P∞－內射模及其刻畫

謝 晉，王芳貴，胡 晴

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

P∞－內射模及其刻畫

謝 晉，王芳貴*，胡 晴

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

設R是任何環，模D稱為P∞－內射模，是指對任何投射維數有限的模P，有．證明了(P∞，D∞)構成一個余撓理論當且僅當l．FPD(R)＜∞，其中P∞表示投射維數有限的模類，D∞表示P∞－內射模類;還證明了若l．gl．dim(R)＜∞，則每個P∞－內射模是內射模;最后證明了每個R－模是P∞－內射模當且僅當l．FPD(R)=0．

投射維數;P∞－內射模;余撓理論;環的finitistic維數

本文恒設R是有單位元的結合環，所有的模均指左R－模，用RM表示所有左R－模所構成的模類，pdRM表示模M的投射維數，gl．dim(R)表示環R的整體維數，P∞表示投射維數有限的模類，F∞表示平坦維數有限的模類．

余撓模作為刻畫非有限Abel群的有力工具，由D．K．Harrision［1］引入．R－模C稱為余撓模，是指對一切平坦模F，都有．之后，眾多專家學者對余撓模進行了研究［2－6］．尤其是J．Z．Xu［2］系統地刻畫了余撓模的相關性質，證明了平坦模類F與余撓模類C構成一個余撓理論(F，C)，并進一步證明了每個R－模是余撓模當且僅當環R是左完全環．L．Bican等在文獻［3］中證明了(F，C)是一個完全的余撓理論．

S．B．Lee［7］引入了弱內射模的概念．模W稱為弱內射模，是指對任意平坦維數不超過1的模M，有

E．E．Enochs等在文獻［8］中引入了n－余撓模的概念，這是一類較弱內射模更廣的模類．模H稱為n－余撓模，是指對任意平坦維數不超過n的模M，有．Mao等在文獻［9］中也提到n－余撓模的概念，但兩者是不一致的．而熊濤［10］在文獻［8］意義下的n－余撓模作了更詳細地討論．

J．Z．Xu在文獻［2］中引入了強余撓模．R－模L稱為強余撓模，是指對任何平坦維數有限的模M，都有．Bennis等在文獻［11］中證明了若R是交換環，則每一R－模是強余撓模當且僅當R是完全環．胡晴等［12］在一般的非交換環上討論了強余撓模的性質，證明了每一R－模是強余撓模當且僅當R是左完全環，且l．FFD(R)=0．

文獻［13］引入了Pn－內射模的概念，這是n－余撓模的推廣，模D稱為Pn－內射模，是指對任何投射維數不超過n的模P，有．本文在這些研究的基礎上，引入了P∞－內射模的概念，它是作為強余撓模的推廣和Pn－內射模的加強，還討論了P∞－內射模的性質，證明了每個R－模是P∞－內射模當且僅當

1 P∞－內射模

定義1．1 設R是任何環，D是R－模．如果對任意投射維數有限的模P，有，則稱D是P∞－內射模．

下面用P∞表示投射維數有限的模類，D∞表示P∞－內射模所構成的模類．

例1．2 下面的事實是顯然的．

1)內射模是P∞－內射模;

2)對任何整數n≥0，P∞－內射模是Pn－內射模;

3)設R是整環，D是P∞－內射模．對a∈R，a≠0，由于，知D是可除模;

4)設{Di}是一簇R－模，則∏Di∈D∞當且僅當每個Di∈D∞;

命題1．3 對R－模D，下面的陳述是等價的: 1)D是P∞－內射模;

2)對任何模M∈P∞，以及任何整數k≥1，有

3)任何正合列0→D→B→C→0，其中pdRC＜∞，是分裂的;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中pdRC＜∞，則序列

也是正合的．

證明 1)?3)?4)和2)?1)是顯然的．

1)?2) k=1的情形顯然成立．現假設k＞1．設M∈P∞，則有正合列:0→A→P→M→0，其中P是投射模．故有．顯然有pdRA=pdRM－1＜∞．故對k使用歸納法有

命題1．4 設0→A→B→C→0是正合列，則:

1)如果C∈P∞，則A∈P∞當且僅當B∈P∞;

2)如果A∈D∞，則B∈D∞當且僅當C∈D∞;

證明 顯然．

設M是R－模，

是M的投射分解．令K0=M，K1=ker(P0→M)，對n≥2，令Kn:=ker(Pn－1→Pn－2)．Kn稱為M的第n個合沖．

對應地，設N是R－模，

是N的內射分解．令 L0=N，對 n≥1，令 Ln:= Im(En－1→En)．Ln稱為N的第n個上合沖．

定理1．5 設D是P∞－內射模．則D的任何上合沖是P∞－內射模．

證明 設W是D的第m個上合沖(m≥0)，則有正合列

其中E0，E1，…，Em是內射模．對任何M∈P∞，設Km是M的第m個合沖，則pdRKm＜∞．故．從而有W是 P∞－內射模．

易知每個內射模都是P∞－內射模，下面給出P∞－內射模是內射模的一個充分條件．

定理1．6 設D是P∞－內射模．若pdRD＜∞，且pdRE(D)＜∞，其中E(D)是模D的內射包，則D是內射模．

證明 考慮正合列0→D→E(D)→C→0，由條件有pdRC≤max{pdRD，pdRE(D)}+1＜∞，則由命題1．3，此正合列分裂，因此D是內射模．

推論1．7 若l．gl．dim(R)＜∞，則每個P∞－內射模都是內射模．

證明 設W是P∞－內射模，M是任意R－模，由假設，pdRM＜∞，從而有，故W是內射模．

2 模類P∞與模類D∞

設A，B是2個左R－模類．記

A⊥={B∈RM|對任何A∈A，

以及

⊥B={A∈RM|對任何B∈B，

回顧左R－模類對(A，B)稱為一個余撓理論，是指A⊥=B，且⊥B=A．

設(A，B)是一個余撓理論．如果對正合列0→A→B→C→0，由B，C∈A能推出A∈A，則稱(A，B)是遺傳的余撓理論;等價地，對正合列0→A→B→C→0，由A，B∈B能推出C∈B．(A，B)稱為完全的余撓理論，是指每個模都有一個A蓋．等價地，每個模都有一個 B包，則由定義1．1可知，D∞=．下面來證明一般地有(P∞，D∞)不構成余撓理論．

