永磁同步風力發電機隨機分岔現象的全局分析?

楊黎暉 葛揚 馬西奎

(西安交通大學電氣工程學院,電力設備電氣絕緣國家重點實驗室,西安 710049)

永磁同步風力發電機隨機分岔現象的全局分析?

楊黎暉?葛揚 馬西奎

(西安交通大學電氣工程學院,電力設備電氣絕緣國家重點實驗室,西安 710049)

永磁同步風力發電機在運行過程中不可避免地會受到風能的隨機干擾,本文建立了在輸入機械轉矩存在隨機干擾情況下永磁同步風力發電機的數學模型,采用胞映射方法分析了隨機干擾強度變化時系統全局結構的演化行為,并通過數值模擬對理論分析進行驗證.研究結果表明,隨著隨機干擾強度的增大,系統中會出現隨機內部激變和隨機邊界激變,即由于隨機吸引子與其吸引域內的隨機鞍發生碰撞而產生的隨機分岔現象和由于隨機吸引子與其吸引域邊界發生碰撞而產生的隨機分岔現象.研究結果揭示了隨機干擾對永磁同步風力發電機運行性能影響的機理,為永磁同步風力發電系統的運行和設計提供了理論依據.

永磁同步風力發電機,隨機分岔,非線性,胞映射

1 引 言

近年來風力發電快速發展,永磁同步發電機作為主流機型在風力發電領域中被廣泛應用,因此對永磁同步發電機穩定性和可靠性的研究受到了人們的廣泛關注.永磁同步電機是一個強非線性系統,其中必然會存在豐富的非線性動力學行為.近幾年來,國內外許多文獻應用非線性動力學理論和方法對永磁同步電機進行了深入研究［1?9］.文獻［1,2］發現在某些參數及工作條件下永磁同步電機中會出現Hopf分岔和混沌現象,從而導致電機振蕩失穩.文獻［3］發現倍周期分岔是永磁同步電機進入混沌的途徑之一.文獻［4］給出了預測永磁同步電機發生混沌的參數空間,為系統的參數和控制器設計提供了理論參考.文獻［5—9］發現用于風力發電的直驅永磁同步風力發電機中也會出現混沌現象,從而導致系統發生“無序”振蕩.上述研究工作揭示了永磁同步電機失穩的動力學機理,為其設計和優化提供了理論基礎.但是,這些研究工作都是在確定性系統理論的范圍內進行的,而實際上永磁同步電機應用于風力發電時,在運行過程中不可避免地會受到風能的隨機干擾.隨機干擾可能引起發電機強烈的非線性隨機振蕩、失穩甚至崩潰.隨機干擾對永磁同步風力發電機動力學行為的影響將直接關系到對其穩定工作范圍的正確評估,是一個不能忽略的實際問題.因此,研究永磁同步風力發電機在隨機干擾下的動力學行為,特別是全局動力學性態是使其安全可靠運行的重要保證.然而,目前尚未見到關于永磁同步風力發電機隨機動力學行為的研究報道.

為了對隨機動力系統全局的拓撲性質進行分析,就需要對系統進行相空間結構分析.為了克服直接數值模擬法對系統全局分析時效率低、存在有限步截斷問題的不足,Hsu［10］在20世紀80年代提出了胞映射方法,該方法一步轉移矩陣決定了相空間的最終性態,無時間截斷,是一種對隨機系統進行全局分析的有效工具［11］.近年來,在最早提出的簡單胞映射方法的基礎上發展形成了多種改進方法［12?15］,胞映射方法的理論已逐漸成熟.目前,已有文獻采用胞映射方法對非線性系統的隨機動力學行為進行全局分析,但大多是針對一些經典模型［16?18］,將其應用于分析實際系統的研究工作并不多見.

本文考慮風能的隨機性對永磁同步風力發電機全局動力學特性的影響,在建立永磁同步風力發電機非線性隨機模型的基礎上,將胞映射方法應用于該系統非線性隨機動力學行為的研究,分析隨機干擾作用下系統全局結構性態的演化,給出系統中隨機分岔的發生和發展過程,揭示隨機干擾對永磁同步風力發電機運行性能影響的動力學機理.

