自驅動顆粒體系中的熵力?

華昀峰 章林溪

(浙江大學物理系,杭州 310027)

自驅動顆粒體系中的熵力?

華昀峰 章林溪?

(浙江大學物理系,杭州 310027)

在許多納米復合材料體系中熵力(entropy force)是普遍存在的,但由于熵力的存在會導致納米顆粒的凝聚從而降低其許多性能,因此在大多數情況下熵力的存在對體系并無益處,所以研究如何減小熵力對體系的影響是非常重要的.不帶角速度的自驅動粒子在熵力作用下會集聚在納米顆粒(或者納米棒)周圍,這會對納米顆粒(或者納米棒)產生很大的相互作用力.對于納米顆粒,在不帶角速度的自驅動粒子體系中存在著非常大的排斥力.而對于納米棒,由于納米棒內外的不對稱性,使得兩個納米棒之間會產生吸引-排斥轉變,同時這個吸引-排斥轉變與納米棒之間的距離有關.當自驅動粒子加上一個自轉角速度ω之后,熵力的作用就大大減弱,納米顆粒不再集聚.研究結果有助于對非平衡態下納米顆粒(或納米棒)之間熵相互作用力的認識.

熵力,自驅動顆粒體系,非平衡態,過阻尼郎之萬方程

1 引 言

熵力(entropy force)是指一個體系中的一種宏觀作用力,其性質主要不是由體系中某種特定的微觀作用力決定,而是表現為整個體系對于熵增加的統計趨勢［1,2］.在許多納米復合材料體系中普遍存在熵力,但由于熵力的存在會導致納米顆粒的凝聚,從而降低其許多性能,因此在大多數情況下熵力的存在對體系并無益處,因此深入研究如何減小體系中的熵力具有重要的科學意義［3］.

在過去幾十年里,自驅動粒子體系引起了人們越來越大的興趣.自驅動粒子體系的研究對于了解自然界中像鳥群、細菌、組織以及細胞骨架等有趣的自組織現象［4］、對醫學以及生物體系中的自驅動行為的認識很有幫助［5?8］.自驅動粒子的運動與布朗運動是不同的:顆粒的布朗運動是由溶劑的隨機熱波動引起的,而自驅動粒子是帶有隨機自推進的運動(但是長時間來看自驅動顆粒的運動仍為布朗運動,其運動的均方位移與時間成正比［9］),這使得自驅動顆粒產生了很多引人注目的新現象.比如細菌的輸運現象［10?16］、微尺度的湍流現象［17］以及自驅動顆粒的自組裝現象等［18?21］.

Ran等［19］研究了兩塊固定不動的板在自驅動顆粒體系中的相互作用情況,結果顯示:自驅動顆粒會集聚在兩板的周圍,這使得兩板之間產生了不同的相互作用力,同時當兩板之間的距離改變時,相互作用力會有排斥-吸引交替變化的現象,這些都是熵力作用導致的.對于另外一類自驅動粒子,不僅自身具有自驅動力,而且還會自轉動,具有自轉動角速度,這一類稱為手性(chiral)自驅動粒子.近期關于手性自驅動粒子的研究很多［22?26］,實驗工作也很多［26］:Nourhani等［22］研究了自驅動粒子在一個平穩的過阻尼周期勢中各種各樣的漂移行為;Friedrich和Julicher［23］的研究表明手性自驅動粒子存在噪聲的三維空間中也能沿螺旋路徑運動;Volpe等［24］研究了如何在復雜的環境中模擬活躍的自驅動粒子的運動;Kummel等［25］實驗研究了手性自驅動粒子在基底表面以及通道邊界上的旋轉運動,他們發現粒子的運動整體上來看和布朗運動是完全符合的.本文主要研究自驅動粒子自帶自轉角速度體系中熵相互作用情況,目的在于研究自驅動顆粒的自轉角速度對熵力的影響.

2 模 型

本文研究自驅動粒子和兩個固定不動的納米顆粒共混以及和兩塊固定不動的納米棒共混的二維體系,如圖1所示.

圖1 (網刊彩色)納米顆粒(a)/納米棒(b)與自驅動粒子組成的體系Fig.1. (color online) Complex systems of nanoparticles/self-propelled active particles(a)and nanorods/self-propelled active particles(b).

