例說外心問題的多角度切入

何振華

(江蘇省海門中學，226100)

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例說外心問題的多角度切入

何振華

(江蘇省海門中學，226100)

在高三的各類模擬考試中,外心問題一直受到命題者的青睞,出現許多與外心有關的考題,而學生往往感到無從入手.本文以2015年我省泰州市的一道?？继羁疹}為例,談如何找到外心問題的切入點,意欲與大伙一起突破“外心”困惑．

試題在?ABC中,D為邊AC上一點,AB=AD=4,AC=6,若?ABC的外心恰在線段BD上,則BC=______.

分析在?ABC中,已知AB=AD=4,AC=6,只需求出∠BAC,即可用余弦定理求出BC.因此本題的思維障礙在于怎么求∠BAC,那么如何運用條件“?ABC的外心恰在線段BD上”就顯得十分重要．

角度1利用 “圓心角等于圓周角的2倍”,突破思維障礙

解如圖1，設O為?ABC的外心,∠BAC=θ,則∠AOB=2∠C.

因為AB=AD,所以

又AO=BO,所以

在?ABC中,由正弦定理，得

又BC2=62+42-2·6·4cosθ

=52-48cosθ.

角度2利用 “中垂線”,突破思維障礙

解如圖2，取AC,AB中點E,F,連OE,OF，則OE⊥AC,OF⊥AB.

因為AB=AD,所以∠ABO=∠ADB,

所以Rt?OED與Rt?OFB相似，得

過點B作BH⊥AC于點H,則

又ED=1，所以

DH=3,AH=4-DH=1.

評注外心是中垂線的交點這一特征可以幫助我們確定外心位置,將動態問題靜態化,處理外心問題時,往往可以另辟蹊徑,快速突破思維障礙．

角度3利用“圓方程”,突破思維障礙

解如圖3,以A為原點建立直角坐標系,則C(6,0),D(4,0).

設∠BAC=θ,則B(4cosθ,4sinθ),

由題意，設外接圓方程為

所以

評注利用圓方程求解,可以將幾何問題代數化,往往可以降低問題的思維難度,回歸解析幾何的本質,可以幫助我們更快的找到問題的切入點．

角度4利用“AO=BO=CO”,突破思維障礙

解因為B,O,D三點共線,所以

又AO=BO=CO，

解因為B,O,D三點共線,所以

總的來說,如果你能從外心的特征出發,借助平面幾何、解析幾何、解三角形和向量知識,那么就能舉一反三,找到外心問題的切入點,突破外心問題的困惑,玩轉“外心”．

○解題思路與方法○