2 隨機輸入轉矩作用下永磁同步風力發電機的數學模型

直驅式永磁同步風力發電機組的基本結構如圖1所示,機組由風力機、永磁同步電機、電力電子變換器及其控制器組成.風力機在風能的作用下旋轉并帶動永磁同步發電機轉動,當達到切入風速后永磁同步發電機將機械能轉化為電能并通過電力電子變換器將符合電網頻率和電壓要求的電能饋入電網.為了簡化分析,忽略電力電子變換器及其控制器的動態過程,得到在轉子磁場定向坐標系(d-q坐標系)下永磁同步風力發電機的動態方程為

其中,isd,isq和Usd,Usq分別為定子電流和定子電壓的d軸和q軸分量;Rs為定子電阻;Lsd和Lsq分別為d軸和q軸電感,ψr為轉子磁鏈,ωr為發電機轉子轉速,Tm為機械轉矩,J為發電機的轉動慣量,β為黏性阻尼系數,np為轉子極對數.

假定發電機氣隙均勻,則Lsd=Lsq,通過仿射和時間變換［1］,可得(1)式的無量綱狀態方程為

風能的隨機波動會引起永磁同步風力發電機的機械轉矩呈隨機變化.考慮風能的隨機性,永磁同步風力發電機在隨機輸入轉矩作用下的數學模型為

式中,ξ(t)為標準高斯過程,k為隨機強度.因為在較短的時間內,轉矩是圍繞某一個均值波動的,所以這種波動在一般情況下可以近似為高斯過程.

3 隨機輸入轉矩作用下永磁同步風力發電機的隨機分岔

3.1 隨機分岔的定義

隨機干擾導致的系統定性性態的變化稱為隨機分岔.對于隨機分岔的研究尚處于起步階段,其理論體系尚不完善,缺少嚴格的一般性定理與準則.目前,描述隨機分岔的方式主要有三類:系統穩態概率密度形狀的突變(P-分岔)［19］,系統最大Lyapunov指數符號的變化(D-分岔)［19］和系統隨機吸引子(或隨機鞍)形態的突變［16］.其中,第三類定義可以表征在隨機干擾作用下隨機系統的全局拓撲性質變化,并且能夠描述具有多吸引子的系統在隨機激勵作用下動力學特性的變化,而前兩類隨機分岔的定義對此幾乎無法討論［11］.因此,針對永磁同步風力發電機的系統特征和進行全局分析的要求,本文基于系統隨機吸引子(或隨機鞍)形態(包括尺寸、周期)的突變這一定義進行隨機分岔分析.

3.2 胞映射方法

胞映射的基本思想是把動力系統的狀態空間離散化為大量狀態胞的集合,系統中狀態的轉移對應胞與胞的轉移,通過對胞之間轉移關系的研究來描述原系統的動力學行為［11］.在眾多版本的胞映射方法中,廣義胞映射圖論方法因具有顯著優點而被認為是一種用于研究隨機動力系統的有效工具.特別是該方法可以得到動力系統的不穩定解集(鞍),這是其他方法不易得到的.為了更全面地反映永磁同步風力發電機的隨機動力學全局特性,本文采用廣義胞映射圖論方法作為基本胞映射方法.由于本文研究的永磁同步風力發電機的模型為3階,因此為了降低需要計算的胞空間的維數、減小計算量,在進行胞映射數值計算之前,先采用Poincarè型胞映射方法［20］將系統轉化為Poincarè截面上的點映射系統,再求出系統在Poincarè截面上的胞映射關系.在分析多吸引子共存的情況時,由于系統的全局特性較復雜,為了既能準確反映系統的復雜空間結構又能提高計算效率,本文采用基于復合胞化空間的迭代方法［21］,根據狀態空間的不同采用不同尺度的胞化方案,以得到更精細的胞映射動力系統.本文胞映射算法實現的主要過程為:

1)選取合適的Poincarè截面Σ, 將(3)式轉化為Poincarè截面Σ上的點映射系統x(n+1)=g(x(n)),其中

2)在Poincarè截面Σ上選取研究范圍R,R為二維平面,在R內分別沿坐標軸x1和x2劃分為間距分別為h1和h2的N維胞狀態空間,記為Γ={z1,z2,···,zN},其中zi為胞狀態空間中的胞元素;

