環的整體強無撓維數與STH環

陳勇君，王芳貴，陳幼華

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

環的整體強無撓維數與STH環

陳勇君，王芳貴，陳幼華*

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

設R是任何環，D是右R－模．若對任何平坦維數有限的左R－模M，有，則D稱為強無撓模．利用模的強無撓維數和環的整體強無撓維數對環進行刻畫，引入了st

－VN正則環和STH環的概念．

強無撓模;強無撓維數;整體強無撓維數;st－VN正則環;STH環

本文恒設R是有單位元的結合環，fdRL和pdRL分別表示R－模L的平坦維數和投射維數，F∞表示平坦維數有限的左R－模類，l．gl．dim(R)和w．gl．dim(R)分別表示環R的左整體維數和弱整體維數，r．stf．dRN表示右R－模N的強無撓維數，r．stf．dim(R)表示環R的(右)整體強無撓維數，RM和MR分別表示左R－模范疇和右R－模范疇，其他相關符號可在文獻［1］中找到．

J．Z．Xu［2］引入了強無撓模的概念．右R－模D稱為強無撓模，是指對任何平坦維數有限的左R－模 M，有．Reza［3］在交換Noether環上討論了R－模N在什么條件下是強無撓模．S．Reza［4］繼續在環R是交換Noether局部環的條件下對強無撓模進行了研究．

H．Y．Yan［5］著重在一般非交換環上對強無撓模的性質進行了研究，并給出了R－模N的強無撓維數(stf．dRN)的定義．右R－模N的強無撓維數，是指使得0→Dn→Dn－1→…→D1→D0→N→0正合，且每個Di都是強無撓R－模的最小非負整數n．如果沒有這樣的整數n存在，則記r．stf．dRN=∞．文獻［5］還給出了R－模N的強無撓維數的另一等價定義，是指使得的最小的非負整數n，其中M∈F∞．2016年，文獻［6］遵循H．Y．Yan［5］的思路定義了環的(右)整體強無撓維數(r．stf．dim(R))．設R是環，定義

r．stf．dim(R)=sup{r．stf．dRN|N∈MR}，為R的(右)整體強無撓維數．

關于模的強無撓維數的討論在文獻［5－6］中都有表述．本文在這些研究的基礎上，按照同調理論的思想利用環的整體強無撓維數來刻畫環的結構，且關于任何同調維數的討論常常是考慮其遺傳性，因此自然地去研究強無撓右R－模的子模是強無撓模的環的結構，即r．stf．dim(R)≤1的環．本文在一般非交換的環上應用右R－模N的強無撓維數和環R的(右)整體強無撓維數，引入了st－VN正則環和STH環的概念．

1 st－VN正則環

定理1．1 設φ:R→T是環同態，且T作為左R－模有l．fdRT＜∞．若D是強無撓右R－模，則D是強無撓T－模．

證明 設M是任意左T－模，且l．fdTM＜∞，由平坦維數的換環定理，有l．fdRM≤l．fdTM+l． fdRT＜∞．由于D是強無撓右R－模，故=0．設0→K→F→M→0是正合列，其中F是平坦左T－模．設是自然同態，其中

推論1．2 設φ:R→T是環同態，且T是平坦左R－模．若D是強無撓右R－模，則是強無撓T－模．

推論1．3 設R是交換環，a∈R既不是零因子也不是單位．若D是強無撓R－模，則D/aD是強無撓R/aR－模．

推論1．4 設R是交換環，S是R的乘法封閉集．若D是強無撓R－模，則DS是強無撓RS－模．

推論1．5 設R是交換環，D是強無撓R－模，則D［X］是強無撓R［X］－模．

命題1．6 設R是交換環，N是R－模，則

證明 設n是非負整數，若stf．dRN≤n，則存在一個正合列

其中每個Di都是強無撓R－模，i=0，1，…，n．于是

是正合列．由推論1．5知每個Di［X］都是強無撓R［X］－模，i=0，1，…，n，因此

另一方面，令stf．dR［X］(N［X］)≤n，則存在一個正合列

其中F0，F1，…，Fn－1是平坦R［X］－模，且Fn是強無撓R［X］－模．于是

是正合列．由推論1．3知每個Fi/xFi都是強無撓R－模，i=0，1，…，n．故stf．dRN≤n，因此

環R稱為VN正則環，是指每個R－模都是平坦模．相應的，引入右st－VN正則環的概念來對環進行刻畫．

定義1．7 環R稱為右st－VN正則環，是指每個右R－模都是強無撓模．

例1．8 1)顯然，VN正則環是st－VN正則環．

2)設R=R1×R2是環的直積，則R是右st－VN正則環當且僅當R1與R2都是右st－VN正則環．

定義1．9［8］環R的左finitistic維數和左弱finitistic維數分別定義為

l．FPD(R)=sup{l．pdRM|l．pdRM ＜∞}，和

l．FFD(R)=sup{l．fdRM|l．fdRM ＜∞}．

容易看到，對任何環R，

l．FFD(R)≤l．FPD(R)≤l．gl．dim(R);

l．FFD(R)≤w．gl．dim(R)≤l．gl．dim(R)．

定理1．10 對環R，則以下各條等價:

