重視反思 用好資源 總結提升
——分類討論思想的應用

☉江蘇省興化市戴澤初級中學 馬愛平

☉江蘇省興化市教育局教研室 陳德前

數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，教材中沒有專門的章節介紹它，而是伴隨著基礎知識的教學而展開的.在初中數學總復習中一定要重視對常用數學思想方法的復習，因為它們是數學的精髓，是解題的指導思想，更能使人受益終身.現以分類討論思想為例，談談對初中數學總復習中進行數學思想方法專題復習的一些淺見，供研討.

一、分類討論思想簡析

分類討論思想是在解題的過程中，將某一數學對象根據它的本質屬性，按照一定的原則或標準將它分成若干類，然后逐類進行討論解決，再把這幾類的結論匯總，得出問題的完整答案的一種思想方法.《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標》）指出：“分類是一種重要的數學思想.學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類，圖形的分類，代數式的分類，函數的分類等.在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程.教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質，如何區別不同對象的不同性質.通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想.學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題.”可見，掌握分類討論思想的精髓，會用分類討論的思想分析和解決新的數學問題，是《課標》中的基本要求.正因為如此，分類討論思想已成為中考重點考查的思想方法，題型有選擇題、填空題和解答題，試題難度一般都較大.

在解決數學問題時，有時會由于被研究對象的屬性不同，導致問題結果的不同，因而需對不同屬性的對象進行分類研究；或者由于在研究問題過程中會出現不同情況，因而需對不同情況進行分類研究.通過分類討論，可以將復雜的問題轉化為若干個簡單的問題，使我們能更清楚地看清問題的本質，同時分類的范圍為解題增加了條件，從而使得問題變得易于解決，起到了化繁為簡，化難為易的作用.

用分類討論思想解決問題的一般步驟是：（1）明確討論對象，弄清討論范圍；（2）選擇分類標準，進行合理分類；（3）按類尋找思路，逐類解決問題；（4）進行總結歸納，作出完整結論.

應用分類討論思想解決問題，關鍵是要掌握正確分類的兩個原則：（1）分類的對象是確定的，分類的標準是統一的；（2）分類應當不重復，不遺漏.分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據.

二、分類討論專題典例解讀

1.由字母取值不確定引起的分類討論

例1（2017年內蒙古自治區呼和浩特市中考題）已知關于x的不等式

（1）當m=1時，求該不等式的解集；

（2）m取何值時，該不等式有解，并求出解集.

解讀：本題是含字母系數的不等式問題，是中考中考查分類討論思想時常設計的題型.當m＝1時為常系數一元一次不等式，其解法與解一元一次方程類似，但在去分母和化系數為1時，要注意不等號的方向是否改變；當m為任意實數時，要求使該不等式有解時m的值（或范圍），并求出解集，屬解含字母系數的不等式問題，由于m+1的取值情況未知，所以要分類討論求解.先確定不等式有解的條件，再在有解的條件下，分類求出解集.必須注意：（1）當m=-1時，不等式為0x＜0，它對一切實數x均不成立，故此時不等式無解；（2）將不等式化為（m+1）x＜2（m+1）后，不能直接兩邊同除以（m+1）得到x＜2.

解：（1）當m=1時，不等式為，去分母得2-x＞x-2，解得x＜2.

（2）去分母得2m-mx＞x-2，移項合并得（m+1）x＜2（m+1）.當m≠-1時，不等式有解.當m＞-1時，不等式解集為x＜2；當x＜-1時，不等式的解集為x＞2.

2.由絕對值的定義引起的分類討論

例2（2015年江蘇省泰州市中考壓軸題改編）如圖1，已知一次函數y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數的圖像上，點P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.當d1+d2=3時，求點P的坐標.

