通過一道習題談數學解題方法

付長兵

(江蘇省昆山中學，215300)

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通過一道習題談數學解題方法

付長兵

(江蘇省昆山中學，215300)

數學解題的思維過程是指從理解問題開始,經過探索思路、轉換問題直至解決問題,可簡要概括為:理解、轉換、實施、反思．

在高三復習的過程中,為了能夠讓學生迅速尋找到解決問題的方向,老師通常強調對一類問題的通性、通法,過于強調題型、方法,忽視了知識點之間的聯系,對學生學習的主動性以及綜合能力的培養會存在不利的影響．為了使回想、聯想、猜想的方向更明確,思路更加活潑,進一步提高探索的成效,我們必須掌握一些解題的策略．筆者認為,從不同角度分析解決問題的方式方法,不僅能夠激發學生學習的興趣,還能夠使學生更加清晰地串聯起不同知識間關系,更有利于訓練培養學生分析、轉化問題以及解決問題的能力．

下面通過一道習題談一談數學解題過程中的策略與方法．

從結構上來分析,任何一道解答題,都包含條件和結論(或問題)兩個方面．當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時,要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識、經驗或解題模式,順利地解出原題．

一、從結論出發，順藤摸瓜

本題是計算三角形內角的大小，這讓我們第一時間聯想到了解三角形問題.又因為條件中出現了AB，AD，BD的長度，利用余弦定理求角的大小是我們熟悉的題型和方法，于是可以引導學生從余弦定理出發探索解題的過程.

解法1在?ABD中，由余弦定理，知

∴AB2-AD2=BD·DC，

又在?ABC中，

∴AB=AC,

評注分別在兩個三角形中利用余弦定理找到AB與AC的關系是本題的難點.從結論出發鎖定解決問題的方法，這是遇到綜合題時常用的思考方式.這種方法建立在對基本問題熟練掌握的基礎之上，通過對條件的不斷加工達到預期的目的.

二、從條件出發，直搗黃龍

評注這種解法需要學生具備一定的綜合探索能力，在確定了解題方法之后要勇敢地走下去.這跟下棋類似，我們有時看不到最后一步的結局，但在下棋的過程中我們逐漸看清了形勢的發展，通過不斷的調整取得最后的成功.

三、數形結合，輕而易舉

AB2=AD2+BD·DC.

通過平方差公式，轉化為形象鮮明、直觀具體的幾何問題得以解決.

∴AB2=AD2+BD·DC.

∴(AB+AD)(AB-AD)=BD·DC.

延長DA至E，使得AE=AB，延長AD至F，使得AF=AB，則

DE·DF=BD·DC，

從而B、E、C、F四點共圓(如圖2).

評注有些數學題，內容抽象，關系復雜，給理解題意增添了困難.對于這類題目，可以給題中有關數量以恰當的幾何分析，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑.本題通過構造圖形，巧妙利用四點共圓得以解決.

從這道題的解決過程中，我們可以發現，無論是從問題的條件出發還是從結論出發，在探索解題思路的過程中都需要在理解問題的基礎上對熟悉的問題進行轉化、加工，這是對基礎知識和基本技能的靈活運用的過程.而這些能力的培養除了老師有意識地引導之外，更需要學生對每一個問題進行認真反思總結.它是發展數學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束包含另一個新的思維活動過程的開始.