數學建模的思想和方法的應用

郭勝紅

摘 要：本文中，筆者首先結合我國高數教學現狀，分析了建模思想在高等數學教學中的重要性，并且闡述了數學建模思想應用到教學中應遵循的相關原則，并結合具體問題探究建模思想的應用價值，以其能夠產生一定的實際意義。

關鍵詞：數學建模思想；高等數學；教學原則；重要性

前言：眾所周知，高等數學是高校理工科學生重要的必修課之一，而且高數這一學科往往抽象性強、理論程度深、數學規律和定律較多，在教學時比較枯燥乏味，致使學生學習的積極性不高。并且很多學生認為，高等數學是一門“無用”的課程，生活中難以讓高等數學產生一定的實用價值。作為高等數學教學及解題過程中的重要思想和方法，數學建模思想對于高效的解決各類復雜的數學問題至關重要。常見的微積分、導數等數學概念往往都比較抽象，運用建模思想則可以讓其具象化。在解決實際數學問題的應用過程中，建模思想的作用更加突出。

一、建模思想在高等數學教學中的重要性

建模，顧名思義就是建立模型，在高等數學教學過程中，建模的過程往往是對一個具體的對象，為了達到某種目的，遵照其內外規律，對復雜的數學結構做出進一步的簡化，提出假設，并利用合理的數學工具或者公式，通過正確的運算，來構建成為一種數學模型結構。簡單的說，建模就是通過數學公式或者圖形等數學語言來對數學問題和現象進行的描述。隨著高校高數教育教學的發展，高數建模思想也在不斷發展。但是從實際情況來看，我國高數教學創新理念不高，教學方式單一，枯燥無聊的數學課堂讓學生們提不起興趣，最終影響了學生思維的靈活性和個性化成長。因此，新時期的高數教學中，需要不斷增加和融入了數學建模思想，對于學生思維活性和數學創新能力的發揮作用明顯。學生在數學教師的引導下，積極進行數學創新，并主動發現、分析和處理相應的實際問題，大大提高了高等數學的教學效率和質量水平。建模思想對于高等數學整體教學水平的提升具有深遠的意義。

二、數學建模思想應用到教學中應遵循的原則

1.實例要簡明易懂

在實際的數學教學過程中，雖然模型建立至關重要，但是對于模型實例來講，應當是簡明易懂的。由于數學學習具有較強的理論性、規律性和邏輯性，甚至有些定理比較晦澀，因此教師應當積極借助相關的生活實例來展開教學，簡明的生活實例能夠幫助學生深入淺出的進行學習，激發學生們對數學的學習熱情，循序漸進的引導學生從實際問題分析入手，探究其中的數學內涵與奧妙，并深刻理解和掌握知識。尤其是對于微積分和該類方面，教師要深化學生的學習理念，提高學生的建模意識，引導學生認識到數學學習的重要性，并展開深入的學習。

2.堅持因材施教

任何學科的教學都應當注重因材施教，針對學生特點進行個性化的、有針對性的教育，而且由于各個學校教學都有其自身特征，對于理工科專業和文史專業而言，高數教學的模式和方法應當是有所差異的。為了提高數學建模思想在教學中的應用，高數教學應當做到因材施教，提高教學的實效性，并在教學過程中積極開展科研工作，不斷發現、分析、處理和解決問題，提高教學質量。

3.教師應編寫可以融入的教學單元

在互聯網發展的今天，教師可以借助互聯網資源或技術，積極分析高數課程教學實際問題，并建立和挖掘數學建模的素材，對高數教學從問題陳述、建模、求解、驗證等過程進行研究與思考，并將其與現有的教學單元有效融入，幫助教師進行教學與科研，進而提升單元教學水平，促進教師教學風格的塑造與教學水準的提高。

4.對新生要進行重點教學

對于新入學的學生，即大一秋學期的學生應當積極開展數學建模思想意識強化，幫助學生建立并形成數學建模的正確思維模式，由易到難的引導學生利用建模實現對實際問題進行分析與探究，引導學生理解高數對生活的重要作用，并結合一定的理念強化和理論知識灌輸，讓學生認識到建模思維在數學學習中的重要性。

