廣義集值變分不等式的強制性條件

李擇均，何詣然

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

廣義集值變分不等式的強制性條件

李擇均，何詣然*

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

通過引入一些強制性條件，獲得一些廣義集值變分不等式解的存在性的結果，其中涉及到的算子f是最近被S．Laszló介紹的ql型算子，同時，發現一個關于ql型算子的開映射定理，作為應用，建立了一個擾動的廣義集值變分不等式解集的擾動分析．

廣義集值變分不等式;強制性條件;ql型算子;擾動

1 預備知識

設(X，‖·‖)為實Banach空間，X*為X的對偶空間，K?X為非空閉凸子集．設T:K→2X*為非空集值映射，映射f:K→X，〈·，·〉表示對偶集X*和X上的數量積．所謂的廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)是指:求 x∈K，使得存在x*∈T(x)滿足

特別地，若映射f是K上的恒等映射時，則廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)退化到經典的集值變分不等式VI(T，K)．VI(T，K)是指:求x∈K，使得存在x*∈T(x)滿足

M．A．Noor在文獻［1］中考慮如下變分不等式:設H是Hilbert空間和為非空閉凸集．設T:H→H，f:H→H，映射T和f都是連續映射，求x∈K，使得f(x)∈K，滿足

當f(K)=K時，(1)式和M．A．Noor［1］提出的變分不等式本質上為同一問題．J．C．Yao［2］研究了(1)式的變分不等式問題，其中所涉及的算子f為連續線性算子．S．Laszló［3］擴展了J．C．Yao的研究，將所涉及的算子f拓展為比線性算子更為廣泛的ql型算子．當K是弱緊集時，文獻［2－4］已經證明了一系列的GVI(T，f，K)解的存在性結果．然而，當K不是弱緊集時，廣義集值變分不等式的解的存在性結果較少，見文獻［2］的推論3．4和文獻［4］的定理3．2．當K沒有緊性時，在文獻［3］的基礎上引入了幾個強制性條件，并且證明了廣義集值變分不等式的解的存在性，見本文定理4．1和定理4．2．

文獻［3］介紹了ql型算子并證明了它的許多性質，例如:線性算子是ql型算子，但反之不一定成立．本文證明了一個關于ql型算子的開映射定理，見本文定理2．4．特別地，當f為線性算子時能夠退化為已知的開映射定理．應用獲得的開映射定理得到了一個GVI(T，f，K)解的存在性結果，見本文推論4．6．

研究擾動變分不等式的解集性質已經成為數學規劃的一個主要內容之一，見文獻［5－10］．本文應用獲得的結論研究一個擾動的廣義集值變分不等式GVI(T+εf，f，K)．GVI(T+εf，f，K)是指:求x∈K和x*∈T(x)，使得

為非空閉凸子集，T:K→2Rn為上半連續且具有非空緊凸值的集值映射，f:Rn→Rn為連續的ql型算子且為雙射．在一個強制條件下，證明GVI(T+εf，f，K)有解和解集{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界，其中ε＞0．特別地，當f為恒等映射時，本文定理5．1和定理5．2能退化為文獻［6］中的定理4．1和定理4．5．

本文包含5個節．下一節介紹了需要使用的ql型算子的性質和證明了ql型算子的一個新的性質．第三節回憶廣義變分不等式GVI(T，f，K)解的存在性的結論和介紹了一些強制性條件．第四節通過使用強制性條件建立一系列GVI(T，f，K)解的存在性結果．第五節研究了一個擾動的廣義集值變分不等式．

2 ql型算子

設x，y∈K，［x，y］表示從點x到點y的連線段，故［x，y］={tx+(1－t)y:t∈［0，1］}．(x，y)表示線段［x，y］去掉端點x和y．co{D}表示集合D的凸包．一個拓撲空間如果任意2個不同的點各自有一個開領域互不相交，則稱這個拓撲空間是一個Hausdroff空間，或T2空間．例如度量空間是T2空間，更多的T2空間內容見文獻［11］．由文獻［12］的命題3．3知弱拓撲σ(X，X*)為T2空間．對于r＞

命題2．1［3］設函數．函數f為單調遞增(遞減)當且僅當對任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈［f(a)，f(b)］(相應地，f(z)∈［f(b)，f(a)］)．函數f為嚴格單調遞增(遞減)當且僅當對任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈(f(a)，f(b))(相應地，f(z)∈(f(b)，f(a)))．

