變更預設學程，契合發展路徑*
——一次“意外”生成的教學感悟

☉江蘇如皋市石莊鎮初級中學 印冬建

在我們的日常教學中，與預設偏離的教學生成時有出現.當它們出現時，學程（即學生學習的進程）的變更在所難免.在實際教學中，如果我們能對“意外”生成進行“緊急診斷”，理清其與要學知識、已有“四基”間的關系，在互動交流中生成新知的“生長點”，然后在已有生成上繼續前行，一般會取得較好的教學效果.這種對預設學程的變更，讓新的學程與學生的發展方向和知識的生長方向一致，為個體的順勢發展提供了可能.本文擬結合一次教學意外的生成及處置歷程，談談筆者的做法和思考，希望能給大家帶來啟示.

一、教前準備

1.內容分析.

在人教版九年級上冊教材中，第二十三章第一節是圖形的旋轉，本節共安排了三課時的教學內容：第1課時，旋轉的定義；第2課時，旋轉的性質；第3課時，旋轉的定義和性質的簡單應用.在小學，學生對圖形的旋轉已經進行了較為系統的學習，他們具備了構造簡單圖形旋轉的能力，對旋轉過程中圖形形狀、大小的不變性有著較為深刻的認識；進入初中后，學生又先后獲得了平移、軸對稱等圖形變換的知識，并積累了很多探索圖像變換及其性質的活動經驗.基于教材編排的現狀和學情發展的需要，筆者將教材第1、2課時的教學內容整合在一起作為本課時的教學內容，力求通過這節課的教學，讓學生獲得圖形的旋轉的定義和性質.為吻合教材的內容與流程安排，筆者計劃引導學生從實物的運動中抽象圖形的旋轉，并歸納出圖形的旋轉的定義，然后重點探索旋轉的性質.為了突破旋轉的性質這一難點，將會安排學生經歷“作圖—觀察—猜想—驗證”的探索歷程，通過“自主、合作、探究”實現“四基”的自然生長與合理延伸.

2.學程預設.

圍繞教材編排的教學內容與流程，結合本班的學情，為了更好地突破旋轉的性質這一難點，筆者給本節課預設了四個環節的學程：

（1）情境引入，抽象概念.

投影實物運動的動畫，師生在互動中描述“運動規則”并將實物抽象為幾何圖形，進而揭示本節課的學習內容——圖形的旋轉，讓學生觀察并歸納出圖形旋轉的定義.

（2）作圖探索，歸納性質.

這一環節主要是由學生自主作圖，構造出已知三角形（三角板內部的小三角形）旋轉一定角度后的三角形，然后比對兩個三角形并分析其旋轉過程，猜想并歸納旋轉的性質.

（3）應用提升，建構體系.

本環節將通過兩道例題的解答交流，鞏固旋轉的定義及性質，使學生知曉旋轉與平移、軸對稱一樣都是較為常見的全等變換，從而完善初中學段圖形變換的知識體系.

（4）全課小結，布置作業.

分層布置與本課時高度相關的幾道練習題，讓學生通過解答實現課堂收獲的延伸應用.

3.教學準備.

結合本節課的教材編排和教前預設，想要完成預定的教學任務，我準備了與教學內容匹配的課件、活動單和一塊中間為一個含30°的內角的三角形的三角板.此外，學生還需要準備鉛筆、直尺、三角板等作圖工具，其中，中間為一個含30°的內角的三角形的三角板為必備學具.

二、教中比對

1.預設與生成.