圖1

解讀：這是一道一次函數綜合題，解法較多，能考查眾多的數學核心知識.由于點P在一次函數y=2x-4的圖像上，因此可以設P（x，2x-4），由P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2，根據絕對值的幾何意義，可將距離d1和d2分別轉化為含字母x的絕對值，得d1+d2=|x|+|2x-4|，再利用d1+d2=3即可得到含絕對值符號的方程|x|+|2x-4|=3，然后根據絕對值性質，按x的不同范圍進行分類討論求解.本題中出現了兩個絕對值符號，分段去掉絕對值符號是關鍵.可采用“零點分區間法”來思考：由x＝0和2x-4＝0，得x＝0和x＝2，則分為x＜0，0≤x≤2，x＞2這三段來分類求出x的值，即可確定出點P的坐標，但要注意檢驗取舍.

解：設P（x，2x-4），所以d1+d2=|x|+|2x-4|.因為d1+d2=3，所以|x|+|2x-4|=3.當x＞2時，有x+2x-4=3，解得x=，此時當0≤x≤2時，有x+4-2x=3，解得x=1，此時P（21，2）；當x＜0時，有-x+4-2x=3，解得x=與x＜0矛盾，應舍去.綜上所述，點P的坐標為（1，2）或

3.由對應關系不確定引起的分類討論

例3（2017年江蘇省南通市中考題）我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫這個三角形的“內似線”.

（1）等邊三角形的“內似線”的條數為__________；

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD.求證：BD是△ABC的“內似線”；

圖2

圖3

（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，F分別在邊AC，BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.

解讀：這是一道閱讀理解題，理解三角形的“內似線”的概念是解題的關鍵.（1）過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，利用平行線說明相似三角形即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠C=∠BDC，證△BCD∽△ABC即可；（3） 由于∠C=90°，則△CEF與△CAB相似，分兩種情況：①△CEF∽△CAB；②△CFE∽△CAB.因此，需分兩種情況求出EF的長.

解：（1）等邊三角形“內似線”的條數為3.理由：過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖4所示，則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，所以MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內似線”.

圖4

（2）因為AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，所以∠A=∠ABD=∠DBC=36°，所以BD平分∠ABC，即BD過△ABC的內心.因為∠C=∠C，∠DBC=∠A，所以△BCD∽△ABC，所以BD是△ABC的“內似線”.

（3）如圖5，設I為△ABC的內心，過點I分別作三邊的垂線，垂足分別為P，M，N，則IP=IM=IN.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，由三角形面積公式得3+4+5）·IP=所以IP=IM=IN=1.①當△CEF∽△CAB時，如圖5，∠CEF=∠CAB，∠EMI=∠ACB=90°，所以△MEI∽△CAB，所以所以同理可得所以②當△CFE∽△CAB時，如圖6，同上可得△MEI∽△CBA，△NFI∽△CAB，所以綜上可知

圖5

圖6

4.由圖形位置不確定引起的分類討論

例4（2015年江蘇省南京市中考題）如圖7，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數字3）

解讀：這是一道與等腰三角形和正方形相關的畫圖問題，解題的關鍵是合理分類，而分類的標準較多，主要有：可按三角形除頂點A以外的兩個頂點所在的四邊形ABCD邊上的情況進行分類，也可按腰和底的長分別是3來探究.具體解題時，常常將這兩種分類結合在一起，構成二級分類.在確定答案時，要注意排除大小相同的等腰三角形.

圖7

解：（1）等腰三角形的另兩個頂點分別在AB和AD上，有兩種情況：一是腰為3，如圖8①，其確定方法是：以A為圓心，3為半徑作弧，分別交AD、AB上的兩點，連接即可；二是底為3，如圖8②，其確定方法是：連接AC，以A為端點，在AC上截取1.5個單位，得到一個點，再過這個點作AC的垂線，交AD、AB上的兩點，連接即可.

（2）等腰三角形的一個頂點在AB上，有兩種情況：一是第三個頂點在BC上，如圖8③，其確定方法是：以A為端點在AB上截取3個單位，以截取的點為圓心，以3個單位為半徑畫弧，交BC于一點，連接即可；二是第三個頂點在CD上，如圖8④，其確定方法是：以A為端點在AB上截取3個單位，再作這條線段的垂直平分線交CD于一點，連接即可.