三、建模思想在高等數學教學中的應用

1.在概念教學中運用建模思想

高數中的概念較多，這無形中增加了學生對高數學習的難度。加上概念本身所具有的抽象性，讓學生理解起來較為困難，其記憶的難度也同樣予以增加。很多學生在學習高數的概念的時候往往會出現畏難情緒，容易讓其本身的學習積極性受到打擊。教師在進行概念教學時候融入建模思想，則可以讓學生的學習更加形象化、具體化，有助于學生對概念的進一步了解和認識。

比如，筆者在講授定積分概念的時候，便建立了兩個模型。

（1）求變速直線運動的路程；

（2）變力沿直線做功。

對于問題（1）的求解，其可以利用公式：路程=速度×時間進行求解，但是此時問題的關鍵便在于速度的可變性。于是，教師在進行教學的時候便可以考慮“化整為零”，將時間段進行小區間劃分，將其進行足夠小時的分割，讓每一個小區間段的速度接近一個常數，用這一小段的時間乘以速度。這樣可以將每個小段內的路程相加得到路程的相似值。當然，如果想要得到更加精準的數值，則需要將時間進行更加精細的分割，其劃分越細得到的數值越精確。通過計算我們可以得到路程的表達式為：

此表達式中v（t）是速度函數， fi是分割后的小段時間間隔，[ti-1，ti ]上任意選取一個時刻，△ti則是各個小段時間長， 是各個小段時間間隔中最大者。由此，可以得到問題（2）的表達式：

學生通過這兩個表達式可以對定積分的定義有所認識，也能夠通過自我總結了解到定積分的概念。

2.課外習題中對建模思想的應用

簡單課堂中的教學難以讓學生真正認識到建模思想的重要性，教師還需要將課堂踐行延伸，讓學生能夠在進行習題練習的時候對建模思想進行靈活應用，一方面讓學生能夠對所學習的知識進行鞏固，另一方面還能夠讓學生感受到高數學習的樂趣，同時還能夠讓學生感受到高數在解決實際問題方面的重要價值。

比如，教師在進行微積分教學的時候便可以運用“嫌疑犯確定”的習題讓學生的學習興趣得到提升。

某晚7：30分，發現一名被害者尸體，法醫于晚上8：20趕到案發現場，測得被害者體溫為32.6℃；1小時候后，該尸體被抬走，此時尸體溫度為31.4℃，室內溫度在此過程中始終保持在21.1℃。經排查，嫌疑最大者為李某，但是李某辯稱自己無罪，并提供了證人說“下午李某一直和其在一起，5：00時候接到一個電話才離開”。而李某到被害人處僅需要5分鐘時間，通過以上條件，請判斷李某是不是殺人犯？

此題目能夠最大化的激發學生好奇心，能夠讓學生將所學習的知識與問題結合在一起。通過牛頓冷卻定律，我們可以知道，系統與環境的溫差不大的情況下，系統溫度變化率與系統溫度和環境溫度之差成正比，其數學表達式為：

其中T為系統溫度，T0為環境溫度，t為客觀時間，k為散熱系數。我們將尸體看成一系統，環境為死者的家，那么尸體的溫度變化就會服從牛頓冷卻定律。晚上8：20則成為t=0時刻，通過實測數據可以得出：

T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃

如果死者死亡時候的體溫正常，那么T（t0）=37℃，確定死者的死亡時間t0，即求T（t）=37℃的解。如果李某在t0時間范圍內沒有與證人在一起，那么李某的嫌疑則不能夠被排除。

高數的計算題轉變成為一道有趣的懸疑題，可以讓學生們的學習興趣高漲，可以讓學生溫習所學習的知識，可以讓學生們認識到建模思想的作用。

結語：

建模思想的應用讓學生們的學習思維予以拓展，讓學生們的學習興趣得到提升，有助于學生們對高數的靈活應用。教師要對建模思想進行深入研究和探索，為培養新世紀的人才做好鋪墊。

參考文獻：

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[2]郭欣. 融入數學建模思想的高等數學教學研究[J]. 科技創新導報，2012，30：165-166.