教學環節 學程預設教學生成情境引入， 感知旋轉問題1：下列動畫中，物體在怎樣運動？師生活動：教師投影圖片，請學生觀察并思考圖中物體運動的規則.（1） （2） （3）圖1學生觀察動畫，能較清晰地說出“物體是繞著中心（軸心）進行順（逆）時針轉動”，接下來，教師引導學生發現：如果把物體抽象為圖形，剛才描述的運動就變成了圖形的旋轉.最后，教師呈現并板書課題：23.1圖形的旋轉.情境引入，抽象概念觀察變換，抽象概念問題2：（1）如圖2，鐘面上，從3點到6點，時針是怎樣轉動的？（2）如圖3，如果將時針抽象為線段OA，剛才的時針轉動過程又可以怎樣描述？師生活動：教師投影圖3，演示旋轉過程，交流問題2，并嘗試抽象圖形的旋轉的定義及與之相關的概念：旋轉中心、旋轉角及對應點.圖2 圖3教師投影圖2，動畫演示“時針從3點轉動到6點的過程”，學生順利說出“此過程中，時針繞著表面中心順時針旋轉了90°”.接下來，教師給出圖3，將時針抽象為線段OA，讓學生明白“時針的轉動就變成線段的轉動”（也有學生認為可以是“點A繞點O的轉動”），進而歸納圖形的旋轉的定義，并明確旋轉中心、旋轉角及對應點的含義.通過對圖3中概念的再認識，引導學生發現“AO＝BO，即兩個對應點A、B與O所連線段相等，且它們的夾角∠AOB等于本次旋轉的旋轉角”，通過對另一對對應點P、P′的相關結論探索，學生發現“任意一對對應點與O所連線段相等，且它們的夾角都等于這個旋轉角”.自主作圖，體驗變換師生活動：教師描出如圖4所示的三角板內部的小三角形，記為△ABC.然后，請學生將三角板繞其一個頂點O任意轉動一個角度，再描出內部的小三角形，記為△A′B′C′，移開三角板，得到圖5.C根據活動方案，有學生按預設直接旋轉三角板，描出內部的三角形.但也有不少學生給出了不同的畫法，教師請其中一名學生進行了展示.該生先用給出的三角板作出點A、B、C繞點O順時針旋轉相同度數后的對應點A′、B′、C′，如圖6.最終，作出△A′B′C′，如圖7.A C O A B C B A′O O A B C′A′A′C′O B′C′B′B′圖4圖5圖6圖7作圖探索，歸納性質分析圖形，探索性質問題3：（1）是否可以通過度量某一個角，來確定圖5中的旋轉角？（∠AOA′）（2）這樣的角有多少個？（無數個）（3）這些角具備怎樣的共性特征？（都是“對應點與旋轉中心所連線段的夾角”）（4）你能歸納出這些角所具有的性質嗎？（都等于旋轉角）（5）這些對應點與旋轉中心所連線段之間又有怎樣的關系？（相等）（6）△ABC和△A′B′C′呢？（全等）師生活動：教師出示問題3，引導學生發現∠AOA′、∠BOB′等“對應點與旋轉中心所連線段的夾角”等于旋轉角，進而作出線段OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′，如圖7，歸納并證明三個結論：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前、后的圖形全等.在用文字語言從線段、角、圖形三個維度分別歸納圖7中存在的結論后，分別改變圖7中的旋轉中心、旋轉角及三角形的形狀和大小，通過課件演示讓學生進一步認識到上述結論可以從特殊推廣到一般.最終，在師生互動反復矯正后，明確上述結論就是旋轉的性質.（1）觀察圖形，猜想結論.教師提問：圖7中的兩個三角形有怎樣的關系？學生給出“全等”的結論.在得到全體學生認同后，教師板書結論（3）.（2）驗證猜想，抽取結論.在驗證△ABC≌△A′B′C′的過程中，教師就條件AB=A′B′的獲得過程進行了深挖，讓學生明白OA=OA′、OB=OB′是概念抽象時獲得的“對應點與旋轉中心所連線段相等”的應用，同時板書結論（1）.在對條件∠AOB=∠A′OB′的探索過程中，教師引導學生發現：在旋轉過程中，∠AOA′和∠BOB′始終相等，都等于旋轉角.通過對兩個角的特征的反復分析，歸納并板書結論（2）.（3）結論推廣，定格性質.分別改變圖7中的旋轉中心、旋轉角及三角形的形狀和大小，課件演示其旋轉過程，讓學生認識到上述結論可以從特殊推廣到一般.最終，明確上述結論就是旋轉的性質.

2.比對分析.

在“情境引入，抽象概念”環節，生成與預設基本是一致的.動畫的觀察與描述，讓學生充分感知了旋轉在實際生活中的普遍存在，讓學生充分體會到了圖形的旋轉的數學本質.接下來，從對“鐘面上，時針從3點到6點轉動”的描述，到時針被抽象為線段OA，物體的旋轉被徹底轉變為圖形的旋轉.接下來的定義及相關概念的抽象，學生的活動經驗和生活經驗也就迅速被轉變為新的數學事實.在學生獲得AO＝BO及探索另一對對應點P、P′相關結論的過程中，學生對對應點的認識與學習平移、軸對稱時相比又邁出了一大步，“任意一對對應點與旋轉中心所連線段相等，且兩條線段的夾角都等于旋轉角”的性質“雛形”初步形成.