在這個體系中,自驅動粒子的直徑為σ,而納米顆粒的直徑為σC=10σ.納米棒的直徑為σ,長度L=10σ.納米顆粒之間的距離以及棒之間的距離都用d表示.每個自驅動粒子的運動都遵循過阻尼郎之萬方程［11,27］,

ri≡(xi,yi)表示第i個粒子質心的位置,vi和分別表示顆粒自驅動速度的大小和方向,ω表示粒子自驅動角速度,和ξi(t)表示高斯白噪聲函數,滿足而D0和Dθ分別表示平動和轉動的擴散系數.另外,μ為阻尼系數,大小為μ=1/γ(γ為摩擦系數),是顆粒受到其他所有顆粒的合力,顆粒之間是通過Lennard-Jones(LJ)勢相互作用的［11］:

這里,r表示兩個顆粒之間的距離,自驅動粒子之間?=0,而自驅動粒子與納米顆粒之間?=(σ+σC)/2?σ=4.5σ,LJ勢作強度系數ε=5kBT,另外,我們取rc=21/6σ+?,所以顆粒之間都是純排斥的.

模擬過程中,納米顆粒以及納米棒是保持不動的,在x和y方向上都滿足周期性邊界條件,所有自驅動顆粒的質量相等,記為m.取kBT=1,σ=1,m=1,和τ0=(mσ2/kBT)1/2=1,分別為能量單位、單位長度σ、單位質量m和單位時間,均約化為1.體系中自驅動顆粒的密度為?,自驅動粒子的自驅動速度為vi=v0=0.4(如不做其他說明),時間步長為τ=10?4τ0,且對每個體系運算1.0×108步長以確保獲得穩定體系.

3 結果與討論

圖2給出了d=10,?=0.1,不同ω(以v0為單位)的情況下,體系達到穩定時納米顆粒周圍自驅動顆粒的分布情況,這里?=0.1對應的自驅動粒子數為234.圖3給出了納米顆粒周圍自驅動粒子的徑向分布函數g(r).可以清楚地看到,當ω=0時,自驅動粒子會集聚在兩個納米顆粒周圍,與之相對應的,當r≈5.5時,g(r)的達到了一個峰值55,見圖3,另外由于自驅動粒子的直徑為1,因此在r≈6.5,7.5也出現了峰值.在納米顆粒之間的區域(如圖2所示),集聚了大量的自驅動粒子,這會產生很大的熵力,使得兩個粒子之間產生很大的排斥力［19,21］.而當ω=10v0時,自驅動粒子幾乎是均勻分布的,相應的g(r)沒有出現峰值,此時納米顆粒之間不存在排斥力.由圖3可知,自驅動粒子的角速度越大,粒子分布的越均勻.所以,給自驅動粒子增加一個角速度可以減小熵力對體系的影響.

圖2 (網刊彩色)納米顆粒周圍的自驅動顆粒分布情況(d=10,?=0.1)Fig.2. (color online)Snapshots of active particles around nanoparticles with d=10 and ?=0.1.

圖3 (網刊彩色)納米顆粒周圍自驅動顆粒的徑向分布函數g(r)(d=10,?=0.1)Fig.3.(color online)Radial distribution functions g(r)of active particles around nanoparticles with d=10 and ?=0.1.

為了證明這一結論,計算了在不同角速度ω時,x方向上大粒子之間的受力情況,結果如圖4所示,F表示納米顆粒受到的熵力,通過計算周圍粒子對納米顆?？偟淖饔昧Χ玫剑?9,26］.圖4中的三條線分別代表的是d=10,12,和15三種情形.當角速度ω很小時,大粒子之間存在著吸引-排斥相互作用力的轉變.當ω=0時,d=12時的排斥力要比d=10的大,這是因為d=12時,兩個大粒子之間聚集了更多的顆粒產生了更大的熵力.而當d=15時,兩個納米顆粒之間存在較小的吸引力.同時隨著角速度ω的不斷增大,納米顆粒之間的相互作用力會不斷減小直至為零.

圖4 不同角速度ω時兩個納米顆粒之間的相互作用力Fig.4.Forces between two nanoparticles with di ff erent angular velocities ω.

