對數學問題圖示及其數學問題表征的分析與研究

徐超云

【摘要】數學問題圖示和數學問題表征是影響數學問題解決的兩個關鍵要素，但兩者之間也相互關聯。本文要研究的就是數學問題圖示及數學問題表征分別在解決數學問題時所起的作用，進而分析其相互關系，為數學問題的解決需求更好的策略。

【關鍵詞】數學 問題圖示 問題表征 分析與研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）02-0091-01

一、數學問題圖示及其對解決數學問題的作用

數學問題圖示即對數學問題解決過程進行分解的示意圖，它不僅包含所對應的某類問題的特征描述，同時也包含了解決這類問題的方法、步驟和程序。根據求解過程，數學問題圖示可大致分為問題情境圖示、問題解答圖示和問題反思圖示三種。所構建問題情境圖示的優劣反映了主體對數學問題情境環境的認知深度；而我們通過問題解答圖示則能夠看出主體在解題時所采取的策略、方法等，如歸納法、類比法、構造法等；問題反思圖示顧名思義，就是對數學問題在解決過程中或解決后的相關問題的認知與反思，如對策略、程序等認知過程的反思，以在下一次遇到同類問題時不再犯同類型的錯誤。

由此可見，數學問題圖示不僅在數學問題解決前影響著主體對問題的認知與理解，還解決在過程中影響著其解決問題的策略、方法等，以及其在今后對同類型問題的解決情況，所以我們可以說數學問題圖示對于數學問題的解決具有重要作用。要使解決數學問題的效率更高，我們在處于問題情境中時首先就要對信息進行篩選和加工，并加入自己的知識經驗賦予新信息一定的意義，把其納入已有的數學問題圖示中，相關圖示的才能給被激活，進而幫助我們迅速理解問題的本質。當我們對問題有了正確的理解，這時只需要啟動正確的數學問題圖示來獲取解決問題的有效方法就可以了。

二、數學問題表征及其對解決數學問題的作用

數學問題表征說明問題在頭腦里是如何呈現、如何表現出來的，是將外部信息轉化為內部信息的過程，可分為字面表征、真實情景表征和數學表征，三者是一種層層遞進的關系，當我們在建立字面表征之后才開始建立真實情景表征，然后才能利用數學規律構建數學表征，進而求得問題結果，三者之間連接的時間縫隙越小，其解決問題的速度也就越快。

在解決數學問題時，表征問題是解決問題的前提條件，主體須建立一個比當前數學結構更易理解的數學結構與映射，來幫助其對問題情境進行更為準確、有效的表征。有研究表明，主體對問題的適當表征與問題成功解決的概率是成正比的，但在解題過程中，主體對問題的表征并不是靜止不變的，隨著對問題情境理解的不斷深化，主體對問題的表征也會不斷修正和進步，使之更為準確、適宜。另外，數學問題的表征方式還具有多樣性，不同類型的問題表征方式展現了不同的心理加工過程；適當的表征把對問題解決最有價值的重要成分和結構關系放到一個突出的位置上，有時按照常規方式表征的問題難以求解，但若換了一個角度來表征同一個問題，問題就迎刃而解了，也就是我們常說的“創新”、“逆向思維”等，所以建立一個合適的問題表征，對于問題的順利解決至關重要。

三、數學問題圖示與數學問題表征的關系

數學問題表征和數學問題圖示是兩個相互區別但又相互聯系的概念，一方面，要形成正確的數學問題圖示首先就要對問題進行正確的表征，數學問題圖示的激活也需要以數學問題表征為前提，所以我們可以說數學問題表征是數學問題圖示形成和應用的基礎。而另一方面，要對問題進行正確表征，主體也需要從記憶中激活與之相關的問題圖示，篩選出有用的信息進行組織加工，沒有問題圖示的參與，問題的表征將是零亂而缺乏意義的。

對于一些熟悉的問題，我們在建立數學問題表征時，需要對腦中已有的數學問題圖示進行靈活遷移和深化整合，而對于一些陌生的問題，我們由于沒有直接可利用的圖示，所以就需要先嘗試進行數學問題表征，而這一表征的過程也恰恰就是我們建立對這類問題新圖示的過程?？梢?。數學問題圖示的質量影響著問題表征的質量，較高的圖示水平能夠促進問題的深層結構表征，如果一個問題的解決對問題表征的復雜性越大，那么該問題的圖示水平相應的也就越高；圖示的級別越高，就越能夠正確地表征問題，解決問題的效率自然就越高。

由上可見，提高數學問題圖示水平和數學問題表征能力對提高數學解題能力有著至關重要的意義，對于發展和完善學生的認知結構有著較高的價值和指導意義。為此，數學教師在教學中一定要有意識地引導學生構建各類數學問題圖示，并在圖示形成之后教學生如何運用和喚醒，注意將正確應用該圖示的情境與誤用情境進行對比分析，以識別關鍵差異、防止誤用。同時在教學中也要重視對學生數學問題表征能力的培養，要注重培養學生對數學問題語意的理解和轉化能力、優化學生的數學認知結構、不斷提高從字面表征、真實情景表征到數學表征的速度的準確性，全面提高學生解決數學問題的能力和效率。

四、結語

數學問題圖示與數學問題表征分別是影響數學問題解決的兩大關鍵要素，兩者相互獨立又相互聯系，數學問題圖示以數學問題表征為基礎，反過來數學問題圖示的數量與質量又影響著數學問題表征的質量，因而在數學教學中對學生這兩方面能力的培養缺一不可。唯有雙管齊下，才能從根本上優化學生對數學問題的認知和理解，真正提高他們的解題能力。

參考文獻：

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