1)R是右st－VN正則環;

2)r．stf．dim(R)=0;

3)l．FFD(R)=0;

4)對任何M∈F∞，有M是平坦模;

5)每個有限表現右R－模是強無撓模．

證明 1)?2)顯然．

1)?3)由文獻［6］推論3．7即得證．

2)?4)由文獻［6］定理4．6，有r．stf．dim(R) =0?對任何 N∈MR，以及任何 M∈F∞，有TorR1(N，M)=0，即M是平坦模．

1)?5)顯然．

5)?4)設X是任意有限表現右R－模，由條件，有X是強無撓模．對任何M∈F∞有=0，故M是平坦模．

回顧環R稱為右IF環，是指每一內射右R－模是平坦模［9］．文獻［9］定理3．5證明了右IF環R是VN正則環當且僅當w．gl．dim(R)≤1．

推論1．11 設R是右IF環，則R有

證明 由條件及文獻［10］得到l．FFD(R)=0，再由定理1．10，即得證．

推論1．12 設R是環，則以下各條等價:

1)R是VN正則環;

2)l．FFD(R)=0，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右IF環，且w．gl．dim(R)＜∞;

4)R是右st－VN正則環，且w．gl．dim(R)＜∞．

證明 1)?2)由于R是VN正則環，則

即任意左R－模M都是平坦模．于是l．fdRM=0，故l．FFD(R)=0，得證．

2)?1)由條件知:任意R－模都是平坦模，即R是VN正則環．

2)?3)由條件知:環R是VN正則環，即任意右R－模都是平坦模，從而環R是右IF環，且

3)?2)由于環R是右IF環及推論1．11，知r．stf．dim(R)=0．再由定理1．10知l．FFD(R)=0，即得證．

2)?4)由定理1．10，即得證．

推論 1．13 設 R是交換完全環，則 R有stf．dim(R)=0，從而R是交換Artin環，則R有

推論1．14 設R是交換完全環，且

則R是半單環．

證明 由于R是交換完全環，則由文獻［7］定理5．7．6知FPD(R)=0．又FFD(R)≤FPD(R)=0，則FFD(R)=0，從而R是st－VN正則環，即每個R－模都是強無撓模．又由于w．gl．dim(R)＜∞，由文獻［6］命題2．7知每個強無撓模都是平坦模．再由R是完全環，則由文獻［7］的定理5．7．4知每一平坦模是投射模，故每個R－模是投射模，因此R是半單環．

2 STH環

環R稱為右遺傳環，是指每個右R－投射模的子模是投射模，即等價于r．gl．dim(R)≤1．相應的，引入右STH環的概念來對環進行刻畫．

定義2．1 環R稱為右STH環，是指每個強無撓右R－模的子模是強無撓模，即r．stf．dim(R)≤1．

例2．2 1)顯然，右遺傳環是右STH環．

2)右st－VN正則環仍是右STH環．

3)若w．gl．dim(R)≤1，則R是右STH環，因此半遺傳環也是STH環．特別地，Prüfer整環也是STH環．

定理2．3 對環R，則以下各條等價:

1)R是右STH環;

2)平坦右R－模的子模是強無撓模;

3)自由右R－模的子模是強無撓模;

4)l．FFD(R)≤1;

5)R的每個右理想是強無撓模．

證明 1)?2)?3)顯然．

1)?4)設任何M∈F∞，X是任意右R－模，則存在一個正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．于是K是強無撓模，因而有正合列

4)?2)對于平坦右R－模F的任一子模K，有正合列0→K→F→X→0．對任何M∈F∞，由假設有l．fdRM≤1．因此有正合列

3)?5)顯然．

5)?4)設I是R的任意右理想，M∈F∞，則0→I→R→R/I→0是正合列．由條件，I是強無撓模．于是由同構關系，故l．fdRM≤1，即l．FFD(R)≤1．

推論2．4 設交換環R是STH環，S是R的乘法封閉集，則RS也是STH環．

證明 設M是RS－模且fdRSM＜∞，則fdRM= fdRSM＜∞．引用定理2．3命題4)，得fdRM≤1，故fdRSM≤1，因此RS也是STH環．

定理2．5 設R是環，則以下各條等價:

1)l．FFD(R)=0;