3)在每個胞內取M個采樣點,對每個點記其坐標為(x1j,x2j),以每個點為初值,經過映射g后的像點為根據每個胞內采樣點和其像點的關系,求出每個胞的像胞及一步轉移概率pij.pij構成轉移概率矩陣P,用pj(n)表示系統在第n步映射中位于胞j的概率,p(n)是以pj(n)為元素的N維矢量,則得到廣義胞映射關系p(n+1)=P·p(n);

4)將每個胞對應于有向圖的一個頂點,若兩個胞之間存在一步可達關系,則在相應的頂點之間建立一條有向邊,從而根據P建立有向圖D=(V,E),其中V表示頂點集合,E表示有向邊的集合;

5)對形成的有向圖D=(V,E)進行分析得到強聯通子圖,根據強聯通子圖的特征得到系統的吸引子、吸引域、鞍和吸引域邊界等信息;

6)若所分析的全局特性較復雜,則適當選取需要精細分割的胞狀態集合Γ1,對Γ1進行細分為n1×n2的復合胞化空間.根據上述方法生成有向圖D′=(V′,E′),并對其進行強聯通分析以得到相應的結果;

7)如有必要,返回6),否則停止.

在分析多吸引子共存的系統的全局特性時,判斷每個吸引子的穩定裕度是十分必要的.本文采用廣義胞映射中保護層厚度這個概念來定量刻畫吸引子被其吸引域保護的程度,即可反映吸引子的穩定裕度.通過比較保護層厚度這個值的大小來判斷在多個吸引子共存的系統中隨著隨機強度的增加,哪個吸引子將會首先消失.第i個永久族(吸引子)的保護層厚度的定義為［22］

它表示第i個永久族集合A(i)與多駐處胞集合(吸引域邊界)B(i,j)之間的距離.

3.3 隨機內部激變

圖2 (網刊彩色)參數選取sd=?75,sq=?15,m=?50時,隨著隨機強度k的變化永磁同步風力發電機全局性態的變化情況(紅色區域為吸引子A(1),灰色區域為A(1)的吸引域B(1),藍色區域為鞍S(1)) (a)k=0;(b)k=0.11;(c)k=0.12;(d)k=0.13;(e)k=0.14;(f)k=0.15Fig.2.(color online)The changes in global character of the permanent magnet synchronous generator with the variations of the stochastic intensity k,when the parameters are set assd=?75,sq=?15,m=?50(the attractor A(1)is marked as red area,its attraction basin B(1)is marked as gray area,the saddle S(1)is marked as blue area):(a)k=0;(b)k=0.11;(c)k=0.12;(d)k=0.13;(e)k=0.14;(f)k=0.15.

當k=0時,即輸入機械轉矩不存在隨機擾動時永磁同步風力發電機的全局性態如圖2(a)所示.此時,系統有1個吸引子A(1)和1個鞍S(1),且鞍存在于吸引子的吸引域B(1)內部.考慮隨機強度k的變化對永磁同步風力發電機全局特性產生的影響.隨著隨機強度k的增大,隨機吸引子和隨機鞍變大.當k=0.11時,系統的全局特性如圖2(b)所示,隨機吸引子逐漸伸向隨機鞍,其指端即將接觸到隨機鞍的右上半支.進一步增大k,當k=0.12時,隨機吸引子與隨機鞍發生碰撞,導致隨機鞍的右上半支消失,成為隨機吸引子的一部分,吸引子的形態發生突變,系統發生了隨機分岔,如圖2(c)所示.繼續增大隨機強度,隨機吸引子再次逐漸靠近隨機鞍的右下半支和左半支,如圖2(d)和圖2(e)所示.當隨機強度k由0.14增至0.15時,隨機吸引子與隨機鞍再次發生碰撞,隨機鞍突然消失并成為隨機吸引子的一部分,在關心的區域內僅有一個大的隨機吸引子,如圖2(f)所示.此時鞍變為吸引子,吸引子的幾何空間體積突然增大,形態發生了突變,系統再次發生隨機分岔.表1給出了隨著隨機強度k的變化,系統的吸引子和鞍的胞的變化情況.這種隨機分岔實際上是一種由于隨機吸引子與其吸引域內的隨機鞍發生碰撞而產生的隨機激變現象,即隨機內部激變［24］.