由圖4可知,體系中的兩個納米顆粒之間的作用力不僅與角速度的大小有關系,還與納米顆粒之間的距離有關.圖5給出了在不同的v0情況下(角速度ω=0),納米顆粒之間的作用力與納米顆粒之間距離d的關系.根據圖3可知,在納米粒子周圍的自驅動粒子的徑向分布函數的第一個峰值出現在5.5的位置上,且第一個峰值遠比第二、第三個峰值大,所以當d=11時,兩個納米粒子之間會集聚很多的粒子,從而產生很大的熵力,此時的排斥力最大.隨著距離的增大,納米顆粒之間的作用力會越來越小.因此增加自驅動顆粒的自驅動速度v0可以增大兩個納米顆粒之間的排斥相互作用力.

圖5 不同自驅動速度下不同距離d時兩個納米顆粒之間的作用力Fig.5.Forces between two nanoparticles with di ff erent self-propelled velocities v0.

圖6分別給出了?=0.4,(a)角速度ω=0不變,改變兩個納米棒之間的距離時自驅動顆粒的分布情況和(b)兩棒間距d=2.5不變,改變ω時自驅動粒子的分布圖.?=0.4體系對應的自驅動粒子數為392.由圖6(a)可以看出,ω=0的自驅動粒子會在熵力的作用下,集聚在納米棒的周圍,而隨著兩棒之間的距離d的變化,自驅動粒子的集聚情況會有所不同,這就對棒產生不同的作用力［19］.當ω?=0時,自驅動粒子就會做不規則的、半徑近似為r0≈ω/v0的圓周運動.當角速度ω不斷增大時,自驅動粒子的運動半徑會越來越小,從而不會產生集聚的現象(如圖6(b)所示).

圖7和圖8分別給出了與圖6(a)和圖6(b)對應的兩個納米棒受力情況.由圖7可以看出,兩棒間的作用力F會隨著兩棒間距離的變化而交替變化,該結果與Ran等［19］的結果類似.而由圖8可知,隨著ω的不斷增大,兩棒間的作用力不斷減小.該結果與納米顆粒情況類似,這充分說明了角速度的加入可以減小熵力對體系的影響.

圖6 (網刊彩色)(a)角速度ω=0不變,兩棒距離d不同時自驅動顆粒的分布圖;(b)兩棒間距d=2.5不變,改變角速度ω時自驅動顆粒的分布圖Fig.6.(color online)(a)Snapshots of active particles with di ff erent distances d of two nanorods at ω=0,and(b)snapshots of active particles with di ff erent angular velocities ω at d=2.5.

圖7 角速度ω=0時兩棒之間的作用力與兩棒距離d的關系Fig.7.Forces between two parallel nanorods as a function of distance d with ω=0.

圖8 兩棒之間的作用力與角速度ω的關系Fig.8.Forces between two nanorods as a function of ω with d=2.5 and 3.0.

4 總 結

不帶角速度的自驅動顆粒在熵力作用下會集聚在納米顆粒(或者納米棒)周圍,這會對其產生很大的相互作用力,而由于兩納米顆粒(或者納米棒)內外的不對稱性,使得納米顆粒(或者納米棒)之間產生的吸引-排斥相互作用的轉變,這個轉變與納米顆粒(或者納米棒)之間的距離有關.當自驅動顆粒加上一個角速度ω之后,熵力的作用就會較弱,顆粒就不再集聚,這種相互作用隨著自驅動粒子角速度ω增加而減弱.這些研究能夠幫助我們加深對非平衡狀態下納米顆粒的分散-集聚轉變的認識.

［1］Asakura S,Oosawa F 1958J.Polym.Sci.33 183

［2］Joanny J F,Leibler L,de Gennes P G 1979J.Polym.Sci.Part B:Polym.Phys.17 1073

［3］Jiang Y W,Zhang D,He L L,Zhang L X 2016J.Phys.Chem.B120 572

［4］David G R,Guevorkian K,Douezan S 2012Science338 910

［5］Fily Y S,Henkes S,Marchetti M C 2014Soft Matter10 2132

［6］Zhao B,Qi N,Zhang D S 2017Mat.Rev.31 1A

［7］Ford R M,Harvet R W 2007Adv.Mater.Res.30 1608

［8］Yang W,Misko V R,Nelissen K,Kong M,Peeters M 2012Soft Matter8 5175

［9］Hagen B T,Tee ff elen S V,L?wen H 2011J.Phys.Condens.Matter23 194119

［10］Leonardo R D,Angelani L,DellArciprete D,Ruocco G,Iebba V,Schippa S,Conte M,Mecarini F,Angelis F D,Fabrizio E D 2010Proc.Natl.Acad.Sci.USA107 9541