在“作圖探索，歸納性質”環節，生成與預設間產生了較大的“偏差”.預設中，△A′B′C′是“描”出的，而現實中，不少學生是用“先作對應點，再畫三角形”得到的.兩者相比，生成的作法是旋轉作圖中較為規范的方法.預設中的作法簡單明了，圖形的獲得過程十分清晰，但探究味兒不濃；實際教學中，板演學生給出的方法，是平移、軸對稱作圖時所積累的“先作對應點，后作三角形”經驗和本節課獲得的對應點知識的應用，讓對應點的作圖價值得到了很好的發揮.在接下來的“分析圖形，探索性質”中，作圖方法與預期產生偏差，使得教師不得不迅速調整教學問題，原本沿著“線段—角—三角形”展開的“線型”探索，轉變為“三角形—線段、角”的“包容”型探索，即由“圖7中的兩個三角形有怎樣的關系”引出△ABC≌△A′B′C′，在追問全等的條件時，引導學生發現并歸納“線段、角”的結論，預設中細碎的問題被融入三角形全等追究的過程中，問題解決與性質歸納實現了完美融合.至于結論推廣，生成與預設是一致的，在旋轉要素的變化下，猜想得出的結論被迅速一般化，性質也就自此生成.

三、教后反思

1.“意外”的生成緣由.

（1）新學知識的自然應用.

本節課上，在得出△A′B′C′前，學生已經獲得不少圖形旋轉的知識.其中，通過對時針的抽象，學生準確地獲得了“線段的旋轉”或“點的旋轉”所產生的線段之間、角之間的關系：兩個對應點A、B與O所連線段相等，且它們的夾角∠AOB等于本次旋轉的旋轉角.隨著這兩個結論向另一對對應點P、P′的有效遷移，對應點知識的遷移障礙被徹底掃清，學生在作圖中想到它并用好它也就不奇怪了.

（2）基本經驗的自然延續.

在學習平移和軸對稱這兩種圖形變換時，作三角形、四邊形等直線型圖形的平移或軸對稱變換，學生一直是按照“先作對應點，再連線成圖”的思路進行的.由于對這一思路的反復鞏固和長期應用，它已經成為了學生圖形變換知識體系中的基本經驗，牢牢地扎根于其認知網絡中.本節課上，當作圖要求提出后，這一經驗便被學生迅速從知識網絡中提取出來，并與新學的兩個知識快速疊合，應用并生成“意外”作法也就不意外了.

（3）個體思維的主動突破.

任何一次“意外”生成的出現，一定會有學生個體創新思維的參與.只有當學生開始追求異樣解法時，其思維的爆發力才會凸顯出來.也只有在這種狀態下，一些異于常規的解法才會走進課堂，進入到教師與學生的視野之中，為課堂教學錦上添花.當然，只有當學生思維發展、知識積聚和能力提升到達一定的高度后，這樣的主動突破才能成為教學現實.因而，我們不應也不能期盼這樣的思維突破在每節課中都出現.

2.幾點教學啟示.

（1）尊重意外生成，共享思維成果.

意外生成是基于學生已有知識與經驗之上的合理產物，是學生經過深思熟慮后的思維成果.雖然意外生成可能偏離了教師的教學預期，可能會給我們的教學帶來較大的波動，甚至會影響到預設教學進程的推進，但我們絕不能因為它對教學可能產生的干擾，而無視其存在，不聞不問，直接將學生的思維強拉硬拽回教前預定的軌道上來.筆者認為，教師應當尊重并用好這些意外生成，使其很好地服務于師生的課堂教學.這種尊重，主要表現為對出錯學生的包容和對異常成果的應用.也就是當“意外”出現時，我們首先要做的不是否定學生，而是給予學生的探索以積極的評價，然后努力從學生的角度來找尋成果及其獲得過程的閃光點，并敏銳地捕捉或建構出新知的生長點.顯然，整個教學進程，教師應始終以欣賞的眼光來看待并處理學生的這些“意外”成果，并努力讓每名課堂教學參與者從中收益.筆者認為，這種對學生學習成果的尊重，讓“異樣”成果的教學價值得以全盤發揮，能最大限度地保持學生學習數學的熱情，為其數學素養的有效提升保駕護航.對于“意外”制造者來說，對其“成果”的尊重無疑是一種肯定和鼓勵，其學習數學的興趣和信心也必將得以繼續保持，在成果的分析與經驗的共享過程中，教師的反復追問同時能將其潛能挖掘出來，讓他們在“知其然，且知其所以然”的道路上越走越遠；對于其他學生來說，不管對意外生成的態度是贊同還是反對，都需要個體思維的積極參與，而此間最為重要的是他們對意外發生后教師態度的真切感知，這將會對他們后續的學習產生深遠而積極的影響；對教師而言，“意外”來襲，積極應對將會全方位調動教師的教學思維，這種教學經歷的反復體驗必然會提升教師的課堂應變能力和意外處置能力.

（2）剖析意外生成，挖掘教學價值.

