不同亞型數學學習閑難兒童應用題問題表征過程的研究

柳笛

摘要 采用自編數學應用題解決能力測驗題對小學四年級單純型數困兒童、混合型數困兒童和普通兒童問題理解階段、問題整合階段的差異，以及問題表征能力與數學問題解決之間的關系進行探究。結果表明：（1）單純型與混合型數困兒童有效識別信息的能力弱，難于利用相關信息和排除干擾信息。（2）單純型數困兒童比混合型數困兒童更擅于運用圖式表征策略。（3）圖式表征策略能促進數困兒童應用題的解決。

關鍵詞 數學學習困難，問題解決，問題表征。

分類號 G442

1問題提出

數學學習困難（mathematics learning disability，MD）是學習困難的主要類型之一，其發生率為6%～10%（Geary，Hoard，Byrd-Craven，& DeSoto，2004）。美國精神醫學學會精神障礙診斷第5版（DSM-5）將數學學習困難定義為不因教育機會不充分、智力障礙、神經性或感覺障礙、神經認知障礙造成的特定數學學業技能發育受損，存在數字感、算術事實和計算、數學推理等方面的困難；閱讀困難（reading disability，RD）是指不因教育機會不充分、智力障礙、神經性或感覺障礙、神經認知障礙造成的特定閱讀技能發育受損，伴有費力地讀字、難以理解所閱讀內容的意思、拼寫與書面表達困難（美國精神醫學學會，2015）。

數學學習困難兒童按照是否與其他特定學習障礙共病，一般分為單純型（只存在數學困難）和混合型（數學與閱讀困難在同一個體上共生），其在數學應用題的表現一直受到研究者的高度關注（Fuchs & Fuchs，2002；Hanich，Jordan，Kaplan，& Dick，2001；Cirino，Fuchs，Elias，Powell，& Schumacher，2015）。Fuchs等以普通學生作為參照組，比較小學四年級單純型和混合型學生的差異，分析了學生在計算應用題、復雜應用題和實際問題上的表現。結果表明，普通學生和其他兩組學生在計算應用題、復雜應用題和實際問題上存在顯著差異，單純型和混合型數困兒童在復雜應用題和實際問題上表現上存在差異。大量研究表明，單純型在數學應用題的表現顯著優于混合型數困兒童，但其應用題解決的過程機制差異尚不明晰，需要進一步研究。本研究的主要目的是考察擁有不同解題能力的學生在應用題問題表征過程的差異，特別是單純型和混合型數困兒童之間的差異。

數學應用題解決是學習者為了適應情境的需要，運用過去所習得的數學知識技能以尋求解答的過程（Kahney，1993）。數學問題解決作為一種高層次的心智活動，從問題的產生到解決，涉及許多復雜的心理過程（Novak & Tassell，2017；Thevenot & Barrouillet，2014；Swanson，2004）。因此從認知心理學視角探討問題解決的過程模型已成為眾多學者關注的研究問題。Mayer（1985）運用信息處理理論與問題空間理論，提出了數學應用題解決的過程模型，包括問題表征、尋找解決方法兩個階段。Mayer認為問題表征由兩個步驟組成：問題理解、問題整合。該模型有助于解釋兒童在問題表征過程中每個加工階段的特點，也為本研究探討不同亞型數學學習困難兒童應用題解決的表征過程奠定理論基礎。

問題理解，主要指解題者讀懂描述問題的每一個句子，這是將問題中的每一陳述轉換成解題者內部的心理表征的過程，并能用自己的語言重復問題的條件。問題理解涉及將問題的語言轉換成可理解的形式，以及區分問題中的有效信息與無關信息。理解是一種有效的閱讀策略。在閱讀的過程中，學生接收到的信息越多，那么其對文本的理解越深刻。在數學學科中，數學問題可能包含與題意毫無關聯的信息，而多余條件會干擾學生建立準確的表征模型（邢強，單永明，2013）。因此，在理解題意的過程中，學生能夠對信息有所篩選，識別題干中的有關信息與無關信息就顯得尤為重要。研究者以四年級數困組學生和普通組學生為被試，發現無論是無關語義信息，還是無關數值信息，數困組學生在數學問題解決的過程中使用的頻率顯著高于普通組學生（Passolunghi，Marzocchi，& Fiorillo，2005）。Krawec（2014）考察八年級數困組學生和普通組學生受無關信息的影響，同樣發現數困組學生使用無關信息的頻率高于普通組學生。因此，本研究的第一個目的就是探索不同亞型數困兒童對應用題理解的差異。研究假設一：單純型與混合型數困兒童在識別有關信息、無關信息上存在差異。

