在“猜想、驗證、證明”中獲得
——以“函數的和、差、積、商的導數”教學片段為例

湯愛民

(江蘇省鹽城師范學院第一附屬中學，224002)

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在“猜想、驗證、證明”中獲得
——以“函數的和、差、積、商的導數”教學片段為例

湯愛民

(江蘇省鹽城師范學院第一附屬中學，224002)

日前,筆者有幸代表學校參加鹽城市市區學校優質課比賽.比賽采取微課的形式,指定教學內容為“函數的和、差、積、商的導數”的一個片段,時間不超過15分鐘．蘇教版“函數的和、差、積、商的導數”教材內容只給出了一個引例及函數和、差、積、商的求導法則和兩個例題．分析教材后,筆者認為這節課的重點是函數和、差、積、商的求導法則的運用,難點是函數的積的求導法則的推導,因此決定選擇“函數的積的求導法則”這一片段參賽．現將教學設計整理如下，以供參考.

一、類比猜想,啟發思考

我們剛才通過猜想并用導數的定義法驗證了:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差),即

[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

那么,問: [f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)有什么樣的關系呢?

學生猜想后,繼續問:

[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)

是否正確?

設計意圖此設計意在充分暴露學生的思維.受函數和(差)求導法則的影響,學生很容易猜想得出[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)．引導學生運用x·x2這個反例來說明上面的猜想“[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)”是錯誤的,防止知識負遷移．

問:剛才同學們猜想[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)的關系為[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)．事實上,我們通過x·x2驗證出[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)這一猜想是錯誤的．那么,[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)究竟是什么樣的關系呢?

二、問題探究,引出猜想

以函數f(x)=x和g(x)=x2為例,請同學們觀察:

xx2

12x

與

3x2([f(x)g(x)]′)

之間的關系．

學生從“系數”和“項”兩個方面很容易觀察出上面的樣式與“十字相乘法”十分相似,所以可以得出下面的關系式:

從而猜想出:

f′(x)g(x) +f(x)g′(x)

=[f(x)g(x)]′ .

①

三、實例檢驗,鞏固猜想

現在,我們觀察下表第2、第3列,看看是否滿足①式結論．

例1請同學們填寫下表：

f(x)g(x)x3x4x4函數f(x)=x,g(x)=x2f(x)=x2,g(x)=x2f(x)=x3,g(x)=x導數f(x)=1,g'(x)=2x[f(x)g(x)]'3x2

解填表如下：

f(x)g(x)x3x4x4函數f(x)=x,g(x)=x2f(x)=x2,g(x)=x2f(x)=x3,g(x)=x導數f'(x)=1g'(x)=2xf'(x)=2xg'(x)=2xf'(x)=3x2,g'(x)=1[f(x)·g(x)]'3x24x34x3

那么,[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)的關系是否就是[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)?

設計意圖通過拆分x4為兩函數積的形式,驗證上面的猜想,讓學生在特例檢驗的過程中對函數積的求導法則的結構有更深入的了解．

四、證明猜想,得出結論

對一般情形的猜想,同樣需要嚴格的證明來驗證它的正確性．

證明設y=f(x)g(x)，則

-f(x)g(x+Δx)

+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x) ].

②

的形式,以便使證明過程方便進行下去.

于是，

+f(x)[g(x+Δx)-g(x)]}

當Δx→0時,由上式可得

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x)．

因此,我們有函數積的求導法則:

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x).

特別地,當函數g(x)=C,C為常數時,有

[Cf(x)]′=Cf′(x)．

設計意圖將Cf(x)的求導法則調整到函數積的求導法則后面講解,學生更容易理解．

五、當堂檢測,鞏固概念

例2求下列函數的導數:

(1) f(x)=xsin x;

(2) f(x)=(2x2+3)(3x-2)．

設計意圖第(2)問沒有照搬課本題目,主要考慮到:一是幫助學生運用函數積的求導法則;二是對原函數進行整理,運用函數和的求導法則解決問題,培養學生轉化的思想,幫助學生樹立整體觀念．

六、回顧反思,總結提升

通過“猜想、驗證、證明”,學生收獲的不僅是“函數的積的求導法則”,更重要的是收獲了發現“函數的積的求導法則”的方法：

(1)由合情猜想引出疑問,提出對猜想結果的質疑．

(2)通過f(x)=x、g(x)=x2和它們的導數f′(x)=1、g′(x)=2x,引導學生聯想到“十字相乘法”,發現1·x2+x·2x=3x2,從而重新猜想出

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x).

(3)教會學生發現規律(本質)的一般方法:

引出疑問——探究猜想——檢驗證明