由上述永磁同步風力發電機全局性態的變化可以看出,當輸入轉矩存在較小強度的隨機擾動時,永磁同步風力發電機會圍繞一個穩定運行點做小幅的隨機振蕩,隨著隨機強度的增大,隨機吸引子的胞數增多,以致隨機振蕩的幅值也會增大.當隨機吸引子與隨機鞍首次碰撞而發生隨機分岔時,隨機吸引子胞數的突增導致永磁同步風力發電機會突然發生更為明顯的隨機振蕩.當隨機吸引子與隨機鞍再次碰撞,隨機鞍突然消失,隨機吸引子形態突變,系統再次發生隨機分岔時,永磁同步風力發電機將突然劇烈、無序地振蕩,甚至發電機的轉速r會出現負值,系統失去穩定性.可見,隨機擾動強度增大而引起的隨機內部激變是導致永磁同步風力發電機失穩的動力學本質.

表1 隨著隨機強度k的變化吸引子和鞍的胞數目的變化情況Table 1.The changes in the number of the attractor and saddle with the variations of the stochastic intensity k.

3.4 隨機邊界激變

當k=0時,即不存在隨機擾動時永磁同步風力發電機的全局性態如圖3(a)所示.此時,系統有2個共存的吸引子A(1)和A(2),2個吸引子對應的2個吸引域B(1)和B(2)的交界處存在多駐處胞,即吸引域邊界B(1,2).根據(4)式可計算出吸引子A(1)的保護層厚度為d1=18.35,吸引子A(2)的保護層厚度為d2=310.82.由于d1＜d2,因此可預判隨著隨機強度的增大,吸引子A(1)將會首先消失.

考慮隨機強度k的變化對永磁同步風力發電機全局特性產生的影響.隨著隨機強度k的增大,2個隨機吸引子和吸引域邊界都逐漸增大,如圖3(b)所示.當k=0.0033時,系統的全局特性如圖3(c)所示,隨機吸引子A(1)逐漸伸向吸引域邊界,其指端即將接觸到吸引域邊界.進一步增大k,當k=0.0034時,隨機吸引子A(1)與吸引域邊界B(1,2)發生碰撞,該吸引子連同其吸引域及吸引域邊界消失,而在消失的吸引子的位置上出現了一個隨機鞍S(1),此時在研究的區域內系統僅存在一個隨機吸引子A(2).由于吸引子的數量和性質都發生了突變,系統發生隨機分岔,如圖3(d)所示.這里驗證了前面得到的結論,即當隨機強度增大到一定程度時,隨機吸引子A(1)首先消失.表2給出了隨著隨機強度的變化,系統的吸引子和鞍的胞數的變化情況.上述隨機分岔是一種由于隨機吸引子與其吸引域邊界發生碰撞而產生的隨機激變現象,即隨機邊界激變［24］.

由上述永磁同步風力發電機全局性態的變化可以看出,當輸入轉矩中的隨機擾動強度較小時,永磁同步風力發電機會圍繞一個穩定運行點做小幅的隨機振蕩,隨著隨機強度的增大,隨機振蕩的幅值逐漸增大,且對該穩定工作點起到保護作用的吸引域邊界也在增大,導致隨機振蕩的范圍逐漸靠近吸引域邊界,系統的穩定裕度變小.當此隨機吸引子與其吸引域邊界碰撞而發生隨機分岔后,原來的穩定解集(吸引子A(1))消失,取而代之的是不穩定解集(鞍S(1)),在研究的區域內僅存在一個隨機吸引子A(2).由于僅存的隨機吸引子所對應的發電機轉速為負,所以對于工程實際中的永磁同步風力發電機來說,發電機將發生運行的突然崩潰.可見,隨機擾動強度增大而引起的隨機外部激變是導致永磁同步風力發電機運行崩潰的動力學本質.

圖3 (網刊彩色)參數選取sd=10,sq=?50,m=?55時,隨著隨機強度k的變化永磁同步風力發電機全局形態的變化情況(紅色區域為吸引子A(1)和A(2),白色區域為A(1)的吸引域B(1),灰色區域為A(2)的吸引域B(2),綠色區域為吸引域邊界B(1,2),藍色區域為鞍S(1)) (a)k=0;(b)k=0.0025;(c)k=0.0033;(d)k=0.0034Fig.3.(color online)The changes in global character of the permanent magnet synchronous generator for wind turbine with the variations of the stochastic intensity k,when the parameters aresd=10,sq=?50,m=?55(the attractor A(1)and A(2)is marked as red area,the attraction basin B(1)of A(1)is marked as white area,the attraction basin B(2)of A(2)is marked as gray area,the boundary of the attraction basin B(1,2)is marked as green area,the saddle S(1)is marked as blue area):(a)k=0;(b)k=0.0025;(c)k=0.0033;(d)k=0.0034.