2)l．FFD(R)≤1，且每一內射模是強無撓模．

證明 1)?2)由定理1．10即得證．

2)?1)設X是任意右R－模，則存在一個正合列0→X→E→C→0，其中E是內射模．由條件，E是強無撓模．又由定理2．3，知X是強無撓模．再由定理1．10，得到l．FFD(R)=0．

引理2．6 設R是交換環，a∈R既不是零因子也不是單位．若FFD(R)≤n，其中n≥1，則

證明 令珔R=R/aR，設M是任意珔R－模且fd珔RM＜∞，由文獻［7］的定理4．9．7，有fdRM=fd珔RM+1＜∞．由條件有fdRM≤n，從而fd珔RM≤n－1，故得證．

定理2．7 設R是dim(R)=1的交換Noether環，則R是STH環．

證明 由于R是Noether環，則由文獻［7］的定理6．3．4知dim(R)=FPD(R)=1．再由于FFD (R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1，故R是STH環．

定理2．8 設R是環，則以下各條等價:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是右STH環，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右STH環，且每一強無撓模是平坦模．

證明 1)?2)對任何右R－模N，則r．stf．dRN≤r．fdRN，故r．stf．dim(R)≤w．gl．dim(R)≤1，故得證．

2)?3)由文獻［6］的命題2．7即得證．

3)?1)設X是任意右R－模，則存在一個正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．由于R是右STH環，故K是強無撓模，從而K是平坦模，因此w．gl．dim(R)≤1．

推論2．9 設R是交換凝聚環，則以下各條等價:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH環，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH環，且每一強無撓模是平坦模;

4)R是半遺傳環．

證明 1)?2)?3)由定理2．8得證．

1)?4)設I是R的任意有限生成理想，由于R是凝聚環，則I是有限表現的．又由于w．gl．dim(R)≤1，則由文獻［7］的定理5．5．10有I是平坦模．再由文獻［7］的定理3．4．7有I是投射模，故R是半遺傳環．

4)?1)顯然．

推論2．10 設R是Noether整環，則以下各條等價:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH環，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH環，且每一強無撓模是平坦模;

4)R是Prüfer整環，即R是半遺傳整環;

5)R是Dedekind整環，即R是遺傳整環．

證明 1)?2)?3)由定理2．8得證．

1)?4)參見文獻［7］的定理5．5．11．

4)?5)顯然．

推論 2．11 設 R是 w．gl．dim(R)＜∞的Noether整環，則R是STH環當且僅當dim(R)= FPD(R)≤1．

證明 若R是STH環，由推論2．10知R是遺傳整環．于是gl．dim(R)≤1，故FPD(R)≤gl．dim(R)≤1．再由文獻［11］知dim(R)=FPD(R)，故得證．

反之，設dim(R)=FPD(R)≤1，由于FFD(R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1．再由定理2．3，故R是STH環．

例2．12 STH環未必是半遺傳環．例如:設D是w．gl．dim(D)=1的Prüfer整環，則

其中X是未定元．令R=D［X］/(X2)，由引理2．6知FFD(R)≤1，從而R凝聚STH環．用x表示是X在R中的像，而x≠0且x2=0，故x是R的冪零元，因此R不是約化環．又由文獻［12］命題1知，w．gl．dim(R)=∞，故R不是半遺傳環．

例2．13 STH整環未必是Prüfer整環，Noether的STH整環未必是Dedekind整環．例如:設Q是有理數域，X，Y是未定元，則X2+2Y2是不可約多項式．因此R=Q［X，Y］/(X2+2Y2)是Noether整環，且其Krull維數dim(R)=1．由文獻［11］知dim(R) =FPD(R)．再由于FFD(R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1，故R是Noether的STH整環．由文獻［13］的例2．11知，R不是整閉整環，且R是Gorenstein－Dedekind整環，因此R不是Dedekind整環．

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Global Strongly Torsion-free Dimensions of Rings and STH Rings

CHEN Yongjun，WANG Fanggui，CHEN Youhua

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and D a right R-module．If TorR1(D，M)=0 for all left R-modules M with finite flat dimension，then D is called a strongly torsion-free．We make use of the strongly torsion-free dimension of a module and global strongly torsion-free dimension of a ring to charaterize rings．Then we introduce the concept of st-VN regular rings and STH rings．

strongly torsion-free modules;strongly torsion-free dimensions;global strongly torsion-free dimensions;st-VN regular rings;STH rings

O154

A

1001－8395(2016)04－0503－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．007

(編輯 周 俊)

2015－05－21

國家自然科學基金(11171240)、教育部博士點專項科研基金(20125134110002)和四川省教育廳自然科學青年基金(15ZB0030)

*通信作者簡介:陳幼華(1979—)，男，副教授，主要從事交換環與星型算子理論的研究，E－mail:yhchen2006@163．com

2010 MSC:16E10;16E60