法則抽象：反復陳述之上的自然生成
——以“單項式乘單項式的運算法則”教學為例

☉廣東江門市新會東方紅中學 黃綺玲

新授課上，對新的概念或法則的歸納呈現，往往是教學的難點.為了突破這一難點，很多教師動足了腦筋，有的從生活中抽象規律，借助熟悉的語境以純文本的形式自主歸納；有的立足數學本身，從數學的本質上找到概念或法則的本質屬性，抽象出新知.這兩種方式中，無論哪一種，都離不開對由非數學情境抽象出的法則或概念文本的反復陳述、矯正，如果缺失了這一環節，新知的生成就是不“踏實”的.在近期執教“單項式乘單項式”的法則歸納時，筆者對此有較深的感觸.現呈現此次教學過程，并說三點思考，希望能給大家帶來啟示.

一、“單項式乘單項式的運算法則”教學簡錄

1.情境引入.

問題1：光的速度約為3×105千米/秒，太陽光照射到地球的時間大約是5×102秒，你知道地球到太陽的距離約是多少千米嗎？

學生讀題列式：（3×105）×（5×102）.

教師追問：怎么算？

學生給出利用乘法交換律和結合律求解的過程，如下：

教師請學生反復陳述上述運算過程，并小結：我們把3和5相乘，把105和102相乘，然后寫成科學記數法的形式.

2.類比探究.

問題2：如圖1，將幾張邊長為a的正方形紙片拼在一起組成一塊長方形廣告牌，則長方形廣告牌的面積為______.

學生列式：2a×3a.

教師追問：結果是什么？怎么得到的？

多名學生反復陳述：2a×3a＝（2×3）·（a·a）=6a2.

教師引導學生歸納：2a×3a，我們先將系數2和3相乘，再把字母a和a相乘.

圖1

學生類比問題1、2中的求解過程自主探索，陳述過程，給出結果.接下來，教師安排學生在小組中交流過程.3分鐘后的全班交流中，多名學生將自己探索的近乎一致的過程分享給大家：

3.猜想歸納.

問題3：猜一猜，下列各式該如何算？

在學生交流時，教師將其過程板書.然后，請學生結合板書的過程，歸納單項式與單項式相乘的運算法則.在學生陳述的過程中，教師提醒可按照剛剛運算的過程，給各部分運算賦上名稱，比如）是兩系數相乘，（m·m2）為同底數冪相乘……最后，將這些單獨的文本陳述合并成一段完整的話.

4分鐘后，學生對法則的歸納有了“雛形”：兩個多項式相乘，先把系數相乘，再把同底數冪相乘，把乘得的積再相乘，只在一個單項式中出現的字母連同它的指數放在最后，作為積的一部分.至此，教師順勢歸納并投影法則.

教師追問：如果是三個單項式連乘，該怎么算？四個、五個單項式連乘呢？

在師生的互動交流中，教師引導學生將法則進一步拓展到多個單項式相乘.

二、簡析

陳述，就是說.我們知道，話越說越清，理越辯越明.在數學教學中，對于概念、新法則的學習，對概念、法則的反復陳述是非常重要的.只有讓學生經歷歸納整理的完整過程，這些“新生”的知識才能深入人心，扎根于學生的知識網絡.

上述片段中，基于“數式通性”原理，（3×105）×（5×102）與含字母的單項式乘法運算過程有著很多的相似之處.因而，教師從學生能夠進行的數的運算入手，在（3×105）×（5×102）運算過程的拆解陳述中，夯實了式的乘法運算探索基礎.接下來，關于2a×3a的運算過程的拆解陳述就顯得順利了不少，很多學生能給出（3×2）×（a×a）的步驟及正確的結果.這無疑與學生已有知識經驗的豐厚和題1的教學是分不開的.問題3的探索延續了問題2的做法，先猜想，后陳述，在板書其過程后教師讓學生嘗試利用兩個運算的過程猜想并歸納乘法運算的法則，在前后反復陳述中讓類比認知積聚的知識與經驗達到了知識順利生成的高度，給出不完全規范但離“正果”差距不大的“學生法則”應該是問題不大的.這樣的遞進式認知，讓學生經歷從數到式的探索歷程，對外形相似的運算過程的不斷強化，在教師稍加點撥與矯正后，規范的文字語言順勢生成.正是這種基于反復陳述的豐富積淀，包括三個單項式、四個單項式的相乘方法在內的法則拓展成果的生成都是十分順利的.