定義2．1［3］設X和Y是2個線性空間和算子f:D?X→Y．如果對任何x，y∈D和z∈［x，y］∩D，都有f(z)∈［f(x)，f(y)］，那么算子f被稱為ql型算子．

命題2．2［3］設函數是ql型算子當且僅當f為單調遞增(遞減)函數．

命題2．3［3］設X和Y是2個線性空間和f:X→Y是一線性算子，則f是ql型算子．

注2．1［3］從命題2．1和命題2．2容易得出，f:R→R是ql型算子，但不一定是線性算子．

定義2．2［3］設X是一個線性空間，是凸集．函數f:稱為擬凸函數，若對任意x，y∈D和t∈［0，1］，使得

若函數－f是擬凸函數，則f稱為擬凹函數．當f既是擬凸函數，又是擬凹函數，則f稱為擬線性函數．

命題2．4［3］設X是一個線性空間，是凸集．函數，則f是ql型算子當且僅當f為擬線性函數．

注2．2［3］從命題2．4可知:f:X→R是ql型算子，但不一定是線性算子．

命題2．5［3］設X、Y、Z為3個線性空間，X．設f:D→Y，g:f(D)→Z為2個ql型算子，則g·f: D→Y是ql型算子．

下面將給出一些ql型算子的例子，這些例子能說明ql型算子是比線性算子更為廣泛的算子．

例2．1［3］設算子 A:［－1，1］×［－1，1］→R3，

則A是連續的ql型算子．

易知，算子S為線性算子，Q為單調算子，則算子S、Q為ql型算子．通過ql型算子的定義，可證算子P也是ql型算子．任意取x，y∈［－1，1］，設z∈［x，y］，則存在λ∈［0，1］，使得z=λx+(1－λ)y，通過計算能得到

易驗證P(z)∈［p(x)，p(y)］，因此算子P是ql型算子．根據命題2．5得，算子A為連續的ql型算子．由0)，故算子A不是仿射算子．

注2．3［3］特別地設算子A:［－1，0］×{0}→．從ql型算子定義易得，算子A為連續的ql型算子，易證算子A為單射且不是仿射算子．

例2．2［4］設 D:={f∈C［a，b］}|f(a)≥0?C［a，b］和算子S:D→RR，S(f)(x):=(f(a))2x，則有S是非線性的ql型算子．

定義2．3［3］設X是一個線性空間，Y是一個拓撲線性空間，映射．如果對任何收斂于0的序列和任意y∈D，使得x+tny∈D，則有當n→∞時，f(x+tny)→f(x)，那么f稱為在點x處沿線結連續．如果f在D上的每一點都沿線結連續，則稱f在D上線結連續．

引理2．1［4］設X是一個線性空間，Y是一個拓撲線性空間并且Y也是Hausdorff空間．設是凸集，f:D→Y為沿線結連續的ql型算子，則對于任意x，y∈D，都有f(［x，y］)=［f(x)，f(y)］．如果f也是一個單射算子，那么對于任意x，y∈D，x≠y，都有f((x，y))=(f(x)，f(y))．

注2．4 文獻［3］的引理3．1是在Y是一個A1空間的條件下證明的，然而引理2．1是在Y是一個Hausdorff空間的條件下得出的結論．由于弱拓撲是一個Hausdorff空間，故上述引理比文獻［3］的引理3．1更適用于弱拓撲空間．

定理2．1［4］設X和Y是2個線性空間并且Y也是Hausdorff空間，D?X是凸集，f:D→Y為沿線結連續的ql型算子，則f(D)是凸集．

定理2．2［4］設X和Y是2個線性空間，設D?X是凸集，f:D→Y是ql型算子，則對任意有限個元素x1，x2，…，xn∈D和任意x∈co{x1，x2，…，xn}，都有f(x)∈co{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}．如果滿足引理2．1的假設，則有

定理2．3［12］(開映射定理) 設X和Y是2個實Banach空間，f是從X到Y的連續線性算子并且是滿射，則f將X中的任意開集映射為Y中的開集．此外，若f也是雙射，則f－1是從Y到X的連續線性算子．

