非奇異環的同調刻畫

徐龍玉，胡 葵，喬 磊，萬吉湘

(1．西南科技大學理學院，四川綿陽621010; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066; 3．綿陽師范學院數學與計算機科學學院，四川綿陽621000)

非奇異環的同調刻畫

徐龍玉1，胡 葵1，喬 磊2，萬吉湘3

(1．西南科技大學理學院，四川綿陽621010; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066; 3．綿陽師范學院數學與計算機科學學院，四川綿陽621000)

引入ZP－平坦右模來刻畫左非奇異環．設R是環，右R－模N稱為ZP－平坦模，是指對任意a∈Z(RR)，有TorR1(N，R/Ra)=0;左R－模M稱為ZP－內射模，是指對任意a∈Z(RR)，有Ext1R(R/Ra，M)=0．證明了關于ZP－平坦模的Lambek準則，即右R－模N是ZP－平坦模當且僅當其特征模N+是ZP－內射模．還證明了R是左非奇異環當且僅當任意右R－模是ZP－平坦模當且僅當內射左R－模的商模是ZP－內射模．

本質子模;ZP－平坦模;ZP－內射模;非奇異環

1 預備知識

本文中提及的環都是帶有單位元1的結合環，所有的模都是酉模．對a∈R，用l(a)表示a的左零化子，用Z(RR)表示所有使得l(a)是R的本質子模的元素a的集合．對右R－模N，用N+表示N的特征模，即N+=Hom(N，Q/Z)，其中Z表示整數加群，Q表示有理數加群．用l．pdRM表示左R－模M的左投射維數．

R．Goodearl［1］首先討論了左非奇異環．環R稱為左非奇異環，是指Z(RR)=0成立．相應地，環R稱為左奇異環，是指Z(RR)=R．N．V．Dung［2］給出了左遺傳環與左非奇異環的關系，證明了R是左遺傳環，且有E(RR)是投射模當且僅當R是左非奇異環，且每個非奇異左R－模是投射的，其中E(RR)表示R作為左R－模的內射包絡．T．Y．Lam［3］給出了交換環是非奇異環的等價刻畫，即交換環R是非奇異環當且僅當R是約化環．在環與模范疇中，常利用平坦模與內射模來刻畫環，如文獻［4－15］等．本文的主要目的旨在用同調的方法來刻畫左非奇異環．為此，引入了ZP－平坦右R－模的概念．通過對ZP－平坦模和ZP－內射模展開討論，得到了左非奇異環的一個同調刻畫(見本文定理12)．

定義 1 設 N是右 R－模．若對任意 a∈ Z(RR)，有，則稱N為ZP－平坦模;等價地，R是正合列．

定義2［8］設M是左 R－模，若對任意a∈ Z(RR)，有，則稱M是ZP－內射模;等價地，HomR(R，M)→HomR(Ra，M)→0是正合列．

2 主要結果

下面只對ZP－平坦模展開討論．

例3 下面的斷語是顯然的:

1)設R是左非奇異環，則任意右R－模是ZP－平坦模;

2)設R是左奇異環，則右R－模N是ZP－平坦模當且僅當N是P－平坦模;

3)P－平坦(右)模顯然是ZP－平坦(右)模，反之不一定成立．例如，設R是整環但不是域，則Z(RR)=0．現取非零非單位a∈R，則R/aR是ZP－平坦模，但不是P－平坦模;

4)設{Ni|i∈Γ}是一簇右R－模，則Ni是ZP－平坦模當且僅當每個Ni是ZP－平坦模．

定理4 設N是右R－摸，以下條件等價:

1)N是ZP－平坦右R－模;

2)對任意a∈Z(RR)，有正合列

3)對任意a∈Z(RR)，自然同態Na是同構．

證明 1)?2)顯然．

1)?3)對任意a∈Z(RR)，設iR:Ra→R是包含映射，則有交換圖如下．

故μN是單同態當且僅當是單同態．又因為μN一定是滿同態，故μN是同構當且僅當是單同態，當且僅當N是ZP－平坦右R－模．

命題5 設A是右R－模N的ZP－平坦子模，則對于任意a∈Z(RR)，自然同態是單同態．

若N是ZP－平坦模，仍由定理4，右端的垂直箭頭是同構．因此有μ是滿同態，故Im(μ)=Ka=K

定理6 設0→A→B→C→0是右R－模正合列．若A和C是ZP－平坦模，則B是ZP－平坦模．

證明 對任意a∈Z(RR)，由正合列即得．

定理7 設0→K→M→N→0是右R－模的正合列，其中M是ZP－平坦右R－模．則N是ZP－平坦模當且僅當對任意a∈Z(RR)，Ka=K∩Ma．

證明 考慮2行是正合列的如下交換圖，其中右邊2個垂直箭頭是自然同態，μ是右邊交換方圖的誘導同態．由定理4，中間的垂直箭頭是同構．∩Ma．

反之，設Ka=K∩Ma，即μ是滿同態．仍由上面的交換圖知右端的垂直箭頭是單同態，從而也是同構．故N是ZP－平坦模．

定理8 設{Ni|i∈Γ}是定向集Γ上的右R－模的正向系．若每個Ni是ZP－平坦模，則也是ZP－平坦模．

證明 對任意 a∈Z(RR)，由即得．

推論9 若右R－模N的每個有限生成的子模都是ZP－平坦模，則N是ZP－平坦模．

證明 由于N都是有限生成子模的直接并，故應用定理8即得．

定理10 設N是右R－模．若N的每個有限生成子模都包含在N的某個ZP－平坦子模中，則N是ZP平坦模．

證明 對任意a∈Z(RR)，考慮自然同態μN:N．若，則存在N的ZP－平坦子模A，使得x∈A．于是自然同態μA:A是同構．于是在中，．由如下交換圖知在中有，故μN是單同態，從而是同構．故N是ZP－平坦模．

