——理解邊線

很多孩子，要求他指出圖形的周長，會指一圈，此時他對一周的“邊”與這一圈的面的大小區分是模糊的。因此，借著給畫裝畫框的情景中，讓學生理解周長其實是一周的長度，而與里面的面沒有必然聯系。

案例研究：

（1）指一指“邊線”，對邊線建立概念

師：李揚小朋友覺得畫框可以這樣安裝。大家一起看。

學生：這樣安裝不可以。

師：為什么？

生：這樣裝畫框，整幅畫的破壞了。一點也不好看。

生：畫框安裝的位置不合適，應該裝在緊貼著畫的外面的一周。

師：你能夠上來指一指畫的邊沿線嗎？

（學生上前，用手沿著邊沿線畫了一圈）

（再用課件把這邊沿線描紅走一圈，同時把這個紅框用閃動，進行邊線的強化。）

老師：如果我有以下這些字畫，要在它們的一周鑲一個框，請你指一指，應該怎么鑲？

學生從畫的一個點開始，沿著畫的邊線安裝一周。

（2）練習紙上的圖形找邊線，鞏固邊線概念

（3）從圖形中抽象出畫的邊沿線

想象一下，從三幅畫里把三個畫框卸下來會是什么形狀呢？

生：這樣卸下來的畫框有長方形，圓形，像扇子形。

師：像第三幅圖這樣的叫做不規則圖形。

研究啟示：

圖形的周長就是用去測量它的邊線的長度。在測量長度之前，對“邊線”必須非常清晰、明確。

安裝畫框中，筆者運用了正確與錯誤的形式，激發學生思維認知的沖突，引出生活化圖形的邊線，自然過渡到數學化的邊線。結合具體事物說說哪里安裝——引出“邊線”，描一描圖形的“邊線”，對比邊線（規則圖形和不規則圖形兩種情況）。

從實物圖，思考它們留下邊線是什么圖形，想象邊線等這一系列的活動，一方面突出對“邊線”的感知，完善了“一周”的概念，為“長”的理解做好了準備；另一方面物化為形，從食物圖形抽象到集合圖形的過程，讓學生經歷周長的抽象過程，培養學生的空間觀念。

3.多種展示——直觀長度

周長的測量與計算，要突出“周長”最終是一條線的長度，與面沒有必然聯系。經歷這個過程，學生可避免周長與面之間的混淆，更加對周長概念更加清晰。

案例研究：

（1）規則圖形的周長測量

小明和老師要做的那幅長方形畫框，到底需要用多少材料呢？為了方便，我們把這個畫框從畫上拆下來，請看（此時，一定用課件把這幅畫的畫框從畫上拓下來），讓周長清晰地表明是一個框，而不是一個面。

師：這個畫框的一周是多少呢？

生：我可以用尺子量一量。

生：可以只要量出一條長和一條寬的長度就可以了，因為長方形對邊相等。這樣四條邊都知道了，周長也就明白了。

師：這個長方形的周長到底是多少呢？

生：我量過了，長45厘米，寬25厘米，這樣四條邊的和是45+45+25+25=140厘米。

師：140表示的是什么呢？

生：就是長方形一周的長度。兩條長和兩條寬一共的長度。

（結合學生說的，教師進行課間演示，一條一條從長方形的邊上拓下來：）

（2）不規則圖形的測量

師：剛才我們通過測量和計算，知道了長方形畫的周長，現在下面這兩幅畫的邊框我們又該怎么知道呢？

（同桌合作，一起思考測量）

生：我用一根繩子把圓沿著邊線繞一圈，做好記號，然后用尺子量一量這根線一共長多少。我量了一下，這個大約是34厘米

生：我用軟尺沿著圖形的邊線測量一圈，這樣就知道這個圖形的一周是多少長。我量了這個扇子形狀的周長，大約是24厘米。

師：看來同學們都在動腦筋了。面對這些圖形他們的邊線不是規則的直線時，通過軟的線和尺子量一量，最終也能夠得到圖形的周長。這樣的思想是“化曲為直”。

研究啟示：

如果直接讓學生測量實物的周長，在過去的教學中容易出現學生被“面”的因素干擾，增加學生對“周長”的認知難度。因此筆者在教學中做了以下調整。

①展現“邊線”從實物中抽象的過程

當把長方形畫的畫框從畫上抽象出來時，脫離實物的整體，展現周長的本質，圖形外面的一周，淡化“面”的干擾。

②把周長外邊的一周用線表示長度

經過直觀操作，配合課間演示，把長方形每條邊依次拼接起來，使四條邊連接成一條線段，展現長方形周長邊線的移動過程，學生很容易發現“周長”就是拼成的“線段的長度”，這一拼接的過程有利于學生建構周長概念的 本質——一周邊線的長度更加具體化、形象化。

③ “化曲為直”思想落實

通過測量長方形、圓形和不規則畫框的周長，進一步讓學生理解測量這些圖形的周長本質上都是一樣的（都是度量邊線的長度），只是測量方法有所不同，能直接用直尺度量的就用直尺來度量，不能用直尺量的，可以用“化曲為直”的方法量。在這樣的直觀操作中，學生對“周長”概念的理解更加深刻，學生感悟到無論用什么方法計算平面圖形的周長，都是把四周所有邊的長度加起來。

