初中數學教學實踐
——以人教版初中數學二次函數為例

☉廣東廣州市第一一三中學 瞿華發

教學實踐，是一種基于實踐的教育理念和教育活動.它通常是指在教學過程中，建構一種具有教育性、創造性、實踐性，以學生主體活動為主要形式，以激勵學生主動參與、主動思考、主動探索為基本特征，以促進學生總體素質全面發展為主要目的的教學觀念和教學形式.

一、二次函數教學目標與重、難點分析

（一）教學目標.

1.以具體案例為基礎，理解二次函數的深刻內涵及有關概念，感受現實問題中兩個變量之間的相互關系；

2.體會數量關系變化的過程，學會使用“二次函數”這一數學模型；

3.使學生學會使用二次函數解決最值問題；

4.體會數學知識的現實意義，激發學生學習數學的熱情.

（二）教學重點、難點.

重點：二次函數的意義，對函數模型的準確認識與應用.

難點：建模，用二次函數解決現實問題.

二、初中二次函數教學策略

（一）創設情境，巧妙引入教學內容.

在函數的教學過程中，首先需要通過具體的案例讓學生對函數有一個初步的認知.教師以教材為基礎，通過演繹案例來創設情境，引導學生進行思考與討論.通過這種教學活動，讓學生對變量間的變化規則有初步的認識，為之后函數概念的講授奠定基礎.

（二）引導學生主動思考與探究.

在傳統的數學教學模式下，教師教學的重點在于利用二次函數的既得結論，這雖然能滿足應試需求，卻無法讓學生領悟二次函數知識點的重要現實意義，很難理解其內涵.要想改變這種局面，廣大初中數學教師需要引導學生，提高學生思考及探究的主動性，針對學生的能力水平，提高其發現問題、分析問題、溝通交流、解決問題的能力.

（三）注重學生數形結合思維的培養.

數形結合思想指的是，將代數與圖形巧妙結合起來，在此基礎上尋求解題思路，簡化問題的解決過程.

比如，要求函數y=|x-9|+|x-10|的最小值，如果采用純數學運算的話，計算難度較大，但是如果運用數形結合的方法，繪制示意圖，將題目轉化為在數軸上取一點，求距（9，0）與（10，0）這兩點距離之和最小的點，易知在［9，10］范圍內任意一點都能取到最小值，則函數的最小值為1.

（四）教學方式多樣化.

在新課標的要求下，教師需要科學、合理地利用現代化的信息技術手段輔助教學.結合人教版初中數學教材的特點，教師在設計課程時需要增加師生交流的比重，分層次、目標明確地開展教學活動，切實提高教學質量.同時，二次函數的教學需要緊密結合生活實際，將復雜的函數學習轉化為解決問題的有效工具，提升學生的學習興趣，加深學生對這個知識點的理解和掌握，最終完成教學目標.

三、“二次函數的圖像和性質”教學設計

（一）教學目標.

1.會將數字系數的二次函數的表達式化為y=a（xh）2+k（a≠0）的形式，并確定其開口方向、對稱軸和頂點坐標；

2.經歷從特殊到一般的研究過程，體會數與形的內在聯系；

3.能利用二次函數的圖像特征推測函數的性質，并利用二次函數的解析式對其圖像特征進行解釋和判斷；

4.感受數學的直觀性、抽象性、嚴謹性，在方法遷移的過程中獲得成功的體驗.

（二）教學重點、難點.

教學重點：形如y=ax2+bx（a≠0）的數字系數的二次函數的圖像與性質.

教學難點：從解析式的角度對二次函數圖像的對稱性進行說理論證.

（三）教學安排.

教學中為了突出學生的主體地位，適應學生的認知需求，在本章教學內容的一開始，教師需要結合一次函數的教學經驗，依據“從特殊到一般”的原則，總結出如下教學思路：

（四）案例設計.

1.溫故知新.

在這一過程中，教師可以以問答的形式引導學生回憶之前所學的正比例函數、一次函數的有關概念和性質，和學生一起回憶之前所學的函數知識，同時培養學生的求知欲，啟發學生積極進行思考與探索.

在此基礎上，教師可以以籃球為例引出“二次函數”這一教學內容，投籃時籃球的軌跡屬于什么曲線？怎么計算籃球在最高點時與地面之間的距離？通過這些問題為新知識的學習打下基礎.

2.合作探究.

A.正方體的六個面是全等的正方形，設棱長為x，表面積為y.顯然，對于每一個x，都有一個y值與之對應，即y是x的函數，表達式為：y=6x2.

B.x個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次y與球隊數x之間存在什么關系？

易知，每個隊要和其他（x-1）個球隊比賽一場，但是相同兩支隊伍之間的兩場比賽只能算一場，因此比賽的場次為

C.某種產品現在的年產量為20噸，計劃今后兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系怎么表示？

這種產品的原產量是20噸，一年后的產量是［20（1+x）］噸，再經過一年后的產量是［20（1+x）（1+x）］噸，即兩年后的產量y=20（1+x）2（噸），即y=20x2+40x+20（噸）.

觀察以上三個例子，所得出來的函數關系有什么特點？能否用統一的表達式表達這三個式子？

在學生進行思考與討論后，教師進行如下總結：

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數且a≠0）的函數，叫作二次函數.其中，x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

研究二次函數圖像與性質時，教師可以由淺入深，先結合具體的函數進行講授，然后推廣到一般情形.下面以上述例子中的函數為例進行說明.

A.整理出拋物線y=20x2+40x+20的開口方向、頂點坐標、對稱軸、趨勢等圖像特征.

B.根據圖像的特征，描述出二次函數y=20x2+40x+20的對應性質.

C.總結出一般情況下二次函數的圖像及性質.

圖像特征 函數性質y=20x2+40x+20-6 -4 -2 0 2 4 200 150 100 50 0-50開口方向 向上 ymin=0 最值頂點坐標 （-1，0）對稱軸 直線x=-1對任意m>0，當自變量x分別取-1-m和-1+m時，對應的函數值相等.對稱性曲線趨勢在對稱軸左側圖像從左到右下降；在對稱軸右側圖像從左到右上升.當x≤-1時，y隨x的增大而減??；當x>-1時，y隨x的增大而增大.增減性

一般地，拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2形狀相同、位置不同.把拋物y=ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到拋物線y=a（x-h）2+k.平移的方向、距離要根據h、k的值來決定.

拋物線有如下特點：

A.當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下.

B.對稱軸是直線x=h.

C.頂點是（h，k）.

從圖像可以看出：如果a＞0，當x＜h時，y隨x的增大而減小，當x＞h時，y隨x的增大而增大；如果a＜0，當x＜h時，y隨x的增大而增大，當x＞h時，y隨x的增大而減小.

3.課堂回顧.

（學生總結）我們把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數且a≠0）的函數叫作二次函數.結合學生所述，教師提供相關指導：

A.對二次函數的概念做個深入的理解，關注和定義有關的問題；

B.在生活中數學隨處可見，學會觀察生活就會發現數學的應用是相當廣泛的.

1.史承灼.初中數學教學探究［M］.合肥：安徽文藝出版社，2014.

2.何小亞.中學數學教學設計案例精選［M］.北京：科學出版社，2011.

3.王清.初中數學函數教學中數學思維能力培養的實證研究［D］.長春：東北師范大學，2005.