表2 隨著隨機強度k的變化,吸引子、鞍和吸引域邊界的胞數目的變化情況Table 2.The changes in the number of the attractor,saddle and boundary of the attraction basin with the variations of the stochastic intensity k.

4 數值模擬

為了更直觀地描述第3節中所分析的永磁同步風力發電機的隨機分岔現象,并驗證采用胞映射方法得到的分析結果的正確性,本節采用Euler-Maruyama(EM)方法對隨機輸入轉矩作用下永磁同步風力發電機的隨機響應進行數值模擬.從統計學角度來看,用EM方法求解隨機微分方程組時,每一條維納過程路徑上的解過程可以看成是總體中的一個抽樣樣本.為了闡釋數值模擬的結果,本節中分別給出仿真結束時刻發電機轉速的分布直方圖［25］(仿真結束時刻轉速的所有隨機路徑在不同轉速區間的個數)以描述轉速的分布情況;轉速的樣本均值［25］曲線(所有隨機路徑上解過程的平均值)、第一四分位數和第三四分位數［25］曲線(每個時刻所有隨機路徑的數據排序后處于25%和75%位置上的值所構成的曲線)以描述隨機響應的波動情況;某一隨機路徑的時域波形圖.

4.1 隨機內部激變

永磁同步風力發電機參數γ和σ、定子電壓sd和sq以及機械轉矩m的取值與3.3節相同,仿真時間50 s,取2000個隨機路徑,初值取在吸引子A(1)附近,為當隨機強度k=0.1,系統未發生隨機分岔時,發電機轉速的隨機響應數值模擬結果如圖4所示.可以看出,發電機的轉速分布于13.9—14.7之間,風力發電機圍繞r=14.29的平衡點以較小幅度平緩地隨機波動,處于穩定運行狀態.

當隨機強度k=0.5,系統發生隨機內部激變后,發電機轉速的隨機響應情況如圖5所示.可以看出,與圖4相比發電機轉速的隨機振蕩幅值明顯增大,分布于?20—30之間,在劇烈振蕩過程中轉速出現負值,實際系統無法正常運行,失去穩定性.與圖2對比可以看出,發生隨機分岔后轉速的分布與圖2(f)中吸引子所覆蓋的轉速范圍相同.圖5所示的失穩現象正是由于隨機吸引子與其吸引域內的隨機鞍發生碰撞導致隨機鞍消失、隨機吸引子的幾何空間體積突然增大而引起的.

圖4 參數選取sd=?75,sq=?15,m=?50,系統穩定時永磁同步風力發電機轉速的隨機響應(a)t=50 s時在2000條路徑上的分布直方圖;(b)在2000條路徑上解過程的樣本均值(Mean)曲線、第一四分位數(Q1)和第三四分位數(Q3)曲線;(c)某一隨機路徑的時域波形Fig.4.The stochastic responses of the rotor speed of the permanent magnet synchronous generator for wind turbine when the system is stable,with the parameterssd=?75,sq=?15,m=?50:(a)The histogram at t=50 s over 2000 trajectories;(b)the mean and the fi rst-third quartile quartiles over 2000 trajectories;(c)the waveform of one sample trajectory.

4.2 隨機邊界激變

發電機參數γ和σ、定子電壓sd和sq以及機械轉矩m的取值與3.4節相同,仿真時間為50 s,取10000個隨機路徑,初值設在吸引子A(1)的吸引域B(1)內,為當隨機強度k=0.0025,系統未發生隨機分岔時,發電機轉速的隨機響應情況如圖6所示.可以看出,由于初值設在吸引子A(1)的吸引域內,因此發電機圍繞r=8.07的平衡點以較小幅度隨機振蕩,轉速的振蕩幅值在7.85—8.3之間,永磁同步風力發電機處于穩定運行狀態.