“意外”生成，不管對錯，因為其偏離了教者的預設軌道，所以，一旦出現就會干擾課堂教學的進程.為了減小其對教學的影響，給學生營造出寬松、和諧的學習氛圍，當意外發生后，我們一般應先給予積極的評價，然后迅速分析這些“意外”生成的教學價值.如果價值不大，給出一個正向評價，表揚到位一點，矯正深刻一點，迅速發揮其教學效益即可；如果發現價值較大，教師就應“借機生事”，將意外“做大做強”，結合已有知識和將學知識進行價值深挖，在“意外”中找尋新知的生長點，打造價值的增長點.以本文中的案例為例，意外發生后，教師迅速對學生的作圖方法進行了價值分析，在對已有知識的分析中，發現：“學習平移、軸對稱等變換時，積累的對應點的知識及其相關作圖經驗”是學生給出作法的知識基礎和經驗鋪墊，而這一切同樣是本節課繼續探索新知的基礎，此外，如果不是本節課上概念抽象時對對應點的深度認知，出現這一意外的可能性是很小的.所以，本節課應沿著對應點的認知展開進一步的教學，通過對學生所認同的“旋轉前、后的兩個圖形全等”的追問，將“對應點與旋轉中心所連線段相等”和“對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”嵌入到△ABC≌△A′B′C′的全等條件的剖析中，擇機引導，相機總結.從實際教學成效看，這樣的學程變更顯然是成功的，學生在獲得這些知識的同時，對數學結論的獲得過程有了完整的感知，尤其對結論證明的“步步有理”有了更為深刻的認知，這對其后續的數學學習無疑是大有益處的.關于意外生成的教學價值分析，筆者認為能夠作出迅速判斷并調整教學進程的教師不少，但如何做才能“在不動聲色中調整到位，達成教學效益的最大化”，這對教師的個人素養有著極高的要求.首先，教師應具有較為豐富的學科知識，能及時對學生的學習成果作出準確判斷，此外，教師還應具備強大的現場分析與處置能力，尤其是既想讓意外生成者感到舒服，又能讓全體學生坦然應用交流，沒有強大的應變能力估計是很難做到的.

（3）強化互動交流，把握教學契機.

既然是“意外”，就必定是異乎尋常的，其出現也就一定與學生已有知識經驗和良好思維品質是緊密關聯的.為了讓學生的知識經驗繼續充實，讓其思維不斷優化，我們就應努力從這些“意料之外”中找尋并應用于“預計之中”.那么，面對這些意外，我們究竟該如何下手呢？筆者認為，意外出現后，就算是一線的教學“老手”，生成與預設的差異也會讓他們感到些許恐慌.待到鎮定下來，很多教師都會隨口追問諸如“為什么”或“你是怎么想到的”.這樣的隨意追問，有時或許能引出接下來的探索，但更多的時候會因為問題的過于寬泛而導致無果而終，這顯然不是教師想看到的.筆者認為，突破此困境最有效的辦法，是教師所進行的追問必須使用精心設計的問題組，這些問題之間應具有明顯的梯度和清晰的指向.但由于意外生成在瞬間，其應對策略也就必須在很短的時間內形成，這就導致教師對意外的剖析未必能全面、到位.顯然，在追問實施過程中，教師還應根據學生的作答對提問的方向進行必要的調整，以確保新知生成的每一契機都為教師所把握并為教學所用.還是回到上面的案例，教者原本為圖7設計了6個小的問題，但由于出現了與預期作法不一樣的作圖方法，在稍作思量后便將教學問題變更為“圖7中的兩個三角形有怎樣的關系”，隨后的探索就圍繞著“這兩個三角形為什么全等”“OA為什么等于OA′”“∠AOB=∠A′OB′是怎么得到的”等一系列問題展開，這些問題指向的是圖形旋轉的性質，其獲得的過程由原來的“點→線段→角→圖形”四級變更為“圖形→點、線段、角”的兩級.教師的每一次追問，都是學生思維向教學目標邁進的一個臺階，一問一答中，知識生成，能力提升，素養發展，意外教學步入意料行列，“學為教用，教為學用”的教學合一的境界就此真正實現.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.沈曄.預設操作跟進追問，掌握知識發展思維——圖形的旋轉（第1課時）教學設計與解讀［J］.中學數學（下），2015（7）.

3.林群.義務教育教科書·數學（九年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

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5.印冬建.基于系統觀的新授教學——以人教版“18.1平行四邊形（第1課時）”為例［J］.中學數學（下），2017（3）.

6.王杰航.“旋轉”（第1課時）教學設計［J］.中國數學教育（初中版），2014（12）.

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