下面來證明關于ZP－平坦模的Lambek準則．

定理11 設N是右R－模，則N是ZP－平坦模當且僅當N+=HomZ(N，Q/Z)是ZP－內射模．

證明 設N是ZP－平坦右R－模．對任意a∈Z(RR)，有0→NRRa→NRR是正合列．故有如下交換圖．由于Q/Z是內射Z－模，故頂行是正合列．由相伴同構定理，2個垂直的箭頭是同構，因此有底行也是正合列．于是得到N+是ZP－內射左R－模．

反之，設 N+是 ZP－內射模．對任意，由正合列0→Ra→R及HomZ(N，Q/Z)是ZP－內射模知HomR(R，N+)→HomR(Ra，N+)→0是正合列．由伴隨同構定理知

用ZP－平坦右模和Lambek準則可以完全刻畫左非奇異環．

定理12 對于環R，以下條件等價: 1)環R是左非奇異環;

2)任意右R－模是ZP－平坦模;

3)對任意a∈Z(RR)，Ra是RR的純子模;

4)對任意a∈Z(RR)，R/Ra是投射模;

5)對任意a∈Z(RR)，Ra是R的直和加項;

6)對任意a∈Z(RR)，Ra是投射模;

7)對任意a∈Z(RR)，Ra是有限表現模，且ZP－平坦右R－模的子模是ZP－平坦模;

8)對任意a∈Z(RR)，Ra是有限表現模，且R的每個右理想是ZP－平坦模;

9)內射左R－模的商模是ZP－內射模;

10)每一左R－模是ZP－內射模．

證明 1)?2)顯然．

2)?3)設a∈Z(RR)，N是右R－模．由條件知是正合列，故Ra是RR的純子模．

3)?4)設N是右R－模．對任意a∈Z(RR)，由條件知0→Ra→R→R/Ra→0是純正合列．因此R/Ra是平坦模．由于R/Ra是有限表現模，故R/Ra是投射模．

4)?5)由條件，0→Ra→R→R/Ra→0是分裂的正合列，故Ra是R的直和加項．

5)?6)顯然．

6)?1)由條件，0→l(a)→R→Ra→0是分裂的正合列，故l(a)是R的直和加項．由于l(a)還是RR的本質子模，故有l(a)=R．因此a=0，從而R是左非奇異環．

2)+6)?(7)?(8)顯然．

8)?6)設I是R的右理想，a∈Z(RR)．由條件，I是ZP－平坦模，故由正合列0→I→R→R/I→0，有TorR2(R/I，R/Ra)TorR1(I，R/Ra)=0．又由正合列0→Ra→R→R/Ra→0，得到．因此，Ra是平坦模．由于Ra是有限表現模，故Ra還是投射模．

6)?9)設0→A→B→C→0是左R－模正合列，其中B是內射左R－模．對任意a∈Z(RR)，由條件，l．pdRR/Ra≤1，因此有正合列．故，于是有C是ZP－內射模．

9)?6)設A是任何左R－模，0→A→E→C→0是正合列，其中E是內射模．由條件9)知C是ZP－內射模．因此對任意 a∈Z(RR)，．因此Ra是投射模．

2)+6)?10)設M是任何左R－模．由于Ra是有限表現模，有

由于M+是ZP－平坦模，可得從而有，故M是ZP－內射模．

10)?2)設N是任何右R－模．由條件，N+是ZP－內射模．由定理11，N是ZP－平坦模．

利用環的整體維數刻畫環結構的方式相比較，看到定理12中10)對應的是一種廣義的半單性，而9)對應的是一種廣義的遺傳性．這意味著若人們希冀用模的ZP－內射分解來定義環的整體ZP－內射維數，并以此來刻畫環的結構，將會出現一種奇異現象，不存在這樣的1維環．無獨有偶，1984年K．N．Ho［16］定義了環R的整體有限表現維數:

M是任何有限生成R－模}，

其中f．p．dimRM表示M的投射分解

使得P0，P1，…，Pn，Pn+1都是有限生成投射模的n的下確界．K．N．Ho［6］證明了fp．dim(R)=0當且僅當R是Noether環，但不存在整體有限表現維數為1的環．

致謝 西南科技大學博士基金(13ZX7119)對本文給予了資助，謹致謝意．

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On a Homological Characterization of Nonsigular Rings

XU Longyu1，HU Kui1，QIAO Lei2，WAN Jixiang3

(1．College of Science，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621010，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan; 3．College of Mathematics and Computer Science，Mianyang Normal College，Mianyang 621010，Sichuan)

Let R be a ring．A right R-module N is called ZP-flat iffor any a∈Z(RR)and a left R-module M is called ZP-injective if．It is proved that a right R-module N is ZP-flat if and only if N+=Hom(N，Q/Z)is ZP-injective．Finally，some new characterizations about the left nonsingular rings are given．A ring is left nonsingular if and only if every right R-module is ZP-flat if and only if any quotient module of an injective left R-module is ZP-injective．

essential submodule;ZP-flat module;ZP-injective module;nonsingular ring

O153．3;O154

A

1001－8395(2016)04－0514－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．009

(編輯 周 俊)

2015－02－01

國家自然科學基金(11171240)

徐龍玉(1979—)，女，講師，主要從事環與模范疇理論的研究，E－mail:xulongyu3@163．com

2010 MSC:13C10;13D07