定理2．4 設X=Rn，Y=Rm，以及f:X→Y是連續的ql型算子且為雙射，則f是開映射．

首先，證明下面的結論成立．

根據(4)式的結論，對任意h∈Y，‖h‖=1，存在th＞0，使得(4)式成立，則可以構造一個非空集值映射Q:H→2R++，其中H={h∈Y:‖h‖=1}，對任意h∈H，Q(h)={th＞0:存在th＞0，使得y0+thh．設映射g:H→R++是集值映射Q的一個單值選擇，即對于任意h∈H，都滿足g(h)∈ Q(h)．若能證明，則對任意 t∈(0，，任意h∈H，都有故存在 y0的領域 B(y0，t)，B(y0，t)={y∈X:‖y－y0‖＜t}，使得，因此y0屬于f(U)的內部．

注2．5 當n=1，m=1，根據命題2．1和數學分析的知識容易證明定理2．4成立．當n=2或3，m=2或3時，利用引理2．1、定理2．2和(4)式，通過簡單作圖能夠證明結論成立．特別地，當f:Rn→ =g(hn)→0+．由映射Q和g的定義知，y0+thnhn∈，使得f(xn)=y0+thnhn．因為‖xn－x0‖ =ε，通過三角不等式，則有‖xn‖≤‖x0‖+ε，所以序列{xn}是有界序列，則存在收斂子序列{xnj}．取xnj→b，易證b∈(Bε)，然而y0+ thnhn=f(xn)→y0，則有f(b)=y0=f(x0)．顯然b≠x0，又因 f是單射，因此得到了一個矛盾，故Rn為連續線性映射且為雙射時，定理2．4能退化為Rn維空間中的開映射定理．

3 廣義集值變分不等式和強制性條件

定理3．1［4］設為非空弱緊凸子集，X為實Banach空間，以及f:K→X為(弱拓撲到弱拓撲)序列連續的ql型算子，設T:K→2X*為(弱拓撲到范數拓撲)上半連續且具有非空緊值的映射，則有．此外，如果對任意x∈K，T(x)也是凸值，則有

若K是弱緊集時，定理3．1獲得了廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)的解的存在性結果．本文主要研究K不是弱緊集時，GVI(T，f，K)的解的存在性結果．設非空閉凸集，X為實Banach空間．設T:K→2X*為非空集值映射，映射f:K→X．考慮下列強制性條件:

設X和Y是2個實Banach空間，算子G:X→Y．如果{xn}是在X的弱拓撲中收斂于x的任意序列，則有G(xn)在Y的弱拓撲中收斂于G(x)，那么算子T被稱為在x點(弱拓撲到弱拓撲)序列連續．顯然，若算子G在x點(弱拓撲到范數拓撲)序列連續，則在點x處沿線結連續．算子F:X→2Y稱為(弱拓撲到范數拓撲)上半連續，若對于任意點x0∈X，以及任意一包含F(x0)且為Y的范數拓撲中的開集N，都存在屬于X的弱拓撲中的x0的領域M，使得

在本文中，S(T，f，K)表示廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)的解集．S(T，K)表示經典集值變分不等式VI(T，K)的解集．相應地，Sw(T，f，K)表示GVI(T，f，K)的弱解．如果x∈Sw(T，f，K)，則x∈K以及對任意y∈K，存在x*∈T(x)，使得〈x*，f(y)－f(x)〉≥0．對于r＞0，ρ＞0，Kr={x∈K:‖X‖≤

通過修改文獻［13］的強制性條件(C')和(C1)，得到了本文中的強制性條件(A)和(B)，其主要是為了適合廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)．當f為恒等映射時，條件(A)=(C')和(B)=(C1)．顯然(B)?(A)．當T是f－擬單調時，文獻［14］使用強制性條件(C)建立了一些GVI(T，f，K)的存在性結果．若f是單射，條件(C)等價于存在ρ＞0:對任意x∈K且，都存在 y∈K，滿足‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得－f(y)〉≥0．當f是恒等映射時，(A)=(C)．在下一節將證明在適當條件下這些強制性條件都能保證GVI(T，f，K)解的存在性．

4 廣義集值變分不等式解的存在性

證明 因為條件(A)成立，n是條件(A)給出的n，對任意x∈K，取r＞max{n，‖x‖}，則有Kr為非空弱緊凸集．由定理3．1可知，任取xr∈Sw(T，f，Kr)，則有

1)若‖xr‖＜r，易證

事實上，任取y∈K{xr}．若f(y)=f(xr)，則有．若f(y)≠ f(xr)時，因為‖xr‖＜r，則存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty+(1－t)xr∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，則存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y) +λf(xr)．因為z∈Kr，由(5)式可得

