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已知:如圖,AB//CD,MG、HN分別為?EGA、?EHC的平分線。
求證:GM//HN
證明:QAB//CD
\?EGA =?EHC
又QMG、HN分別為?EGA、?EHC的平分線
\?MGA =? NHC
\GM//HN(同位角相等兩直線平行)
這是一個學生的作業,他的證明是錯誤的。
錯因:上述證法把?MGA、? NHC當成GM、NH被EF所截得的同位角而得出結論,顯然是犯了偷換概念的錯誤。
類似的問題在教師的平時的作業和試卷中經常出現,老師把出現的錯誤糾正了以后還會在其他地方重復出現,使很多老師感到頭痛。但深究其產生錯誤的原因可以知道,很多學生對幾何證明的學習已經產生了厭惡感。在學生剛開始學習幾何證明時就沒有掌握好學習方法,使他們學得很混亂,甚至對證明過程為什么要這樣做都不知道,產生不了學習興趣,讓學生覺得幾何是一門很難學、很深奧的學科。
因此,在初中生剛剛開始接觸正規的幾何證明時,老師就要做好學生的引路人。引路人對學生的作用非常大,如果老師引導得好,他們就能較快掌握幾何證明的方法,否則,他們會學得一塌糊涂。
結合平時的教學,本人認為培養學生的幾何證明能力可以從以下幾個方面來做:
一、教師向學生講解清楚定理、定義,并要求學生牢固掌握定理、定義
幾何的定理、定義是證明的基礎,是一切證明的依據,因此,數學課的定理、定義的教學都要作為重點內容。在定理、定義教學時,教師應讓學生清楚地知道定理、定義成立的前提條件是什么,能得到什么樣的結論,只有清楚了這些,學生在以后的具體應用中才能準確地運用所學的定理、定義解決問題。同時,教師要及時拿出相應的習題給學生做,讓學生在做的過程中理解定理、定義,從中掌握所學的定理、定義。學生通過理解記憶掌握的定理、定義往往比較牢固,不容易遺忘。
例如在同位角定義的講解時,首先講清楚同位角的定義:在兩條被截線的同旁,在截線的同側的兩個角稱同位角。
同位角的特征識別:①在截線的同旁;②在被截兩直線的同方向;③同位角通常是成對出現的。
在學生知道同位角的定義和特征時,老師就要及時拿出練習題給學生鞏固。
練習:
(1)如圖,有多少對同位角?
(2)判斷:同一平面內,兩直線被第三條直線截斷所得的同位角相等。
如果學生在學習同位角時透徹理解了同位角的定義,并會熟練判斷同位角,那么學生就不會出開始的證明錯誤。
二、教師要學生理解證明的含義,讓學生從簡單的證明著手,培養學生的學習興趣
初中生剛開始接觸幾何證明,如何證明一個問題學生還很陌生。因此,教師首先向學生講解證明的含義:在數學上,證明是在一個特定的公理系統中,根據一定的規則或標準,由公理和定理推導出某些命題的過程。這個過程是一個嚴謹的說理過程,每一個步驟都要做到有理有據。其次讓學生先接觸一些簡單的證明。因為學生剛開始學習證明,只有讓學生先做一些簡單的證明,使學生在證明過程中體會一下成功的喜悅和證明的作用,培養學生學習幾何證明的興趣。如果剛開始學習幾何證明就讓學生證明很復雜的題目,那么很多學生會感到幾何證明是一件很困難的事情,容易產生不想學習想法,這樣對學生以后的幾何證明的學習有很大的幅面影響。
三、教師應該向學生傳授一些尋找證明思路的方法,使學生能較快地學會證明
所謂“授之以魚不如授之以漁”,教師不可能將每一條題目的證明過程都講解清楚給學生,只有學生自己掌握了方法,才能在解決眾多證明題目中游刃有余。因此,向學生講解尋找證明思路的方法很有必要。
證明過程中比較有效的方法是分析綜合法:分析綜合法是把分析法何綜合法結合起來去論證命題的思維方法。它是從一個命題的兩頭向中間“擠”,因此容易發現證題的突破口,收到事半功倍的效果,適用于較難的證明題。
例如:如圖,已知AB是圓O的直徑,BC為圓O的切線,切點為B,OC平行于弦AD。
求證:DC是⊙O的切線。
從結論出發:
要證DC是⊙O的切線需證DC垂直于⊙O的半徑。(連接OD)
即證DC⊥OD
需證:
∠ODC=∠OBC
(BC為圓O的切線,可得∠OBC為直角)
需證⊿CDO≌⊿CBO
具備的條件OD=OB,OC=OC
仍然缺少一個條件。
從條件出發
由OC∥AD可推出∠DAO=∠COB,∠ODA=∠DOC
再由OD=OA可推出∠ODA=∠DAO
從而可推出∠DOC=∠COB
這個結論正是上面所缺少的那個條件,從而證明的整個思路就暢通了,按照分析的思路把證明過程寫出來就不會出錯了。
四、教師讓學生現場演示自己的證明過程
通過前面幾個步驟,學生基本上會證明一些簡單的題目,但在證明過程中總會有這種或那種的錯誤,甚至有些錯誤使老師百思不得其解。為了及時了解學生的情況,可以讓學生現場演示自己的證明過程,老師可以根據學生的證明過程與學生進行互動,幫學生分析問題的所在,然后對學生及時給予糾正。這樣做還可以加深學生本人的印象,防止再犯類似的錯誤,同時還能給其他同學起到警示的作用,提醒其他學生也不要重犯類似的錯誤。
例如:如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,且AE=AD,DF⊥AE于F。
求證:EC=EF
學生的證明如下:
證明:連接DE
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=DC,AD∥BC,AD=BC
∠ABC=∠DCB=∠ADC=∠BAC
∴∠DAE=∠BEA
∵DF⊥AE,AE =AD
∴∠ABE=∠DFA
∴△ABE≌△AFD
∴AB=DF=DC
∴∠DFE=∠DCE
分析一下學生的證明過程具體有如下的錯誤或不足:
證明:連接DE
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=DC,AD∥BC,AD=BC………①
∠ABC=∠DCB=∠ADC=∠BAC…………②
∴∠DAE=∠BEA
∵DF⊥AE,AE =AD………③
∴∠ABE=∠DFA
∴⊿ABE≌⊿AFD
∴AB=DF=DC………④
∴∠DFE=∠DCE………⑤
首先①、②是多余的結論,在以后的證明中不會使用到。其次③是條件出現的位置不對,應該把它放在后面證明數據線全等時用的。第三是④由三角形全等得不出這個結論。第四是⑤這個結論不知從哪得到的,而且最后結論也沒有證出來。通過跟學生分析錯誤所在,學生記憶會很深刻,在以后的證明就會注意這些問題。
培養初中生的幾何證明能力是一個系統的工作,需要教師對幾何證明方面的知識有全面的理解,然后結合學生的實際制定一培養的目標和計劃,才能有目的的培養;結合學生的智力水平選擇合適學生的方法,才能使學生“樂學”、“善學”幾何證明。只有學生自己“樂學”、“善學”,他們的幾何證明能力自然會得到提升。