4.自主操作——辨析封閉

在自主實踐操作過程中，給予學生一定的小棒，擺一擺圖形，在不同圖形的擺放中，感知圖形有周長、無周長，周長怎么計算等。

案例研究：

（1）提供小棒擺圖形

師：小朋友，請用4根小棒，6根小棒分別可以擺哪些圖形，請你擺在桌面上，并計算它的周長。

①學生反饋：

A.四根小棒的圖形

B.六根小棒擺的圖形

學生表示B組的圖形周長都是60厘米，就是把圖形“邊沿”的一周加起來線段的長度。

②A組提出疑問

生：我覺得在A組中，只有正方形和平行四邊形有周長，還有一個角是沒有周長。

師：都是用4根小棒拼成的，為什么這個角的形狀沒有周長呢？

生：因為正方形和平行四邊形四周都是小棒圍起來的，但是角沒有，角又一個缺口。周長是圖形邊線的一周，角另外兩端沒有連起來，所以角的這個圖形沒有周長。

生：我也覺得角這幅圖沒有周長，因為不能指出它的一周在哪里，中間斷開了。

生：我覺得角這幅圖沒有周長，因為它不能從一個點出發再回到這個點，所以角這幅圖沒有周長。

④改變角變成有周長的圖形。

生：可以增加一根小棒，變成三角形

生：可以增加2根小棒，變成四邊形

生：增加3根小棒，變成五邊形。

（下轉174頁）

（上接114頁）師：原來有很多種方法，只要有一點讓它的四周圍成一圈，變成封閉圖形，這樣一周的邊線長度就是它的周長。

研究啟示：

建立周長概念，需借助動手實踐操作，因為它順應兒童認知發展由外部動作到內部思維的規律。用小棒擺一擺，學生在動手操作中經歷了圍圖形——看邊線——算長度的過程，把靜態的周長概念動態地呈現。用相同數量的小棒，擺出周長相等的圖形。學生在操作中，感知周長指的是“圖形各邊長度之和”，“一周邊線的長度”，加深了對“周長”的理解。同時相同的小棒可以擺出不同形狀的圖形，雖然形狀不同，但是周長卻一樣。在周長的計算中，初步建立面的大小與周長沒有必然聯系。

教師以擺出的不封閉圖形作為反例，使學生在正、反例的對比辨析中，完善了“封閉圖形才有周長”的認識，進一步凸顯周長概念的本質。

5.組圖周長——提升概念

組合圖形的周長計算，最能夠檢驗學生對周長的應用理解，因此在課堂最后留兩題辨析題，有利于學生對周長理解的提升。

案例研究：

組合圖形周長與原來單個數的比較

老師這里有兩個一摸一樣的的長方形，如果把這兩個長方形拼在一起，它的周長與原來兩個長方形周長之和有關系嗎？

生：我認為是相等的，拼好后的圖形周長就是原來兩個長方形周長的和。

生：我認為不相等。因為兩個長方形拼在一起后，有兩條邊是重合了，不屬于圖形外面的邊線，所以，拼好后的圖形周長應該比原來兩個長方形圖形周長和要少。

一個圖形對半分后兩圖周長與原圖周長的關系

師：老師這里還有一個長方形，如果把長方形沿著對角線剪開，得到兩個圖形，這個圖形的周長是原來長方形周長的一半嗎？

生：不是原長方形周長的一半，剪開后又增加了一條邊。

師：你的意思是說加上這條三角形的斜邊。圖形拼組和拆分后，新圖形的周長是新圖形一周邊線的長度，需要注意與原圖形周長的區別。

研究啟示：

進行長方形框架的拆分和拼組，目的是提高對“周長”概念的認知，加深對“一周邊線的長度才是這個圖形的周長”的理解，更加深刻鞏固對“周長”概念的廣泛應用。

通過對“周長”概念的教學，靜態的“教學定義”過渡到“動態的思維”生成過程，對學生掌握相關的數學概念十分有益。

三、結語

筆者認為在圖形與幾何領域的概念教學中，重視直觀操作對學生建構概念本質的幫助作用。借助具體形象的操作活動，把抽象的知識具體化，關注基于圖形之間的轉換和圖形的想象，培養學生的“動態想象”能力，積累學生的數學活動經驗，發展學生的空間觀念。讓學生經歷具體的直觀的操作過程而獲得的學習體驗，其教學的價值不僅表現在獲得知識的結果上，更體現在理解知識的過程之中，特別是學生在這一過程中進行的積極思考、自主建構，這是數學課堂教學中應關注的基本數學素養問題。

參考文獻

[1]鄭毓信.數學思維與小學數學[M].南京：江蘇教育出版社，2008

[2]馬立平.小學數學的掌握和教學[M].上海：華東師范出版社，2011

[3]義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012

[4]斯苗兒.小學數學課堂教學案例透視[M].北京：人民教育出版社，2003