2)若‖xr‖=r，由條件(A)能得到

任取y∈K{y0}．若 f(y)=f(y0)，則有．若f(y)≠f(y0)時，因為‖y0‖＜r，則存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty0+(1－t)y∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，則存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y)+λf(y0)．因為z∈Kr，那么由(5)式可得

由(7)式得到

(8)式+(9)式，則有

由于λ∈(0，1)，則

根據引理2．1知，若算子f為連續的單射ql型算子或為連續的線性算子時，則滿足定理4．1中算子f的假設條件，故易得下面2個推論．

證明 由于(B)?(A)成立，則根據推論4．2，結論成立．

單值映射f:Z→Y稱為集值映射F:Z→2Y的單值選擇是指:對于任意z∈Z，都滿足f(z)∈F(z)．下面的引理使廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)和經典的集值變分不等式VI(T，K)建立了聯系．事實上，它是文獻［3］的引理3．1的集值版本．

引理4．1［3］設X是實Banach空間，K是X的非空子集，T:K→2X*為集值映射，f:K→X為單值映射，映射g:f(K)→K是逆映射f－1的一個單值選擇，則有u∈f(K)是VI(T°g，f(K))的解當且僅當g(u)∈K是GVI(T，f，K)的解．

引理 4．2［15］設X和Y是Hausdorff拓撲空間，如果T:X→2Y是從緊空間X到Y的具有非空緊值的上半連續映射，那么F(X)是緊的．

引理 4．3［15］設X和Y是Hausdorff拓撲空間，如果T:X→2Y是具有閉值的上半連續映射，那么F是閉的(即F的圖是閉的)．

命題4．1［6］設為非空閉凸集，X為自反的實Banach空間，T:K→2X*為(弱拓撲到范數拓撲)具有非空緊凸值的上半連續映射，如果下列條件成立，

(C1)，y∈K，且‖y‖＜‖x‖，使得那么VI(T，K)解存在．

證明 由于f:X→X為連續算子，則f序列連續．由定理3．1得上述推論成立．

當K不是弱緊集時，下面的定理給出了一個保證GVI(T，f，K)解存在的強制條件．

證明 由于f:X→X為同胚映射，K是閉集，易得f(K)為非空閉集．根據拓撲的知識得，映射f在K上的限制映射f|K:K→f(K)也是同胚映射．設映射 g:f(K)→K，且滿足:(f|K)－1(y)，則g是f|K的逆映射的一個連續的單值選擇．容易得出，T·g:f(K)→2X*為(弱拓撲到范數拓撲)具有非空緊凸值的上半連續映射．因為f是連續的ql型算子，則由定理2．1知f(K)是凸集．

證明 由于f:X→X是連續線性算子且是雙射，根據定理2．3知，f是開映射且f－1是連續線性映射．又因為f為連續線性算子，由文獻［12］定理3．9知，f為(弱拓撲到弱拓撲)同胚映射．根據定理4．2知，

當X=Rn時，推論4．4中的線性算子能被ql型算子替換，同樣能夠保證結論的成立．

證明 根據定理2．4知，f一個開映射且為雙射，則f－1是連續映射，因此f:X→X是同胚映射．根據定理4．2得

注4．1 對比強制性條件(A)和(C)，條件(A)比條件(C)更簡潔，以及更少的假設條件．然而，我們必須注意條件(C)比條件(A)更容易和經典的集值變分不等式問題建立聯系．

5 擾動的廣義集值變分不等式

在這一節，研究了一個擾動的廣義集值變分不等式GVI(T+εf，f，K):尋找x∈K和x*∈T(x)，使得

定理5．1 設K是Rn的一個非空閉凸子集，f: Rn→Rn為連續的ql型算子且為雙射，T:K→2Rn為上半連續且具有非空緊凸值的集值映射．如果條件(C)成立，則對任意ε＞0有:

(ii)集合{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界;

(iii)設F:R++→K，F(ε)=S(T+εf，f，K)，，那么對任意 x∈S(T+εf，f，K)，集合F－1(x)是凸集．

證明 (i)設ρ是條件(C)給出的ρ．假設能得到:對任意x∈K且，存在y∈K，滿足‖f(y)‖ ＜‖f(x)‖，使得ε f(x)，f(x)－f(y)〉≥0．如果該假設成立，由于f是連續的ql型算子且為雙射，則T+εf為上半連續且具有非空緊凸值的集值映射．由推論4．6可得GVI(T+εf，f，K)有解．現在證明該假設成立．由于存在y∈K，滿足:對任意且‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得

