用基本不等式求最值為什么要“二定”

張　云

(江蘇省華羅庚中學,213200)

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○學習指導○

用基本不等式求最值為什么要“二定”

張云

(江蘇省華羅庚中學,213200)

用基本不等式求最值是基本不等式的重要應用,也是高考的熱點．基本不等式求最值要注意滿足“一正二定三相等”這三個條件.其中，“二定”是三個條件中相當重要的條件,也是平時的考查點.由于學生對此較難理解,本文對此進行探索．

一、問題的提出

解法1∵x>0，

在課堂教學中,教師常常會給出上述解題過程，多數學生容易接受,但也有學生往往會提出如下解題思路:

所以當x=1,y取最小值2.

兩種方法做的結果卻不一樣,學生百思不得其解.比較兩種解法，為什么將表達式先加上1湊成根號下是乘積為定值．就可以求最值，難道解法2乘積不是定值就不能求最小值?對此，我們不妨從理論上加以探索．

二、解法探析

但解法2錯誤的根源是什么呢？我們再從理論上解決.先回顧函數最小值的定義：設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：① 對于任意實數x∈I,都有f(x)≥M,② 存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我們稱常數M 是函數y=f(x)的最小值．這說明最小值一定是具體數值,這就是基本不等式求最值中“二定”的本質.從數形結合的角度看，f(x)在區間I內點x0處取最小值f(x0)=M,實質上就是要求y=f(x)在區間I內圖象恒位于常值函數y=M圖象上方，且兩者在x0∈I處圖象重合.再看看學生的做法:

當x>0時,由基本不等式知

三、解題后的反思

我們總是責怪學生課堂聽課效果差,殊不知是教師為了追求課堂的高效性少走彎路,對于基本不等式求最值的三個注意事項“一正二定三相等”,教師往往采用告訴式,這容易使學生聽得云里霧里、似懂非懂，做練習時仍然犯上面的錯誤.再比如

例2設正數a,b滿足a+b+3=ab,求a+b的最小值.

所以a+b=ab-3≥9-3-6(等號在a=b=3時取得)，則a+b的最小值為6.