教者認為，讓學生反復地說，并在陳述中形成固定的套路，使得他們的陳述有理有據，有方有法，是上述片段中順利獲得教學成果的根本原因.整個教學進程中，學生的陳述起到了巨大的推動作用.這一做法，不僅是知識梳理的手段，更是法則歸納的途徑，正應了那句話“苦盡甘來，終得正果”.

三、幾點感悟

1.陳述內容應具有明顯的相似性.

相同或相近的教學內容，往往會給人學習方法或路徑上一致的感覺，有利于類比學習的開展.熟悉的內容給人以“安全感”，有利于學生大膽應用已有方法開展下一步探索.在實際教學中，想要讓學生心安理得地通過復述獲得新的結論，就必須確保復述內容具有較強的相似性.當然，這種相似性可以是外形的相似，比如上面的問題2和問題3中的算式都是含字母的單項式相乘，這種外在的相似是可以引發學生的經驗自然遷移的.此外，相似還包括探索方法和解決路徑上的相似，本文中的問題1是數的運算，問題2是含字母的單項式乘法運算，這兩者在外形上有著明顯的差異，但其問題解決的路徑是一致的.因而，兩者先后展示，反復陳述，其路徑的相似性使得學生的認知很快由數的運算過渡到式的運算中，為接下來的“同形”探索積聚了寶貴的經驗.對于如何最大程度地發揮這種相似性的教學價值，筆者認為，我們應先給定或歸納一個陳述的范式，然后讓學生模仿范式反復說，不斷進行變式強化，通過陳述方式或內容的逐層升級，不斷發揮出交流內容內在或外在的相似效應，在不“走樣”的復述中，催生新知，積累經驗.

2.陳述對象應具有較強的遞進性.

復述，是對已有話語的重復，這在文科教學中是較為常見的.到了理科教學，復述的要求應略高于“簡單再現”的要求.我們在設計復述對象時，應在保證復述內容相似的前提下，讓相鄰兩次復述之間具有明顯的梯度，說白了，就是前一輪次的復述應為后面復述的起點和基礎.以本文中呈現的案例為例，筆者先給出的（3×105）×（5×102）的求解過程的復述，就是數的運算，起點低，難度小，學生易上手，效果也應是很好的，而后面的2a×3a增加了字母，難度增加是不言而喻的，復述過程中自然會增加系數和字母的分批陳述，而問題3中的算式題（2）又復雜了很多，其計算過程的復述自然比2a×3a的過程復述要難很多：有字母，有指數，關鍵是還增加非同底數冪的式子，不分開說都不可能.由數到簡單的式，由簡單的式再到復雜的式，單項式乘法算式的每個變化都讓交流產生一次提升，也離法則的生成又近了一步，遞進設置情境的創設目的在不經意中便會達成，這樣的成效不正是每位一線教師期盼的嗎？

3.復述交流要注重抽象的及時性.

抽象是數學教學最核心的任務，任何一節課，抽象都客觀存在著，把握合適的時機進行抽象，往往能讓數學“四基”得到及時歸整，形成關聯緊密的知識網絡.因而，我們的常態教學一定要抓住抽象的時機，在學生的認知即將爆發的時刻及時展開教學抽象.以本文中所述案例為例，復述交流，絕不是就算式談運算過程，當學生獲得數學化的運算過程后，教師應引導學生及時對運算過程進行抽象，引入“系數”“次數”“同底數冪”等數學術語進行數學化處理，不再糾紛于“2次”“3次”之類的實際數值.只有這樣，概念或法則才能真正在學生列出算式、猜想過程、獲得結果后走上前臺，成為學習的主題.在上述片段中，無論是問題1還是問題2，筆者都強化了對運算過程的抽象處理，反復陳述“先將系數相乘，再把字母相乘”的運算流程，為的就是讓“單項式乘單項式”的法則及時出現在學生的視野中.基于如此多輪次的反復陳述與及時抽象，法則的適時歸納和自然生成也就在情理之中了.

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4.嚴云飛.《整式的乘法》教學案例評析［J］.中學教學參考，2016（8）.

5.褚愛華，曾美露.以問題為載體為學生創設思維和探索的空間——整式的乘法（一）教學設計與評說［J］.中學數學雜志（初中版），2008（1）.