則有

(ii)設t∈(0，ε］和xt∈S(T+tf，f，K)，則有．如果，由(i)知，存在yt∈K且滿足‖f(yt)‖＜‖f(xt)‖，使得

由于xt∈S(T+tf，f，K)和yt∈K，則有

(iii) 設 ε1，ε2∈F－1(x)，將證明［ε1，ε2］∈F－1(x)．由于ε1，ε2∈F－1(x)，那么分別存在T(x)和，使得

從上面的2個不等式易得

故得到［ε1，ε2］∈F－1(x)，因此集合F－1(x)是凸集．

定理5．2 設K是Rn的一個非空閉凸子集，f:

Rn→Rn是連續的ql型算子且為雙射，T:K→2Rn為上半連續且具有非空緊凸值的集值映射．如果條件(C)成立，則有

根據(17)式得，〈x*，f(y)－f(x)〉≥0，因此，x∈S(T，f，K)．

［1］NOOR M A．General variational inequalities［J］．Appl Math Lett，1988，1(2):119－121．

［2］YAO J C．Gneral variational inequality in Banch space［J］．Appl Math Lett，1992，5(1):51－54．

［3］LASZLóS．Some existence results of solutions for general variational inequalities［J］．J Optim Theory Appl，2011，150(3): 425－443．

［4］LASZLóS．Multivalued variational inequalities and coincidence point results［J］．J Math Appl，2013，404(1):105－114．

［5］KONNOV I V．On the convergence of a regularization method for variational inequalities［J］．Comput Math Math Phys，2006，46(4):541－547．

［6］HE Y R．The Tikhonov regularization method for set－valued variational inequalities［J］．Abst Appl Anal，2012，2012:1－10．

［7］付冬梅，何詣然．廣義混合變分不等式的Tikhonov正則化方法［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2014，37(1): 12－17．

［8］QI H D．Tikhonov regularization methods for variational inequality problems［J］．J Optim Theory Appl，1999，102(1):193－201．

［9］LUO X P．Tikhonov regularization methods for inverse variational inquality［J］．Optim Lett，2014，8(3):877－887．

［10］LI F L，HE Y R．Solvability of a perturbed variational inequality［J］．Pac J Optim，2014，10(1):105－111．

［11］熊金城．點集拓撲講義［M］．北京:高等教育出版社，2011．

［12］BREZIS H．Analyse Fonctionrlle－theorie et Applications［M］．Paris:Masson，1983．

［13］BIANCHI M，HADJISAVVAS N，SCHAIBLE S．Minimal coercivity conditions and exceptional families of elements in quasimonotone variational inequalities［J］．J Optim Theory Appl，2004，122(1):1－17．

［14］LASZLó S．Solution existence of general variational inequalities and coincidence points［J］．Carpathian J Math，2014，30(1): 15－22．

［15］AUBIN J P，EKELAND I．Applied Nonlinear Analysis［M］．New York:John Wiley and Sons Inc，1984．

［16］AUSSEL D，HADJISAVVAS N．On quasimonotone variational inequalities［J］．J Optim Theory Appl，2004，121(2):445－450．

［17］何詣然．具有集值映射變分不等式的理論分析［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2006，29(6):840－848．

［18］NOOR M A．Some developents in general variational inequalities［J］．Appl Math Comput，2004，152(1):199－277．

［19］MICHAEL E．Continuous selections I［J］．Ann Math，1956，63(2):361－382．

Coercivity Conditions of Generalized Multivalued Variational Inequalities

LI Zejun，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，by using some coercivity conditions，we obtain some existence results of the solutions for generalized multivalued variational inequalities problems involving elements belonging to the operators of type ql，which was recently introduced by Szilard Laszló．By the way，we find an open mapping theorem of the operators of type ql．As an application，the perturbation analysis for the solution sets of a perturbed generalized multivalued variational inequality is established．

generalized multivalued variational inequalities;coercivity conditions;operators of type ql;perturbation

O151．25

A

1001－8395(2016)04－0467－08

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．001

(編輯 鄭月蓉)

2015－04－25

國家自然科學基金(11271274)

*通信作者簡介:何詣然(1973—)，男，教授，主要從事非線性規劃領域的研究，E－mail:yiranhe@hotmail．com

2010 MSC:47J20;49J40