隨機波浪下泰勒離散系數的時域解

郭曉夢，黃國興，張寧川

（1.南京水利科學研究院水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇南京210098；2.大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連116024）

隨機波浪下泰勒離散系數的時域解

郭曉夢1，2，黃國興1，2，張寧川2

（1.南京水利科學研究院水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇南京210098；2.大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連116024）

利用Wolk提出的粒子追蹤方程，通過等分頻率法劃分不規則波譜，利用MATLAB做粒子運動模擬計算，得到無因次化泰勒離散系數K/D隨時間t變化的曲線；通過與Huang等得到的P－M譜的泰勒離散系數K/D計算結果比較證明了本計算方法的可靠性。采用該方法研究了不規則波條件下，波序列（同一譜型不同波面序列）和譜型（譜峰周期、有效波高、譜峰升高因子）對波浪離散系數的影響；計算結果表明：同一譜型不同波序列對泰勒縱向離散系數穩定值和穩定時間無影響；不規則波譜峰周期越大，縱向離散系數K/D越小，穩定時間越短；有效波高越大，縱向離散系數K/D越大，穩定時間越長；譜峰升高因子越大，泰勒離散系數K/D越大，穩定時間越長；與規則波相比，不規則波的泰勒離散系數K/D的值略小10%～30%。

泰勒離散；隨機波浪；粒子追蹤

目前海洋污染日益嚴重。準確掌握海洋中污染物的離散規律是海洋污染預防和治理的重要理論前提之一。海洋中污染物運動的主要形式有輸移（advection）、擴散（diffusion）和離散（dispersion）。海洋動力環境條件下離散的最主要動力源是潮流和波浪。

關于水流為主要動力條件下污染物離散問題，起點可上溯到Taylor（1953）對管道層流中溶解物質的離散研究。之后，他又把這種方法直接推廣到長直管道紊流。Fischer（1979）詳盡研究了Taylor離散理論在河流中的應用，并提出估算順直河流中一系列Taylor離散相關系數的方法。Madesen（1978）和Smith（1983）、Yasuda（1984）以長周期剪切流模型研究了潮汐流作用下的Taylor離散。

關于波浪為主要動力條件的污染物離散問題，較有代表性的研究可列舉Iskandarani、Broeck、Law、Huang等人的工作，Iskandarani等（1991a，1991b）建立了波浪作用下的二維和三維輸運模型；Broeck（1990）提出N層統計模型，并將Taylor機理應用于振蕩剪切流中；Law（2000）基于Broeck（1990）的N層統計模型推導出行進表面波的離散系數理論公式，并針對三種典型流速分布（Stokes質量輸移流、海岸垂向環流、帶污染物表面Stokes質量輸移流）給出了離散系數的結果。他也通過粒子隨機游走數值的方法考慮了由線性波引起的粒子擺動運動的離散效應。Huang等（2011）將Taylor離散引入了以用P－M譜和Wen譜為代表的隨機波浪單峰譜中，給出了泰勒縱向離散系數在隨機波浪中的計算公式及結果。閆圣等也利用粒子追蹤方程研究過規則波下泰勒縱向離散系數的變化情況（已錄用）。但迄今為止，尚未見到考慮隨機波浪下泰勒離散系數隨時間變化規律等方面的研究結果的報道。時間平均的離散系數是假定垂向穩定狀態泰勒離散系數只是由于平均海平面和海床之間的擴散運動，但實際波浪的其他運動形式（波面運動、波引起的振蕩軌道運動等）被忽略。這樣假定可以簡化分析，但這不能真實反映污染物粒子在波浪下的實際運動軌跡。這種方法無法準確了解到行進波表面實時的縱向離散系數的情況，也無法預測其后續變化。

本文旨在解明隨機波浪下泰勒離散系數隨時間變化規律。以等分頻率法劃分不規則波譜，通過粒子追蹤方法模擬泰勒縱向離散系數隨時間的變化過程。研究了隨機波浪下，波序列（同一譜型不同波面序列）和譜型（譜峰周期、有效波高、譜峰升高因子）對波浪離散系數的影響，同時比較了不規則波與規則波場中泰勒縱向離散系數的異同（離散情況達到穩定的時間和離散系數的數值變化）。