圖5 參數選取sd=?75,sq=?15,m=?50,發生隨機分岔后永磁同步風力發電機轉速的隨機響應 (a)t=50 s時在2000條路徑上的分布直方圖;(b)在2000條路徑上解過程的樣本均值(Mean)曲線、第一四分位數(Q1)和第三四分位數(Q3)曲線;(c)某一隨機路徑的時域波形Fig.5.The stochastic responses of the rotor speed of the permanent magnet synchronous generator for wind turbine after the stochastic bifurcation happens,with the parameterssd=?75,sq=?15,m=?50:(a)The histogram at t=50 s over 2000 trajectories;(b)the mean and the fi rst-third quartile quartiles over 2000 trajectories;(c)the waveform of one sample trajectory.

圖6 參數選取sd=10,sq=?50,m=?55,系統穩定時永磁同步風力發電機轉速的隨機響應 (a)t=50 s時在10000條路徑上的分布直方圖;(b)在10000條路徑上解過程的樣本均值(Mean)曲線、第一四分位數(Q1)和第三四分位數(Q3)曲線;(c)某一隨機路徑的時域波形Fig.6.The stochastic responses of the rotor speed of the permanent magnet synchronous generator for wind turbine when the system is stable,with the parameterssd=10,sq=?50,m=?55:(a)The histogram at t=50 s over 10000 trajectories;(b)the mean and the fi rst-third quartile quartiles over 10000 trajectories;(c)the waveform of one sample trajectory.

當隨機強度k=0.015,系統發生隨機邊界激變后,發電機轉速的隨機響應情況如圖7所示.可見,當t=50 s時發電機轉速r在10000條路徑上的分布直方圖出現了雙峰,轉速的樣本均值曲線不斷下降.具體到某一隨機路徑,發電機在運行一段時間后,轉速突然降為負值,實際系統失穩崩潰.與圖3對比可以看出,轉速分布直方圖中兩個雙峰的中心r=8.07和r=?1.44,分別與圖3(a)中吸引子A(1)和A(2)所對應的轉速符合.當隨機強度增大而導致隨機吸引子A(1)與其吸引域邊界碰撞而發生隨機分岔后,原來的穩定解集(吸引子A(1))消失并變為不穩定解集(鞍S(1)),在研究的區域內僅存在一個隨機吸引子A(2).由于數值模擬的初值設在原吸引子A(1)的吸引域內,即發生隨機分岔后的鞍S(1)區域內,因此在運行一段時間后,發電機的運行狀態被吸引子A(2)所吸引,以A(2)為平衡點做隨機振蕩.由于吸引子A(2)所對應的轉速為負,因此永磁同步風力發電機的運行崩潰.

圖7 參數選取sd=10,sq=?50,m=?55,發生隨機分岔后永磁同步風力發電機轉速的隨機響應 (a)t=50 s時在10000條路徑上的分布直方圖;(b)在10000條路徑上解過程的樣本均值(Mean)曲線、第一四分位數(Q1)和第三四分位數(Q3)曲線;(c)某一隨機樣本的時域波形Fig.7.The stochastic responses of the rotor speed of the permanent magnet synchronous generator for wind turbine after the stochastic bifurcation happens,with the parameterssd=?75,sq=?15,m=?50:(a)The histogram at t=50 s over 10000 trajectories;(b)the mean and the fi rst-third quartile quartiles over 10000 trajectories;(c)the waveform of one sample trajectory.

4.3 結果討論

需要說明的是,一方面,與確定性系統的分岔行為不同,由于受到隨機因素的作用,隨機系統即使滿足一定的分岔條件也并非一定會發生隨機分岔,而是具有發生分岔的可能.因此,第3節中采用胞映射法分析得到的永磁同步風力發電機發生分岔時隨機強度的臨界值僅能表示當隨機強度大于臨界值時系統發生隨機分岔的概率較大.其意義在于可指導系統的運行和設計從而降低發生隨機分岔的概率,但無法通過此臨界值對隨機系統的分岔做出確定性的預測.

另一方面,由于對隨機響應的直接數值模擬需要計算大量樣本軌線的長期行為才能得到更精確的結果,而受到計算機計算能力的限制,總是對有限的樣本進行有限步截斷,因此直接數值模擬得到的結果必然存在誤差.