命題2．1 P∞=

證明 這是顯然的．

設R是環，H．Bass［14］引入了環R的左finitistic維數:

M是R－模，且pdRM ＜∞}．

命題2．2 若FPD(R)=∞，則存在R－模M，使得pdRM=∞，但對任何D∈D∞，有=0．

證明 由條件FPD(R)=∞，有對任何正整數n，存在R－模Mn，使得pdRMn=n．令，則pdRM=sup{pdRMn}=∞．由于對任何D∈D∞，有，因此有

3)?4) 這是平凡的．

4)?1) 設M是R－模，pdRM＜∞，則對任何D∈Dn，由條件，D是P∞－內射模，故0．由引理2．4知，pdRM≤n．于是有FPD(R)≤n＜∞．

2)+3)?(5) 由文獻［13］知，(Pn，Dn)構成一個余撓理論．

推論2．3 若FPD(R)=∞，則(P∞，D∞)不構成余撓理論．

下面將證明在FPD(R)＜∞的條件下，(P∞，D∞)構成一個余撓理論．并且由命題1．4可知，這時，(P∞，D∞)還構成一個遺傳的余撓理論．為此，需要下面的引理．

引理2．4 設 n是自然數，M、D是 R－模，則有:

1)M∈Pn當且僅當對任何D∈Dn，D)=0;

2)D∈Dn當且僅當對任何M∈Pn，D)=0．

證明 由文獻［13］(Pn，Dn)構成一個遺傳的余撓理論可得證．

定理2．5 對環R，以下各條等價:

1)FPD(R)＜∞;

2)存在自然數n，使得Pn=P∞;

3)存在自然數n，使得Dn=D∞;

4)存在自然數n，使得每一Pn－內射模是P∞－內射模;

5)(P∞，D∞)構成余撓理論．

證明 1)?2) 設FPD(R)=n，則當pdRM＜∞時，就有pdRM≤n．由此得到Pn=P∞．

2)?3) 顯然，這是因為

5)?1) 由推論2．3知FPD(R)=∞是矛盾的，故FPD(R)＜∞．

對定理2．5的證明作適當變更，容易得到下一個定理．

定理2．6 設n是自然數．對環R，以下各條等價:

1)FPD(R)≤n;

2)Pn=P∞;

3)Dn=D∞;

4)每一Pn－內射模是P∞－內射模．

推論2．7 若FPD(R)=∞，則對任意自然數n，存在一個Pn－內射模不是P∞－內射模．

證明 由FPD(R)=∞ ＞n及定理2．6即可得證．

上面的推論告訴Pn－內射模不一定是P∞－內射模．例如，取R為域，向R上添加可數無限多個未定元x1，x2，…，xn，…，可得環R1=R［x1，x2，…，xn，…］，則FPD(R1)=∞．從而對任意自然數n，存在一個Pn－內射模不是P∞－內射模．

當R是非交換環時，H．Bass在文獻［14］中指出左完全環與l．FPD(R)=0是不一致的．文獻［13］給出了滿足l．FPD(R)=0的環R的一個刻畫: l．FPD(R)=0當且僅當每個模是Pn－內射模．下面將給出滿足l．FPD(R)=0的環R的另一刻畫．

定理2．8 對環R，以下各條等價:

1)每個模都是P∞－內射模;

2)若M∈P∞，則M是投射模;

3)l．FPD(R)=0．

證明 1)?2) 設N是任何R－模．由假設，N是P∞－內射模，故有．因此，M是投射模．

2)?3) 證明是顯然的．

3)?1) 由定理2．6即可得．

當R是交換環時，由文獻［15］知R是完全環當且僅當FPD(R)=0，則有以下推論．

推論2．9 交換環R是完全環當且僅當每個R－模都是P∞－內射模．

下面的例子證明 P∞－內射模不一定是內射模．

例1．8 設R是交換QF環，但非半單環:例R =Z4，則R為完全環，故FPD(R)=0．所以對任意R－模M，M是P∞－內射模．由于R非半單環，所以并非每個R－模是內射模．因此，對這樣的R，存在R－模N為P∞－內射模，但N非內射模．事實上，設N為R－模，pdRN=∞，則N非投射模，從而非內射模．

致謝 四川師范大學研究生優秀論文培育基金(201554)對本文給予了資助，謹致謝意．

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The Characterizations on P∞-injective Modules

XIE Jin，WANG Fanggui，HU Qing

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module D is called a P∞-injective module iffor any R-module P with finite projective dimension．In this paper，we prove that(P∞，D∞)is a Cotorsion theory if and only if l．FPD(R)＜∞，where P∞is the class of all R-modules with finite projective dimension，and D∞is the class of all P∞-injective modules．It is also shown that if l．gl．dim(R)＜∞，then every P∞-injective module is injective．Finally，we prove that every R-module is P∞-injective module if and only if l．FPD(R)=0．

projective dimension;P∞-injective module;Cotorsion theory;finitistic dimension

O154

A

1001－8395(2016)04－0475－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．002

(編輯 周 俊)

2015－04－27

國家自然科學基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數、同調代數與代數K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16D50;16E30