二階Fredholm 積分微分方程的有限差分—配置法

覃燕梅，羅衛華，孔 花，張 莉

(1．內江師范學院四川省高等學校數值仿真重點實驗室/數學與信息科學學院，四川內江641112; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610064)

二階Fredholm 積分微分方程的有限差分—配置法

覃燕梅1，羅衛華1，孔 花1，張 莉2*

(1．內江師范學院四川省高等學校數值仿真重點實驗室/數學與信息科學學院，四川內江641112; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610064)

針對二階Fredholm積分微分方程，提出了一種新的有限差分配置法．該方法的關鍵思想在于利用中心差分和分片線性Lagrange插值函數，將奇異核分裂成有限項，并用分部積分克服了奇異性．通過分析，給出了對應的代數方程組，證明了代數方程組的解的存在唯一性和收斂性．通過多個數值算例驗證了所給方法的有效性．

配置法;有限差分;Fredholm積分微分方程;Lagrange插值

帶Cauchy核或Hadamard核的奇異積分微分方程是計算的許多問題，如:力學［1］、熱彈性力學［2－3］和機翼問題［4］等的重要模型．

眾所周知，由于積分的奇異性，除了一些特定的情況，這些方程的精確解通常無法獲得．因此，這些模型的數值方法成為了研究熱點．

近幾十年來，關于Fredholm積分微分方程帶不同邊界條件的數值解一直被研究．M．Gulsu等［5］利用第二類切比雪夫多項式，提出用配置方法求解方程(1)，其中Maleknejad等［6］通過Taylor級數展開和Galerkin方法，數值求解了帶Cauchy核的一階Fredholm積分微分方程;X．Yang等［7］針對四階偏積分微分弱奇異方程，引入了Crank－Nicolson/quasi－wavelets方法; A．V．Andreev［1］采用正交高斯—雅可比公式［8］，給出了一階強奇異積分微分方程的數值解．關于方程(1)的數值方法還可參加文獻［9－16］．

本文利用 Lagrange插值多項式，研究帶有Cauchy/Hadamard核的Fredholm奇異積分微分方程邊界條件為:其中為正整數，s≠t，K(x，y)∈ C［a，b］，u(x)是未知函數．

1 有限差分配置法

在區間［a，b］上，定義剖分:JN={xn|xn=a+為步長，N為給定正整數．當所選基函數為分片線性多項式時，這些網格點也是配置點．

記ui=u(xi)．根據中心差分公式，方程(2)中的可以表示為

分段線性Lagrange插值多項式uh(x)近似代替u(x):

在配置點xk，k=2，3，…，N處可以變形為

其中

方程(6)中的前2項

本文重點討論奇異積分Δ1和Δ2的數值計算方法．由(5)式可得

和

由(10)、(11)式和分部積分公式，經過一些簡單的代數運算，可得

因此，綜合(4)、(6)、(7)和(12)式，原方程(2)可以離散為

在(13)式中的O(h2)舍去，并將(5)式代入(13)式可得近似方程為

其中，Ai－1，Bi－1，Ci－1，i=2，3，…，N為對應的系數向量．記 A=(A1，A2，…，AN－1)T，B=(B1，B2，…，BN－1)T，C=(C1，C2，…，CN－1)T，則(13)式可轉化為線性方程組:

其中F=FF+AA+BB+CC，且記z=y－x2，r=y－xN，

由于N+1階方陣B比較復雜，下面將逐行給出其計算格式:

第1行:

第k行:(k=2，3，…，N－2)

第N－1行:

矩陣C:

定理1 線性方程組(16)的解存在唯一，且|ui

證明 首先容易知道矩陣珘A可逆，且

由K(x，y)的連續性，可知存在常數c＞0，使得

記H=A+B+C，用A－1左乘H可得

根據(19)式可知矩陣 珘B與 h無關，進一步結合(20)式和可得:當h充分小時，I嚴格對角占優．從而H可逆，且‖H－1‖有界，故線性方程組(16)的解存在且唯一．

假設U=(u2，u3，…，uN)T為方程組(13)的解．將(13)和(14)兩式相減，可得

根據‖H－1‖的有界性，可得

2 算例

下面通過多個數值算例驗證所給的有限差分配置方法的有效性．

用En表示L∞范數下配置點xi，i=1，2，…，N+ 1處產生的誤差，收斂率

例1

精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

例2

精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

例3精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

表1 例1的結果Table 1 Result of example 1

表2 例2的結果Table 2 Result of example 2

表3 例3的結果Table 3 Result of example 3

表1～3的結果表明:本文所給的有限差分配置方法具有O(h2)精度，且其誤差收斂率與α無關，進而驗證了定理1的正確性．

3 結語

本文針對二階Fredholm奇異積分微分方程，基于分片線性Lagrange插值多項式，結合中心差分和配置法，提出了一種有限差分配置方法．推出了相應的代數方程組，通過多個數值算例，驗證了方法的有效性．數值結果表明:所給方法在配置點能達到二階精度，且與α取值無關．

致謝 內江師范學院重點科研項目(14ZA02)對本文給予了資助，謹致謝意．

參考文獻

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A Finite Difference-collocation Method for Second-order Fredholm Integro-differential Equations

QIN Yanmei1，LUO Weihua1，KONG Hua1，ZHANG Li2

(1．Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province Colleges and Universities/ College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal College，Neijiang 641112，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610064，Sichuan)

In this paper，based on the central difference and piecewise linear Lagrange interpolation function，a finite differencecollocation method is presented for second-order linear Fredholm integro-differential equations．The corresponding algebraic equations are obtained．Three numerical examples are employed to illustrate the effectiveness of the proposed technique．

collocation method;finite difference;Fredholm integro-differential equation;Lagrange interpolation

O242．21

A

1001－8395(2016)04－0531－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．013

(編輯 周 俊)

2016－01－31

國家自然科學基金(11301257)和四川省教育廳青年基金(15ZA0288、16ZB0300和11ZB083)

*通信作者簡介:張 莉(1982—)，女，講師，主要從事偏微分方程數值解的研究，E－mail:lizhang_hit@163．com

2010 MSC:65M70