綜上,本節對隨機響應的數值模擬驗證了永磁同步風力發電機中隨機內部激變和隨機邊界激變的存在性.然而,由于隨機系統的復雜性和直接數值模擬法的不足,無法對發生隨機分岔時的隨機強度臨界值進行準確的驗證.

5 結 論

本文針對風能的隨機性,建立了在輸入機械轉矩存在隨機干擾情況下永磁同步風力發電機的非線性隨機模型,采用胞映射方法分析了隨機干擾強度變化時系統全局結構的變化過程及出現的隨機分岔現象,并通過對系統的隨機響應進行數值模擬驗證了理論分析的正確性.研究結果表明,隨著隨機干擾強度的增大,系統中出現了兩種隨機分岔現象:

1)當隨機強度增至臨界值時,隨機吸引子與其吸引域內的隨機鞍發生碰撞,導致隨機鞍突然消失、隨機吸引子的幾何空間體積突增、形態發生突變,在此變化過程中,永磁同步風力發電機發生強烈的隨機振蕩并最終失去穩定性;

2)當隨機強度增至臨界值時,一個隨機吸引子與其吸引域邊界發生碰撞,該吸引子連同其吸引域及吸引域邊界消失,在原吸引子的位置上出現了一個隨機鞍,系統吸引子的數量發生了突變,在此變化過程中,永磁同步風力發電機的隨機振蕩幅值不斷增大,最終由于穩定解集的消失,系統失穩崩潰.

總之,小強度的隨機干擾就會導致系統穩定性結構的完全破壞,使原本處于穩定狀態的系統發生強烈的無序振蕩和運行崩潰.因此,本文研究隨機干擾對系統動力學行為演化的影響對于系統的安全可靠運行具有重要的指導意義.

［1］Zhang B,Li Z,Mao Z Y,Pang M X 2001Proc.CSEE21 13(in Chinese)［張波,李忠,毛宗源,龐敏熙2001中國電機工程學報21 13］

［2］Xue W,Guo Y L,Chen Z Q 2009Acta Phys.Sin.58 8146(in Chinese)［薛薇,郭彥嶺,陳增強 2009物理學報58 8146］

［3］Wei D Q,Luo X S,Fang J Q,Wang B H 2006Acta Phys.Sin.55 54(in Chinese)［韋篤取,羅曉曙,方錦清,汪秉宏2006物理學報55 54］

［4］Rasoolzadeh A,Tavazoei M S 2012Phys.Lett.A377 73

［5］Yang G L,Li H G 2009Acta Phys.Sin.58 7552(in Chinese)［楊國良,李惠光 2009物理學報 58 7552］

［6］Zheng G,Zou J X,Xu H B,Qin G 2011Acta Phys.Sin.60 060506(in Chinese)［鄭剛,鄒見效,徐紅兵,秦鋼2011物理學報60 060506］

［7］Wang L,Li Y H,Lu G L,Zhu X H 2011Electric Power Automation Equipment31 45(in Chinese)［王磊, 李穎暉,逯國亮,朱喜華2011電力自動化設備31 45］

［8］Ren L N,Liu F C,Jiao X H,Li J Y 2012Acta Phys.Sin.61 060506(in Chinese)［任麗娜,劉福才,焦曉紅,李俊義2012物理學報61 060506］

［9］Messadi M,Mellit A,Kemih K,Ghanes M 2015Chin.Phys.B24 010502

［10］Hsu C S 1980J.Appl.Mech.47 931

［11］Xu W 2013Numerical Analysis Methods for Stochastic Dynamical System(Beijing:Science Press)p43(in Chinese)［徐偉2013非線性隨機動力學的若干數值方法及應用(北京:科學出版社)第43頁］

［12］Hsu C S 1981J.Appl.Mech.48 634

［13］Tongue B H,Gu K 1988J.Sound Vib.125 169

［14］Jiang J,Xu J X 1994Phys.Lett.A188 137

［15］Hsu C S 1995Int.J.Bifurcat.Chaos5 1085

［16］Xu W,He Q,Rong H W,Fang T 2003Acta Phys.Sin.52 1365(in Chinese)［徐偉,賀群,戎海武,方同 2003物理學報52 1365］