1 粒子追蹤法計算隨機波浪場中的泰勒縱向離散系數

粒子追蹤法的原理是通過計算出流場中物質粒子的運動軌跡來確定濃度分布，根據Wolk（2003）提出的粒子追蹤方程，以水底一確定點為（0，0）點，垂直海床向上為z軸正方向，沿水流方向為x軸正方向建立坐標系，以[x，z]表示水質點坐標，則水質點的歐拉方程為以下形式：

其中，u（x，z，t）、w（x，z，t）分別表示水質點x方向和z方向的速度，Dx、Dz分別為x方向和z方向的水質點分子擴散系數（本文取Dx=Dz），z1、z2為（0，1）范圍內的均布隨機數。

本文研究不規則波的離散情況，可以將不規則波看成由多個（理論上應該是無限多個）不同周期和不同隨機初相位的余弦波疊加而成，則不規則波的波面方程，速度勢方程以及x，z方向速度方程可以表示為如下形式：

公式（2）～（5）中，ai，ki，ωi分別為第i個組成波的振幅，波數和圓頻率；εi為第i個組成波的初相位，此處取在（0，2π）范圍的均布隨機數。

按照不規則波模擬的等分頻率法（俞聿修等，2011），公式（2）～（5）中的i取1～100，將公式（4）、（5）代入（1）中逐項迭代，方程（1）中等式右端第一項采用歐拉法對時間積分，第二項采用隨機行走方法處理。若粒子在自由表面邊界和水底邊界處隨機跳出邊界，則將它們通過鏡像反射使其返回水域。

泰勒縱向離散系數無因次化K/D的表達形式（Law，2000）如下：

2 不規則波的泰勒縱向離散系數數值計算結果及分析

2.1 與前人結果的比較

不規則波浪場中，泰勒離散系數是隨時間變化的。但隨時間的推移，該離散系數將趨于穩定。Huang et al（2011）給出了不規則波條件下，以波頻參量εm為參數的泰勒縱向離散系數的時間均值K/D與波離散參數Ωr關系的計算結果。為考察本文計算的泰勒離散系數結果的可靠性，將本文計算的泰勒離散系數時間變化過程在穩定區的均值與Huang et al的結果進行比較。

取不規則波頻譜為PM譜（Pierson et al，1964）：

譜峰圓頻率ωm與有效波高Hs滿足耦合關系如下：

譜峰周期Tm=2π/ωm；波頻參量εm=ω2md/g；波離散參數

計算組別參見表1。

表1 PM譜計算參數表

下圖1給出了一組（水深6 m，水深Hs=0.801 m，分子擴散系數D=0.005 m2/s，波頻參量εm=1.2，波離散參數Ωr=5.35）泰勒縱向離散系數K/D隨時間t的變化圖示例。從該圖可以看到K/D在t=4 h左右達到穩定，取4 h（離散系數穩定區起始點）～8 h時段K/D在時間上的平均值，可以得到該參數下K/D值穩定在20.4。將表1中各計算組別結果與Huang et al的結果的比較（其中6個點表示本文計算結果），參見圖2。

圖1 P-M譜泰勒離散系數K/D隨時間t的變化圖例

圖2 Huang的K/D-Ωr圖

圖2可見，本文計算的泰勒離散系數時間變化過程在穩定區的均值與Huang et al的結果吻合良好。原因在于粒子整體漂移速度是由于方程（1）中等右端第一項所決定的，而第二項在統計意義上不會對平均運動產生影響。

2.2 同一波譜不同波序列的離散系數比較

理論上，同一波譜可對應無數個不同的隨機波列過程。為了考察同一波譜條件下，不同的隨機波列過程對泰勒縱向離散系數的影響，在此對比討論同一波譜、兩組不同的波列歷時所對應的K/D隨時間t變化。

取PM譜為靶譜、分子擴散系數D=0.005 m2/s，水深d=6 m；Hs=0.613 m，ωm=1.6 rad/s。選取兩組不同的組成波隨機初相位，得到同一波譜對應的兩個隨機波列過程（總時間長度為8.33 h），參見圖3。