（3）等腰三角形的另兩個頂點分別在BC和CD上，如圖8⑤，其確定方法是：連接AC，在AC上，以C為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交BC、DC上的兩點，然后連接A與這兩個點即可.

（2）對自身專業英語學習參與度的認知。有40人（2.1%）認為自身專業英語水平很好，132人（7.0%）認為自身專業英語水平好，988人（52.1%）認為自身專業英語水平一般，547人（28.8%）認為自身專業英語水平差，190人（10.0%）認為自身專業英語水平很差。自我評價程度隨著年級越高而遞增，且年級間差異有顯著性（P=0.003），不同性別學生間差異有顯著性（P=2.096×10-4），學生干部的自我評價明顯高于非學生干部學生（P=1.482×10-4）。此外，專業英語題1正確率32.6%，專業英語題2正確率14.9%，反映了學生的自我評價具有一定客觀性。

另解：也可以先按照腰和底的長分別是3來分類，再按照腰或底在正方形邊上的情況分類：

（1）3為腰，有三種情況：一是兩腰在正方形邊上，如圖8①；二是一腰在正方形邊上，如圖8③；三是腰不在正方形邊上，這種情況不存在.

（2）3為底，有兩種情況，一是底在正方形邊上，如圖8④；二是底不在正方形邊上，如圖8②和8⑤.

圖8

5.由操作過程的不確定引起的分類討論

例5（2015年浙江省義烏、紹興市中考題）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，用兩個相同的管子在容器的5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm），現三個容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖9所示.若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升cm，則開始注水______分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm.

圖9

解讀：這是一道實驗操作類的填空壓軸題，由甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，注水1分鐘，乙的水位上升cm，得到注水1分鐘，丙的水位上升cm.設開始注水t分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，而甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：①當乙的水位低于甲的水位時；②當甲的水位低于乙的水位，且甲的水位不變時；③當甲的水位低于乙的水位，乙的水流向甲管，甲的水位開始上升時.因此，應分三種情況分別列方程求解.

解：因為甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高）的底面半徑之比為1∶2∶1，注水1分鐘，乙的水位上升cm，所以注水1分鐘，丙的水位上升cm.設開始注水t分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：①當乙的水位低于甲的水位時，有1-t=0.5，解得t=分鐘）.②當甲的水位低于乙的水位，且甲的水位不變時，因為t-1=0.5，解得t=因為=6＞5，所以此時丙容器已向乙容器溢水.因為5÷（分鐘），即經過分鐘丙容器的水到達管子底部，乙的水位上升故1=0.5，解得.③當甲的水位低于乙的水位，且乙的水流向甲管，甲的水位開始上升時，因為乙的水位到達管子底部的時間為分鐘），所以5-解得綜上所述，開始注水分鐘或分鐘或分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm.

6.由動態問題引起的分類討論

例6（2017年新疆烏魯木齊市中考題）如圖10，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0） 與直線y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經過點C（5，0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）P是拋物線上的一個動點（不與點A、點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E.

①當PE=2ED時，求P點坐標；

②是否存在點P使△BEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解讀：這是一道動態型綜合壓軸題，解題的關鍵是綜合應用數學知識，靈活運用分類討論、轉化、方程、數形結合等思想方法，動靜結合地進行探究.（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式.（2）①設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，設P（x，-x2+4x+5），則可表示出E、D的坐標E（x，x+1），D（x，0）.由于P是拋物線上的一個動點，所以點P的位置分三種情況：一是P點在拋物線上AB之間；二是P點在拋物線上A點的左側；三是P點在拋物線上B點的右側，用字母x表示PE和ED，再利用PE=2ED構造出關于x的方程，即可求出點P的坐標.②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質構造出關于x的方程，可求得E點坐標和P點坐標.

解：（1）因為點B（4，m）在直線y=x+1上，所以m=4+1=5，所以B（4，5）.把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得解得所以拋物線解析式為y=-x2+4x+5.

圖10

（2）①設P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0）.

ⅰ當P點在拋物線上AB之間時，PE=-x2+4x+5-x-1=-x2+3x+4，DE=x+1.因為PE=2ED，即-x2+3x+4=2（x+1），解得x1=2，x2=-1，所以點E（2，3）或E（-1，0），E（-1，0）與點A重合舍去，此時P（2，9）.

