概率中的幾個易錯問題

李文東

(廣東省中山紀念中學,528454)

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概率中的幾個易錯問題

李文東

(廣東省中山紀念中學,528454)

概率統計是新課標高中數學內容中的一個亮點,它替代了傳統的數學應用題.然而對于概率的計算,許多同學都存在不少誤區,究其原因,除了許多概率的計算需要用到排列組合的知識,讀清楚題目表達的實際含意外,還需要對一些概率的概念的本質有一個清晰的把握.本文通過一些概率中的易錯典型例題對概率易錯問題進行辨析,希望能夠讓學生正確地理解并掌握運用,同時對教師的課堂教學也能起到一定的幫助作用.

一、概率中的順序問題

例1一個盒子中有大小形狀相同的10個球,其中有7白球,3個黑球,分別求下列事件的概率:

(1) 從中有放回的依次取出兩球,取出的兩球顏色不同;

(2) 從中無放回的依次取出兩球,取出的兩球顏色不同;

(3) 從中無放回的依次取出兩球,第一次取出的是黑球,第二次取出的是白球;

(4) 從中一次性取出兩球,取出的兩球顏色不同.

(本題也可以用(2)中的排列來解決，有殊途同歸之效)

評注本題涉及到主要是概率計算中的順序問題,正確理解有無順序,合理運用排列組合乃至兩個基本計數原理是解決問題的關鍵.

二、互斥、對立與獨立混淆

為了對“互斥”、“對立”與“獨立”這三者關系有個清晰的認識,特設計了下面的例子.

例2拋擲一顆骰子,記A為事件“落地向上的數為奇數”,B為事件“落地向上的數為偶數”,C為事件“落地向上的數為3的倍數”,D為事件“落地向上的數為大于3的數”,E為事件“落地向上的數為7”.判斷下列每對事件的關系：

(1)A與B；(2)A與C；(3)B與C；

(4)A與D；(5)A與E.

解顯然A={1,3,5},B={2,4,6},C={3,6},D={4,5,6},E={7}.

注意基本事件總數為6，可得

由互斥、對立及獨立事件的概念，得結論如下：

互斥對立獨立A與B是是不A與C不不是B與C不不是A與D不不不A與E是不是

實際上,設若兩個隨機事件A、B相互獨立,則說明這兩個事件可以同時發生(因為兩個事件的發生互不影響),而互斥的兩個事件卻不能同時發生(亦即一個事件發生了,另個事件就絕對不可能發生),故兩個相互獨立的事件通常不可能互斥.

反之,設若兩個事件互斥,則一個事件的出現必導致另一個事件的不出現,這說明后者出現的概率受到了前者是否出現的影響,從而意味著這兩個事件并不相互獨立.

當然這只是一般情況,當有概率為零的事件時例外.

三、超幾何分布與二項分布的區別

例3某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,隨機抽取該流水線上40件產品作為樣本算出他們的重量(單位:克).重量的分組區間為(490,495],(495,500],…(510,515],

由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖1所示.

(1)根據頻率分布直方圖,求重量超過505克的產品數量；

(2)在上述抽取的40件產品中任取2件,設Y為重量超過505克的產品數量,求Y的分布列；

(3)從流水線上任取5件產品,求恰有2件產品合格的重量超過505克的概率.

解(1)重量超過505克的產品數量是:40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12.

(2)Y的分布列為:

Y012PC228C240C128·C112C240C212C240

評注本題第三小題易犯的錯誤是利用超幾何分布來解決.

超幾何分布和二項分布的區別:

(1)本質區別:二項分布是獨立重復試驗,每一次發生的概率都一樣,而超幾何分布則會改變.如常見兩種模型:有放回和無放回抽取.(有放回抽樣時,每次抽取時的總體沒有改變,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是獨立重復試驗,此種抽樣是二項分布模型.而不放回抽樣時,當總體容量比較小時,從中取出一個則總體中就少一個,因此每次取到某物的概率是不同的,此種抽樣為超幾何分布模型)

(2)在統計中的區別：

①超幾何分布需要知道總體的容量,而二項分布不需要;

②當總體的容量非常大時,采用二項分布;(當總體樣本非常大時,雖說取出一個少一個,但對于總體的影響小之又小,故可以看做對概率沒有影響,所以采用二項分布)

③如果用樣本的頻率估計為總體的概率,一般采用二項分布.

例4某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生,其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖2所示.

(1)估計這次測試數學成績的平均分、中位數和眾數;

(2)假設在[90,100]段的學生的數學成績都不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現用簡單隨機抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數中任意抽取2個數,有放回地抽取了3次,記這3次抽取中,恰好是兩個學生的數學成績的次數為ξ,求ξ的分布列及數學期望Eξ.

解(1)利用中值估算抽樣學生的平均分:

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

所以,估計這次考試的平均分是72分.

學生的成績在[90,100]段的人數是0.005×10×80=4(人).

四、兩種不同的條件概率

例5一個盒子中有大小形狀相同的10個球,其中有6白球,4個黑球,

(1) 從盒子中任取兩個球,已知第一次取到的球為黑球,求第二次取到的球也是黑球的概率;

(2) 從盒子中任取兩個球,已知其中一個球為黑球,求另一個球也是黑球的概率.

解(1)已知第一次取到的球為黑球,故盒子中還剩下9個球,其中6白球,3個黑球,從中再任取一球為黑球的概率

五.忽略基本事件的等可能性出錯

例6把圓周4等分,A是其中一個分點,動點P在四個分點上按逆時針方向前進.投擲一個質地均勻的正四面體,它的四個面上分別寫著1,2,3,4四個數字,P從點A出發,按照正四面體底面上所投擲的點數前進(數字為n就前進n個分點),轉一周之前繼續投擲.

(1)求點P恰好返回到點A的概率:

(2)在點P轉一周能返回點A的所有結果中,用隨機變量ξ表示點P返回A點時的投擲次數,求ξ的分布列和期望.

(2)錯解:在恰能返回點A的情況下,ξ有1,2,3,4共四種取值的可能結果,且由(1)知

故ξ的分布列為

ξ1234P18383818

評注本例第(2)問的解法在很多教材和資料上比較常見,許多中學老師也對這一結果持相同的意見.究其原因,乃是對古典概型中基本事件的等可能沒有正確地把握:在點P轉一周能返回點A的所有結果認為是8種,且每一種都是等可能的.事實上,它們顯然不是等可能的,應按照條件概率計算,ξ的分布列的正確結果如下:

ξ1234P6412548125121251125