［11］Ai B Q 2016Sci.Rep.6 18740

［12］Kaiser A,Peshkov A,Sokolov A 2014Phys.Rev.Lett.112 158101

［13］Pototsky A,Hahn A M,Stark H 2013Phys.Rev.E87 042124

［14］Potiguar F Q,Farias G A,Ferreira W P 2014Phys.Rev.E90 012307

［15］Koumakis N,Maggi C,Leonardo R D 2014Soft Matter10 5695

［16］Ai B Q,Zhu W J,He Y F,Zhong W R 2016J.Stat.Mech.17 023501

［17］Wensink H,Dunkel J,Heidenreich S,Drescher K,Goldstein R,L?wen H,Yeomans J 2012Proc.Natl.Acad.Sci.USA109 14308

［18］Cai J H,Wei X X,Fan A 2016Polym.Bull.4 17

［19］Ran N,Martien A C S,Peter G B 2015Phys.Rev.Lett.114 018302

［20］Hooper J B,Schweizer K S 2006Macromolecules39 5133

［21］Harder J,Mallory S A,Tung C,Valerian C,Cacciuto A 2014J.Chem.Phys.141 194901

［22］Nourhani A,Crespi V H,Lammert P E 2015Phys.Rev.Lett.115 118101

［23］Friedrich B M,Julicher F 2009Phys.Rev.Lett.103 068102

［24］Volpe G,Gigan S,Volpe G 2014Am.J.Phys.82 659

［25］Kummel F,ten Hagen B,Wittkowski R,Buttinoni I,Volpe G,Lowen H,Bechinger C 2013Phys.Rev.Lett.110 198302

［26］Yamchi M Z,Naji A 2017 arXiv:1704.07262

［27］Hasnain J,Menzl G,Jungblut S,Dellago C 2017Soft Matter13 930

Entropy forces of nanoparticles in self-propelled systems?

Hua Yun-Feng Zhang Lin-Xi?
(Department of Physics,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China)

Entropy force is fairly ubiquitous in nature,but it is not practically bene fi cial for most cases,thus how to reduce the entropic force of the system is very important.In this paper,by employing the overdamped Langevin dynamics simulations,we explore the entropy force between two large nanoparticles(or two nanorods)immersed in a self-propelled system.Self-propelled particles can be regarded as active matter,and the active matter is an interesting subject which has been studied theoretically and experimentally over the past few years.A great many biological and physical systems can be referred to as active matter systems,including molecular motors,swimming bacteria,self-propelled colloids,motile cells,and macroscopic animals.Active matter obtains energy from an external system under non-equilibrium conditions,and active particles with suitably designed constructions are able to convert energy input into the desired control of function,which has wide potential applications in a diversity of fi elds,such as drug delivery in medicine.Self-propelled particles without angular velocity would gather around the nanoparticles(or nanorods)under the e ff ect of entropy force,which can induce large entropy force between nanoparticles.The interaction force between two nanoparticles is large enough,owing to the asymmetry of the system,and entropy force also depends on the distance between two nanoparticles(or two nanorods).For the case of self-propelled particles with an angular velocity,the entropic e ff ect is weak,and the larger the angular velocity,the weaker the entropic force is.Moreover,nanoparticles will no longer assemble together because of their weak entropic forces.Meanwhile,the entropy force between two nanorods can be tuned from a long repulsion into a long range attraction by changing the distance between two nanorods.The present investigation can help us understand the entropy forces in non-equilibrium systems.

entropy force,self-propelled particle system,non-equilibrium system,overdamped Langevin equations

14 February 2017;revised manuscript

13 June 2017)

(2017年2月14日收到;2017年6月13日收到修改稿)

10.7498/aps.66.190701

?國家自然科學基金(批準號:21374102,21674096)資助的課題.

?通信作者.E-mail:lxzhang@zju.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

PACS:07.05.Tp,77.84.Jd,78.40.Pg,78.67.Qa

10.7498/aps.66.190701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.21374102,21674096).

?Corresponding author.E-mail:lxzhang@zju.edu.cn