問題整合，指在信息感知理解的基礎上，通過形成一個反映問題中各部分關系的結構表征來使問題可視化。有效的解題者通常會將問題整合成視覺表征結構。視覺表征是指內部圖像（如，心理圖式）和外部圖像的建構與形成。Hegarty和Kozhevnikov（1999）將視覺表征分為：圖像表征（pictorial representation），是指描述問題中一個或多個客體視覺外觀的表征方式；圖式表征（schemalics representation），是指用來反映問題各成分之間空間關系的表征方式。已有研究發現，高空間視覺化能力者更善于使用視覺空間表征策略解決數學應用題，低空間視覺化能力學習者的表征更隨機（俞國良，曾盼盼，2003）。此外，高空間視覺化能力者善于激活圖式表征策略，而低空間視覺化能力者更多建構圖像表征策略（van Garderen，2006）。而最新研究發現，單純型數困兒童的空間視覺能力顯著高于混合型數困兒童（賴穎慧，朱小爽，黃大慶，陳英和，2014；Swanson，2012）。由此提出研究假設二：單純型數困兒童比混合型數困兒童擅于運用圖式表征策略。

已有研究發現，視覺表征與數學問題解決相關，使用圖式表征與數學問題解決的成績呈顯著正相關，而使用圖像表征與數學問題解決的成績呈負相關（Hegarty & Kozhevnikov，1999）。俞國良和曾盼盼（2003）考察數學問題解決與視覺表征策略使用的關系，發現數學問題解決的正確率與圖式表征策略的使用有顯著正相關，與圖像表征策略的使用有顯著負相關。該研究結果是數困組兒童與一般兒童作為一個整體，考察數學問題解決表現與視覺表征策略使用的關系，但未區別不同數困兒童群體上數學問題解決與視覺表征策略使用的關系。本研究的第三個目的是探索視覺表征策略對不同亞型數困兒童應用題解決成績的作用。研究假設三：圖示表征策略對數困兒童應用題成績有正向顯著影響。

2研究方法

2.1被試

上海市某三所普通小學四年級小學生576人全部進入篩選樣本，排除智力水平異常、學習動機低下者，最終篩選出被試87人（平均年齡10.21±0.35，男44人，女43人）。其中單純型數學學習困難（簡稱單純型）的學生28名、混合型數學學習困難（簡稱混合型）的學生29名，一般學業（簡稱普通型）的學生30名。參考成就一智力差異模型的認定方法進行篩選（Fuchs，Fuchs，& Prentice，2004），單純型被試的選取方式及標準為：最近三次正規數學考試成績標準分處于后25%，且最近三次正規語文考試成績標準分位于前70%；研究者與任課老師綜合評定其數學學習落后，語文成績正常；沒有明顯的視聽感官障礙、運動缺陷、情感障礙、社會文化適應不良以及其他軀體或精神疾病?；旌闲捅辉嚨倪x取標準為：最近三次語文和數學正規考試成績標準分均位于后25%；任課老師評定其數學、語文學習落后，其他條件與單純型一致。普通型被試，其數學和語文成績介于20%-60%之間；任課老師評定其數學、語文學習情況穩定。

排除標準：為了排除智力障礙的學生，根據班主任、數學任課教師日常觀察推薦，結合瑞文漸進矩陣測試（Raven，1976），排除智商低于80的學生。同時，根據學習動機診斷測驗（周步成，1991），排除學習動機低于2個標準差的學生。

2.2研究工具

參考個體數學問題解決視覺表象水平的測量工具（Lean & Clements，1981），根據《義務教育數學課程標準》對數學問題解決能力的要求，編制多步運算應用題來測量學生的問題表征能力。在測驗編制過程中，結合小學四年級的數學教學內容、教學進度與教材呈現方式，與具有20多年教齡的數學老師合作編制27道多步運算的應用題預測題。預測題皆利于運用視覺表征解決。抽取兩個自然班的學生進行測試，控制難度系數后選取9道作為口語報告的測驗材料。