［17］Xu W,Yue X L 2010Sci.China:Technol.Sci.53 664

［18］Li Z G,Jiang J,Hong L 2015Int.J.Bifurcat.Chaos25 1550109

［19］Arnold L 1998Random Dynamical Systems(Berlin,Heidelberg,New York:Springer)pp34–35

［20］Levitas J,Weller T,Singer J 1994J.Sound Vib.176 641

［21］He Q,Xu W,Li S,Xiao Y Z 2008Acta Phys.Sin.57 4021(in Chinese)［賀群,徐偉,李爽,肖玉柱 2008物理學報57 4021］

［22］Gong P L,Xu J X 1998Appl.Math.Mech.19 1087(in Chinese)［龔璞林,徐健學1998應用數學和力學19 1087］

［23］Zhu W Q,Yu J S 1987J.Sound Vib.117 421

［24］Hong L,Xu J X 2002Acta Phys.Sin.51 2694(in Chinese)［洪靈,徐健學 2002物理學報 51 2694］

［25］Guan Y H 2009Statistics(Beijing:Higher Education Press)pp66–83(in Chinese)［管于華 2009統計學 (北京:高等教育出版社)第66—83頁］

Global analysis of stochastic bifurcation in permanent magnet synchronous generator for wind turbine system?

Yang Li-Hui?Ge Yang Ma Xi-Kui
(State Key Laboratory of Electrical Insulation and Power Equipment,School of Electrical Engineering,Xian Jiaotong University,Xi’an 710049,China)

The permanent magnet synchronous generator(PMSG)for wind turbine system operating under inevitable stochastic disturbance from wind power is a nonlinear stochastic dynamical system.With the random interaction and nonlinearity,the intense nonlinear stochastic oscillation is likely to happen in such a system,causing the system to be unstable or even collapse.However,the PMSG is usually considered as a deterministic system when analyzing its nonlinear dynamic behaviors in the past researches.Such a simpli fi cation can lead to wrong predictions for the system stability and reliability.This paper aims to discuss the e ff ect of the stochastic disturbance on the nonlinear dynamic behavior of the PMSG.Based on the derived PMSG model considering the stochastic disturbance from the input mechanical torque,the evolution of the system global structure with the stochastic intensity is investigated using the generalized cell mapping digraph method.Meanwhile,the occurrence process and development process of the stochastic bifurcation are illustrated.Based on this global analysis,the intrinsic mechanism for the e ff ect of the stochastic disturbance on the operating performances of the PMSG is revealed.Finally,the numerical simulations based on the Euler-Maruyama algorithm are carried out to validate the results of the theoretical analysis.The results present that as the intensity of the stochastic disturbance increases,two kinds of stochastic bifurcations can be observed in the PMSG system according to the de fi nition of a sudden change in characteristic of the stochastic attractor.One is the stochastic interior crisis that occurs when a stochastic attractor collides with a stochastic saddle in its attraction basin interior,leading to the abrupt increase of the attractor and the disappearance of the saddle.This kind of bifurcation results in the intense stochastic oscillation and instability of the PMSG system.Another stochastic bifurcation is the stochastic boundary crisis which occurs when a stochastic attractor collides with the boundary of its attraction basin and results in the disappearance of the attractor.This sudden change of the number of stochastic attractors induces the stable solution set to vanish and thus the PMSG system to collapse.In a word,even the stochastic disturbance with small intensity may lead to the complete destruction of the stable structure of the PMSG,inducing the system to su ff er a strong disordered oscillation or the operation to collapse.The results of this paper can provide signi fi cant theoretic reference for both practically operating and designing the PMSG for wind turbine systems.

permanent magnet synchronous generator,stochastic bifurcation,nonlinear,cell mapping

5 March 2017;revised manuscript

2 July 2017)

(2017年3月5日收到;2017年7月2日收到修改稿)

10.7498/aps.66.190501

?國家自然科學基金(批準號:51207122)和陜西省自然科學基礎研究計劃(批準號:2016JQ5034)資助的課題.

?通信作者.E-mail:lihui.yang@mail.xjtu.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

PACS:05.45.–a,88.50.G–

10.7498/aps.66.190501

*Project supported by National Natural Science Foundation of China(Grant No.51207122)and Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China(Grant No.2016JQ5034).

?Corresponding author.E-mail:lihui.yang@mail.xjtu.edu.cn