下圖4給出了兩組不同波列的K/D隨時間t變化過程曲線，可以看出，雖然初始0～2小時時段內，K/D隨時間t變化過程略有不同，但是兩組不同的波列對應的K/D趨于穩定時間都為2～2.5h范圍內，穩定區間5～8小時時段內K/D時間平均數值（11.9）完全一致。故可以認為同一波譜下的不同波列對K/D在趨于穩定后的影響可忽略不計?；诖?，在下面的討論中，對同一波譜，不再區分波列的影響。

圖3 同一波譜對應的兩組隨機波面過程示例

2.3 譜峰周期對泰勒縱向離散系數的影響

對不規則波來說，譜峰周期的變化往往會對其波浪形態造成比較大的影響，因此我們考慮泰勒縱向離散系數的變化規律時要考慮譜峰周期變化的影響。

圖4 兩組隨機波面對應的K/D隨時間t變化過程示例

布氏－光易譜（B－M譜（Mitsuyasu et al，1968））是有效波高和周期聯合分布的二參數譜，適用于成長階段和充分成長的風浪，其形式如下：取B－M譜，水深為d=6m，有效波高Hs=0.8 m，分子擴散系數D=0.005 m2/s，分別取譜峰周期Tm為5 s，6 s，7 s，8 s，10 s，12 s，研究譜峰周期的變化對泰勒縱向離散系數以及離散穩定時間的影響。

由圖5所示的圖像可以看出譜峰周期對離散系數K/D影響顯著，在本組參數下，Tm=5 s情況下的無因次化泰勒離散系數K/D為11.3，在4 h后穩定；而Tm=12 s時K/D接近0，在0.6 h后穩定。由此可以得出在水深和有效波高不變的情況下，譜峰周期Tm越大，譜峰頻率ωm越小，縱向離散系數K/D越小。同時可以得出譜峰周期對離散穩定時間也有一定影響，譜峰周期越大，離散穩定時間越短之結論。

2.4 有效波高對泰勒縱向離散系數的影響

對不規則波來說，對其波浪形態影響較大的另一重要原因就是有效波高，因此我們考慮泰勒縱向離散系數的變化規律時也要考慮有效波高的影響。

以B－M譜為例，取水深為d=6 m，譜峰周期為Tm=6 s，分子擴散系數D=0.005 m2/s，分別取有效波高Hs為0.4 m，0.6 m，0.8 m，1 m，研究有效波高的變化對波浪縱向離散系數的影響以及離散穩定時間的影響。

圖5 B-M譜譜峰周期變化對應的波浪離散系數K/D隨時間t變化的圖像

由圖6所示的圖像可以看出有效波高對離散系數K/D影響顯著，在水深為d=6 m，譜峰周期為Tm=6 s，分子擴散系數D=0.005 m2/s，Hs=1.0 m情況下的無因次化泰勒離散系數K/D為10.3，在4h時穩定；而Hs=0.4 m時K/D接近0.3，在0.6 h后穩定。由此可以得出在水深和譜峰周期不變的情況下，有效波高Hs越大，海面波動越劇烈，泰勒縱向離散系數K/D越大。同時可以看出有效波高對泰勒縱向離散穩定時間的影響表現為有效波高越大，離散穩定時間越長。

圖6 B-M譜有效波高變化對應的波浪離散系數K/D隨時間t變化的圖像

2.5 譜峰升高因子對泰勒縱向離散系數K/D的影響

JONSWAP譜（J譜）（Hasselmann et al，1973）（是由北大西洋實測得到的有限風距譜，其形式如公式（11）所示：

其中，α為能量尺度參數（通常取0.008 1），γ為譜峰升高因子，σ為峰形參數（當ω≤ωm時，σ=σa=0.07；當ω＞ωm時，σ=σb=0.09）。

在J譜中，除了譜峰圓頻率（譜峰周期）外，譜峰升高因子對譜型的影響較大，故選取譜型升高因子γ=1～7，來研究譜峰升高因子對污染物縱向離散系數和離散穩定時間的影響。取水深d=6 m，Tm=3 s，由公式（8）可得ωm=2.09 rad/s，αg2=0.78，分子擴散系數D=0.005 m2/s。γ=1～7時，泰勒無因次化縱向離散系數K/D隨時間t的變化圖像如圖7所示：從圖中可以看到，γ越大，譜型越“尖”，無因次化泰勒離散系數K/D值越大，離散穩定時間越長。