9道題目包含三個相關條件信息和一個提問。為考查題干語義信息對解題的影響，將其中3道題目每題增加了兩個無關語義信息，3道題每題增加了兩個無關數值信息，還有3道題保持不變。據此，整套測試題根據題干的語義信息分成相關語義信息、無關語義信息、無關數值信息三類，每類各設3道題，樣題見表1。如樣題2：超市銷售散裝果醬，需要知道每瓶果醬的重量來估計運費。在天平秤的一邊放3瓶果醬和一個100克砝碼，另一邊放一個200克砝碼和一個500克砝碼。這時天平達到平衡，那么一瓶果醬重多少克？該題目包含4個相關信息：（1）在天平秤的一邊放3瓶果醬和一個100克砝碼；（2）另一邊放一個200克砝碼和一個500克砝碼；（3）天平達到平衡；（4）一瓶果醬重多少克。2個無關語義信息：（1）超市銷售散裝果醬；（2）需要知道每瓶果醬的重量來估計運費。整套測試題的相關信息得分介于0到36之間，無關語義信息和無關數值信息的得分分別介于0到6之間。最后，整套測試題的正確得分范圍從0到9。

2.3研究程序

（1）實施瑞文漸進矩陣測試、學習動機診斷測驗，收集最近三次正規數學考試、語文考試成績；訪談每個班的班主任和數學任課教師，了解學生的基本情況；根據前述篩選標準確定單純型數困兒童、混合型數困兒童和普通型兒童。

（2）預試。根據預試結果判斷測試材料的適用性，通過反復修改題目，以加強題意表達的準確度。

（3）正式實驗。采用口語分析技術對被試的認知加工進行分析，用整套測試題對三組被試進行個別施測。9道測試題以卡片形式隨機呈現，每道題的解題時間為3分鐘，全程用錄像機記錄。主試呈現測試題卡，先由主試讀題，再由學生自行審題，指導語如下：“請先讀題，完成后請示意。（1）請你說出題目中用于解題的重要信息；（2）你在解題時，腦海中是否出現題中所述內容的圖像？如果有，你能說出/畫出你腦海中的圖像嗎？（3）請解題?！眳⒄找延醒芯恐械木幋a方法（Krawec，2014），研究者對口語報告和解題過程進行計分、統計與分析。鑒于研究目的是探索單純型與混合型數困兒童在問題理解階段的差異，即理解語義順序、關系、推論或更深層次的意義，故采用主試讀題控制費力讀字對閱讀困難兒童的干擾。在理解問題階段，先考察被試使用了哪些語義信息，被試口頭報告表明使用了的信息上計1分，沒有證據表明使用該信息計0分；再考察被試在運用視覺表征來解題過程中運用了哪些信息，被試解題過程表明使用了的信息上計1分，沒有證據表明使用該信息計0分。如樣題1，被試口頭報告，“在天平秤的一邊放3瓶果醬和一個100克砝碼，另一邊放一個200克砝碼和一個500克砝碼，是關鍵信息”，該被試的解答過程如圖1所示，那么具體計分如表2所示。

在整合問題階段，先考察被試是否使用了視覺表征，有證據表明使用了該策略計1分，若無計0分；再考察使用了視覺表征策略的被試，所采用的策略是歸入圖像表征或圖式表征中的一種。編碼過程中，將被試口語報告轉錄成書面材料，為確保原始數據的準確性采用二次復核的方式。為保證評分的準確性，由研究者與特殊教育專業研究生分別對數據進行評分統計，一致性是91%。對于評分不一致處，雙方經討論達成一致。

3研究結果

3.1不同亞型數困兒童問題理解階段的差異

不同亞型數困兒童在數學應用題問題理解過程中，使用各類條件信息的基本情況見表3。方差分析顯示：不同亞型數困兒童在語義無關數值信息、視覺相關信息、視覺無關信息上均有顯著差異。事后檢驗發現，在語義無關數值信息上，單純型、混合型使用的信息數量顯著多于普通型，單純型與混合型不存在顯著差異；在視覺相關信息上，普通型所用的信息數量顯著多于單純型和混合型，單純型與混合型不存在顯著差異；在視覺無關信息上，單純型所用的信息數量顯著多于混合型、普通型。

3.2不同亞型數困兒童整合問題階段的差異

不同亞型兒童在問題整合階段，使用各類表征方式的基本情況見表4。方差分析顯示：不同亞型數困兒童在問題解決的正確率、視覺表征、圖像表征、圖式表征上均有顯著差異。事后檢驗發現，在問題解題的正確率上，混合型的解題表現顯著低于單純型，單純型和混合型的解題表現顯著低于普通型；在視覺表征上，普通型兒童運用視空表征顯著多于混合型兒童，且單純型與混合型兒童之間無顯著差異；在圖像表征上，單純型和混合型使用的程度顯著高于普通型，單純型與混合型不存在顯著差異；在圖式表征上，單純型的使用程度顯著高于混合型，單純型和混合型的使用程度顯著低于普通型。

