利用傅里葉變換研究一維δ勢阱原子鏈中的束縛態

康　舉,陳建宏

(蘭州城市學院 培黎工程技術學院，甘肅 蘭州　730070)

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利用傅里葉變換研究一維δ勢阱原子鏈中的束縛態

康舉,陳建宏

(蘭州城市學院 培黎工程技術學院，甘肅 蘭州730070)

利用傅里葉變換方法求解有限個δ勢阱一維原子鏈的薛定諤方程，得到了這些原子鏈的能級公式.本文所用方法也為微材料能級結構的研究提供了一個有價值的理論參考.

傅里葉變換；δ勢阱；一維原子鏈；能級

在理論上研究宏觀尺寸材料的能級結構時, 通常采用無限長或半無限長周期性原子鏈模型[1-5].然而，近年來研究比較熱門的微材料尺寸僅僅有幾十到幾百個nm.若繼續采用上述無限長或半無限長周期性原子鏈的模型，理論結果顯然無法與實驗結果一致[6].因此，本文將這些微材料結構簡化成具有有限個δ勢阱的原子鏈, 并且利用傅里葉變換方法求解定態薛定諤方程, 最后得到了該模型相應的能級公式.

1　一維單個δ勢阱中運動粒子束縛態的求解

一維δ勢阱的勢函數為[ 7-10]

U(x)=-γδ(x)

(1)

其中γ為表示勢阱強度.

一維定態薛定諤方程為

(2)

將式(1)代入式(2)可得

(3)

傅里葉變換式為[11]

(4)

(5)

利用式(4)對式(3)進行傅里葉變換可得

(6)

由式(6)得

(7)

利用式(5)對式(7)進行傅里葉反演變化可得

(8)

由于

(9)

由式(9)，式(8)可重寫為

(10)

令x=0可得

(11)

(12)

式(12)即為一維單個δ勢阱中運動粒子的能級公式.

由波函數的歸一化可得

(13)

由式(13)可得

(14)

由于勢函數U(x)=U(-x)，歸一化的波函數為

(15)

為偶函數，則束縛態的本征能量有確定的偶宇稱態.

2　一維兩個δ勢阱中運動粒子束縛態

一維兩個δ勢阱的勢函數為

U(x)=-γ[δ(x)+δ(x-a1)]

(16)

其中γ為表示勢阱強度.將式(16)代入式(2)可得

(17)

利用式(4)對式(17)進行傅里葉變換可得

(18)

由式(18)可得

(19)

利用式(5)對式(19)進行傅里葉反演變化可得

(20)

利用式(9)，式(20)可寫為

(21)

在式(21)中分別令x=0和x=a1，可得

(22)

(23)

聯立式(22)和式(23)可得

(24)

由波函數的歸一化可得

(25)

由式(24)和式(25)可得

(26)

所以歸一化后的波函數為

(27)

因此，可求得一維兩個δ勢阱中運動粒子的能級公式為

(28)

3　推廣到有限多個δ勢阱中運動粒子束縛態

一維n個δ勢阱的勢函數為

(29)

其中γ為表示勢阱強度.

將式(29)代入式(2)可得

(30)

利用式(4)對式(30)進行傅里葉變換可得

(31)

由式(31)可得

(32)

利用式(5)對式(32)進行傅里葉反演變換可得

(33)

利用式(9),式(33)可寫為

(34)

在式(34)中分別令x=a1,a2,…,an,則

(35)

由式(35)可得

(36)

由波函數的歸一化可得

(37)

由式(36)和式(37)可得

(38)

所以歸一化后的波函數為

(39)

4　結論

利用式(12)和式(15)可以確定一個周期δ勢阱原子的能級、歸一化的波函數和具有唯一確定的偶宇稱態，其結果與文獻[7-9,11]中的結果一致.利用式(36)和式(39)可以確定有限多個δ勢阱原子鏈的能級和歸一化的波函數.若將有限個δ勢阱原子鏈簡化為一個δ勢阱和兩個δ勢阱，將其分別代入式(36)和式(39)，所得結果與本文第一節和第二節中單獨討論的結果一致.以上結果表明，本文所采用的方法在理論上是合理的，可以為微材料能級結構的研究提供一個有價值的理論參考.

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[7]曾謹言.量子力學教程[M].北京:科學出版社,2007：45-47.

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Investigations on the bound states of delta potential wells in one-dimensional atomic chain using Fourier transform

KANG Ju， CHEN Jian-hong

(School of Bailie Engineering and Technology, Lanzhou City University, Lanzhou, Gansu 730070, China)

Fourier-transform method is used for solving Schr?dinger equation with delta potential wells in one-dimensional atomic chain. The formula describing the energy levels of the atomic chain is obtained. The method used in this paper is a valuable theoretical reference for studying the energy-level structure of micro-material.

Fourier transform; delta potential well; one-dimensional atomic chain; energy level

2015-05-16；

2015-11-20

國家自然科學基金(11164012)、蘭州市科技計劃項目(2012-2-105)、蘭州城市學院本科教育教學研究項目(2014-jy-01)資助

康舉(1992—)，男，甘肅隴南人，蘭州城市學院培黎工程技術學院物理系2012級本科生.

陳建宏，E-mail: chenyuwen1982@163.com.

大學生園地

O 413.1

A

1000- 0712(2016)04- 0049- 03