圖7 不同譜峰升高因子對縱向離散系數K/D隨時間t變化的影響比較

2.6 不規則波與規則波的縱向離散系數對比

首先選取一組水深較淺時規則波和不規則波算例為例進行比較。參數選擇如下：

取分子擴散系數D=0.005 m2/s，水深d=3 m；規則波取波高H=0.6 m，周期T=5 s；

不規則波譜型取為B－M譜，有效波高Hs=0.6m，譜峰周期Tm=5 s；圖8為上述算例條件下不規則波與規則波的縱向離散系數隨時間變化的對比圖。

圖8 一組水深較淺的不規則波與規則波的K/D隨時間t對比圖

圖8波粒子運動穩定后的K/D值約為2.05，規則波粒子運動穩定后的K/D值約為2.3；顯然相比于規則波，不規則波達到穩定的泰勒離散系數K/D小10.86%。

另取一組水深較深時，相同參數下的規則波與不規則波的泰勒離散系數作對比：

取分子擴散系數D=0.005m2/s，水深d=10m；規則波取波高H=1 m，周期T=8 s；

不規則波譜型取為B－M譜，有效波高HS=1 m，譜峰周期Tm=8 s；圖9為這組算例條件下不規則波與規則波的縱向離散系數隨時間變化的對比圖。

圖9 另一組水深較深的不規則波與規則波的K/D隨時間t對比圖

從圖9中可見，不規則波粒子運動穩定后的K/D值約為7.05，規則波粒子運動穩定后的K/D值約為9.2；顯然相比于規則波，不規則波達到穩定的泰勒離散系數K/D小23.37%。

顯然，通過以上兩個算例可以得出：在水深、波高、周期相同的條件下，不規則波的泰勒縱向離散系數與規則波相比，不規則波的泰勒離散系數略小10%～30%。

3 結論

本文通過對不規則波縱向離散系數的研究，可以得出以下結論：

（1）同一譜型不同波序列對泰勒縱向離散系數穩定數值和穩定時間無影響；

（2）不規則波譜峰周期Tm越大，泰勒縱向離散系數K/D越小，穩定時間越短；有效波高Hs越大，縱向離散系數K/D越大，穩定時間越長；譜峰升高因子γ越大，泰勒離散系數K/D越大，穩定時間越長。

（3）在水深、波高、周期相同的條件下，不規則波的泰勒縱向離散系數與規則波相比，不規則波的泰勒離散系數略小10%～30%。

致謝：感謝閆圣師兄為數值模擬提供指導修改建議。

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Taylor dispersion of contaminants with time by random waves

GUO Xiao－meng1,2,HUANG Guo－xing1,2,ZHANG Ning－chuan2
（1.State Key Laboratory of Hydrology－Water Resources and Hydraulic Engineering,Nanjing Hydraulic Research Institute,Nanjing 210098,China;2.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China）

Based on Wolk's particle tracking equation,this study investigated the dimensionless Taylor dispersion K/D subject to random waves in time－domain.The Aliquots frequency method was used to simulate the random waves and the simulation of the particle motion was performed by MATLAB.The simulated results were verified by comparing to the results of Huang et al.Based on the simulated results,we discussed the effect of wave series(or different surface wave series with the same spectrum)and spectral type(including spectral peak period,significant wave height and higher spectral peak factor)on the dispersion coefficient under different random waves.The results show that different wave series with the same spectral type have insignificant effects on stable value and time of the Taylor dispersion coefficient.Also,K/D was observed to increase with shorter irregular spectral peak period,larger significant wave height and larger spectral peak factor.In addition,Taylor dispersion coefficient K/D under irregular waves is approximately 0.7～0.9 times of that under regular waves.

Taylor dispersion;random wave;particle tracking

P731.22

A

1001－6932（2017）06－0638－06

10.11840/j.issn.1001-6392.2017.06.005

2016－03－11；

2016－11－27

水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室開放研究基金（2015491311）；海岸和近海工程國家重點實驗室青年學者研究基金（LY1602）。

郭曉夢（1990－），碩士研究生，主要從事海洋污染研究。電子郵箱：princessdream@163.com。

袁澤軼）