3.3不同亞型數困兒童視空表征與數學問題解決成績的相關性

如表5所示，對于單純型，數學問題解決的正確率與圖像表征呈顯著負相關，與圖式表征呈顯著正相關；對于混合型，數學問題解決的正確率與視覺表征、圖式表征都有顯著正相關；對于普通型，數學問題解決的正確率與視覺表征、圖式表征都有顯著正相關，與圖像表征呈現顯著負相關。

4討論

4.1單純型與混合型數困兒童有效識別信息的能力弱，難于利用相關信息和排除干擾信息

不同亞型數困兒童在辨識數學應用題有關信息與無關信息是否存在差異呢？為考察該問題，本研究未采用以往結構良好的問題范式，而是將結構良好問題改編為結構不良問題，增加了無關條件句，而且部分包含無關數值信息。這意味著，被試無法直接利用條件及其所包含的數值信息進行簡單代人計算，必須對題設條件進行甄別和篩選。有效的問題解決取決于個體能否準確理解題意，識別相關條件、排除無關條件，然后在識別信息的基礎上構建表征，進而解決問題。本研究發現，雖然各組兒童在語義相關條件上不存在差異，但是在視覺有關信息上，單純型與混合型數困兒童所用的條件數量都顯著少于普通兒童，單純型與混合型數困之間兒童不存在差異。這表明，單純型與混合型數困兒童有效識別不同類別信息的能力較弱。問題理解階段所需的知識包括（Mayer，1992）：語言知識，即語言有關的知識（如認識理解問題中的每一個字）；語義知識，與實際生活上的事實有關的知識（如l米等于100厘米）；事實知識，有關問題形態的知識（如知道求三角形面積公式）。而數困兒童對相關信息識別不充分，可能與其缺乏可供利用的語言知識、語義知識、事實知識的儲量、理解與應用能力有關。例如，在本研究發現部分數困兒童甚至會認為，題目中的提問句不是解題的關鍵信息。

本研究發現，在語義無關數值信息上，單純型與混合型數困兒童所用的信息數量都顯著多于普通兒童，單純型與混合型數困兒童之間不存在顯著差異。這表明，測試題目有些是增加了一些多余的數字條件，單純型與混合型數困兒童在篩選排除額外數字信息時，都存在困難。本研究發現，部分數困兒童認為樣題3中的無關數值條件“小亞跑了200米”是關鍵信息，其解釋為“已知的數據都應該是有用”。這與已有發現類似，數困兒童依靠問題的外顯信息，隨意提取無關信息（Montague，1992；Krawec，2014）。在問題理解階段，普通型兒童發現題目條件句較多，意識到與往常解題不同，需要甄選數值，而不是立即將疑似數據代入運算，有效地避免對認知沖突的不利信息“視而不見”現象發生（Chinn & Brewer，1993）。因此，在單純型和混合型數困兒童解題訓練中，可適當讓他們接觸一些不規則的應用題，即用應用題更加完整的文字信息和多余數值信息鍛煉學生的概念性理解，建立數學關系并將數學應用到現實問題情境中的能力。

本研究發現，在視覺無關信息上，單純型數困兒童所用的信息數量顯著多于混合型數困兒童和普通兒童。單純型與混合型數困兒童的差異，這可能與單純型和混合型數困兒童之間存在某些認知加工機制的差異有關。單純型數困兒童在同時性加工上的表現顯著低于混合型數困兒童（李清，2009），使得單純型數困兒童在理解問題時難以把多個條件整合統一考慮，難以理解題意和各條件之間的關系，將更多的注意放在題目中的數值信息或零散的細節信息。再加之無關信息與任務不相關，無法促進單純型數困學生深入理解問題，同時占用了工作記憶中的資源，成了一個額外的認知負擔，從而影響問題的理解（Paas，Renkt，& Sweller，2003；和美君，劉儒德，徐樂，賈玲，2012）。