ⅱ當P點在拋物線上點A左側時，PE=x+1+x2-4x-5=x2-3x-4，ED=-x-1.因為PE=2ED，即x2-3x-4=2（-x-1），解同上.

ⅲ當P點在拋物線上點B右側時，PE=x+1+x2-4x-5=x2-3x-4，ED=x+1.因為PE=2ED，即x2-3x-4=2（x+1），解得x1=6，x2=-1，所以點E（6，7）或E（-1，0），E（-1，0）與點A重合舍去，此時P（6，-7）.

綜上可知P點坐標為（2，9）或（6，-7）.

②設P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），B（4，5），C（5，0），所 以當△BEC是等腰三角形時，分三種情況：

綜上所述，存在點P使△BEC為等腰三角形，坐標為

三、分類討論專題復習建議

1.重視反思，總結方法

在教學中，要重視幫助學生進行解題后的反思，總結出常見問題的分類方法：（1）對于解含字母系數的不等式問題，先要按照不等式有解和無解的條件來分類，在有解的前提下求解時，再按照未知數系數的正負性來分類的；（2）對于含有絕對值的問題，一般都需去掉絕對值符號，這就要根據絕對值性質進行分類討論，可采用“零點分區間法”來確定分類的標準；（3）對于全等三角形、相似三角形問題，可以按照頂點的不同對應順序來分類；（4）對于等腰三角形問題，既可以按照頂角與底角來分類，也可以按照腰和底來分類；（5）對于實驗操作類問題，可以按照操作中出現的不同情況進行分類；（6）對于動態問題，要根據圖形可能出現的不同位置來分類.恰當地分類，可以避免以偏概全，丟值偏解.

2.暴露過程，用好資源

學生在解決分類討論問題時常犯的錯誤主要有：（1）分類不正確，不能不重復又不遺漏地進行分類（如例4中的分類出現混亂）；（2）忽視對分類后得到的解的檢驗 （如例2中沒有把舍去 ），結果造成多解或漏解；（3）對分類后得到的相同結果持懷疑態度（如例3中分類后求出的EF的值相同）；（4）忘記將結論匯總，致使最后的答案表述不清楚.針對這些問題，教學時可先讓學生在自己審題的基礎上，獨立思考，寫出自己的思考過程，然后合作交流，通過小組匯報、答案展示、學生講題等形式來充分暴露學生的思維過程，教師在幫助學生總結歸納不同類型問題的特點、分類的基本策略和注意點的基礎上，抓住學生（特別是中下等生）的思維盲區，引導學生對典型錯誤加以剖析，用好課堂生成性資源，努力做到變錯為寶.

3.精講點撥，總結提升

例4、例5、例6是三道難度很大的問題，在教學時可抓住這三個典型例題，通過師生共同剖析（主要是學生講，教師點撥），由學生獨立完成例題的求解，再分組交流體驗和收獲，然后全班共同總結，從思想方法的高度加以提升.例4在學生審題的基礎上，讓學生思考、討論有哪些分類的方法，然后師生一起歸納出不同的分類方法，再讓學生有條不紊地畫出所有滿足要求的圖形，最后引導學生對得到的圖形進行甄別，剔除形式不同而實質相同的圖形；例5中由于有三個連通器，情況比較復雜，可在學生認真審題的基礎上，讓學生思考、討論，弄清甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況，進而得出分類的方法，再讓學生去求解；例6在學生思考、討論的基礎上，要重點對第（2）（3）兩題進行精講點撥，讓學生弄清如何對點P的位置和△BEC是等腰三角形進行分類，對等腰三角形的三種情況畫出分類后每一類中的靜態圖形，也可以通過幾何畫板進行演示，讓學生體會分類的合理性，并用多媒體展示完整的解答，以規范學生的表達過程.在課堂小結中，要引導學生對常用的分類求解策略和數學思想方法進行提煉，使之形成基本活動經驗，用以指導今后的解題活動.H