4.2單純型數困兒童比混合型數困兒童更擅于運用圖式表征策略

一般地，視覺圖像分為以圖式為主（即，對問題所描述的空間關系進行圖像編碼）或以圖像為主（即，在問題中描述的對象或人物進行圖像編碼）。本研究在考察不同亞型數困兒童，分別在使用圖式表征策略與圖像表征策略的差異。在使用圖像表征策略的程度上，單純型與混合型數困兒童之間無顯著差異，且使用次數都高于普通兒童；而在使用圖式表征策略上，單純型顯著多于混合型數困兒童，且使用次數都低于普通兒童。這說明，在數學應用題解決的過程中，雖然單純型與混合型數困兒童都運用了視覺表征策略，但是使用表征策略的質量存在差異，單純型數困兒童比混合型數困兒童更多地使用抽象、概括的圖式表征策略。Van Garderen（2006）也發現不同學習能力的學生在使用表征策略的質量上存在差異，比較小學六年級學困生、普通生和學優生在應用題解決的表現，分析視覺表征的運用與空間可視化能力的關系。結果發現，與數困生和普通生相比，數優生在空間可視化測量方面表現得更好；數困生使用圖像表征策略顯著多于數優生，普通生與學困生、數優生之間無顯著差異；數優生使用圖式表征策略顯著多于數困生和普通生，普通生與學困生之間無顯著差異。這一發現支持了Hegarty和Kozhevnikov（1999）研究的發現?？傮w而言，這些結果表明，低空間可視化能力的學生表現出偏好使用圖像，也就是不太復雜的圖像類型；具有高空間可視化能力的學生更傾向于使用圖式，即蘊含更復雜關系的圖像類型。

Geary（2004）指出了在解決復雜應用題時，視覺空間能力（即表示概念性知識形式的能力，以及處理空間形式的數學信息的能力）的重要性。正如Smith（1964）所指出的那樣，空間可視化技能可能在解決問題中發揮核心作用，因為從問題中抽取信息的過程在某種程度上可能涉及到模式或結構的重制。視覺空間能力缺陷可能會干擾問題解決能力。例如，研究發現有空間定向缺陷的參與者也表現出生成和應用數字線上的不足（Zorzi，Priftis，& Umilta，2002）。賴穎慧等（2014）比較單純型與混合型數困兒童空間能力的差距，發現單純型數困兒童的空間視覺能力顯著優于混合型數困兒童。由此可以解釋，單純型數困兒童使用圖式表征策略的能力顯著高于混合型數困兒童的原因。

4.3圖式表征策略能促進數困兒童應用題的解決

本研究發現，擅長運用圖式表征的單純型數困兒童，數學應用題的正確率較高；而不擅長運用圖式表征的混合型數困兒童，數學應用題的正確率較低。這說明，較好地使用圖式表征策略的數困兒童，能較好地解決數學應用題。這表明，數學問題表征過程中的圖式表征對兒童數學問題解決的重要性。當兒童在理解表征一個問題時，運用視覺表象是一個強大的形象化策略（Hegarty & Waller，2005），可以用來分析問題結構，為尋找解決方案奠定基礎，簡化復雜情況，并把抽象的概念變得更具體、熟悉。之所以圖式表征策略的使用與數學問題解決有顯著正相關，這可能與兒童空間視覺化能力有關?？臻g視覺化能力是人腦對空間信息表象進行一系列心理操作，是一種建構高質量、不易衰退的表征能力（van Garderen，2006）。有研究發現數困兒童空間視覺能力與數學問題解決的正確率顯著相關（俞國良，曾盼盼，2003；Mix&Cheng;，2011）。此外，數學問題解決需要多種認知過程的參與（Montague，Krawec，Enders，& Dietz 2014），其中包括視覺空間工作記憶。視空工作記憶是對客體和空間信息在接受進一步處理前的臨時存儲與加工（Baddeley，2012）。有實驗證據表明視空工作記憶與數學問題解決之間具有緊密聯系（朱曉斌，王靜麗，李曉芳，2011；邢強，蔡新華，劉大革，2015），視空工作記憶較好的兒童具有更充足的工作記憶容量來儲存與加工重要的信息，進而幫助個體理解問題，形成最終的解決方案。研究者通過深入探索不同視空間工作記憶成分與各類數學應用題的相關性，進一步發現主動視空間工作記憶對幾何應用題解決具有預測力，被動序列視空間工作記憶對文字應用題具有預測力（朱曉斌等，2011）。

圖式表征策略能促進數困兒童應用題的解決，可能還與表征策略的作用有關。關注題目中一個或多個客體生動細微的視覺形象的圖像表征策略，會阻礙數學問題的解決，而聚焦題目中一個或多個客體動態空間關系的圖式表征策略，能促進數學問題的解決。在數學課堂教學中，教師可能要求學生“畫草圖”，但未考慮草圖可能誤導某些學生過分關注一些具體的、生動的圖像細節，而忽略問題中客體之間的空間關系。因此，教師對數困兒童進行干預教學時，必須深入分析個體所需的特殊的認知要求，幫助其逐步地構建與使用圖式表征策略。

5結論

本研究的結果如下：（1）單純型與混合型數困兒童有效識別信息的能力弱，難于利用相關信息和排除干擾信息；（2）單純型數困兒童比混合型數困兒童更擅于運用圖式表征策略；（3）圖式表征策略能促進數困兒童應用題的解決。