“角的分類”教學紀實與評析

高巍+劉圣良

教學內容：人教版小學《數學》四年級上冊第三單元“角的度量”第42頁例2及相關內容。

教學目標：

1.經歷動態認識各種角的過程，從度量角度認識直角、銳角、鈍角、平角、周角，掌握它們的度數及度數范圍。

2.在分類與探索角的關系中，體會并歸納角的旋轉定義，積累數學活動經驗，培養空間觀念。

3.在自主、合作、探究等學習中，學會與人合作、與人交流，養成良好的學習習慣。

教學重點：認識平角和周角，理解平角、周角、直角之間的關系。

教學難點：區別周角與0°角，理解銳角和鈍角的度數范圍。

教學過程：

一、回顧舊知，導入新課

1.復習學過的角。

師：我們都學過哪些角？

生：銳角、直角、鈍角。

師：這些角就藏在我們的生活中，你能把它們找出來嗎？

2.找出生活中的銳角、直角、鈍角。

（出示課件：在電子白板上，學生一一拖拽出角。）

生1：我從“A”字上找到了1個銳角。

生2：鐘表上的這個角是1個鈍角。

生3：我從三角板上找到了1個直角、2個銳角。

師：說說你是怎樣判斷的。

生：比直角大的是鈍角，比直角小的是銳角。

師：同學們真了不起，不僅能找出生活中的角，還能判斷角的種類。

3.導入新課。

師：今天我們就來學習角的分類。

二、借助操作， 探究特征

1.動態識角，明確分類。

（1）數學活動：用活動角表示出銳角、直角、鈍角。

活動要求：

①分一分：小組四個人分工，一人做直角，一人做銳角，一人做鈍角，小組長負責檢查。

②想一想，這些角是怎樣形成的？怎樣判斷一個角是直角？

③說一說：做完之后，小組同學之間互相說一說你們是怎么做的。

學生匯報：

生1：我做的是一個銳角，銳角比直角小一點兒。

生2：我做的是鈍角，鈍角比直角大一些。

生3：我做的是直角，我是用練習本的直角比的，正好一樣大。

生4：我是用三角板上的直角進行判斷的，比直角小的是銳角，比直角大的是鈍角，和三角板直角完全重合的是直角，所以我們小組做的角都對了。

師：還有什么辦法可以判斷是不是直角呢？

生1：還可以用直尺的直角比一比。

生2：我是用量角器判斷的，我量他做的角是90°，所以是直角。

師：誰跟他的方法一樣？你量的直角多少度？

…………

師：所有的直角都是90°嗎？請同學們量一量身邊的直角。

生1：我量的數學書的直角是90°。

生2：我量的三角板的直角是90°。

師：由此我們可以得出結論：直角=90°。（板書：直角=90°。）

師：剛才我們已經驗證了直角=90°，現在你能用度數定義銳角、鈍角了嗎？

生1：小于90°的角叫作銳角。

生2：大于90°的角叫作鈍角。（板書。）

【設計意圖：二年級時學生已經對直角、銳角、鈍角有了直觀的認識。讓學生找出生活中的角并判斷這角的種類，目的是幫助學生回憶以直角作為工具判斷角的種類的經驗。通過動手做角，讓學生進一步理解三種角之間的關系，引導學生通過量的方法，驗證直角=90°，得出直角的定義，再通過三種角的關系初步得出銳角和鈍角的度數范圍?！?/p>

2.回顧活動，歸納概念。

師：很好，同學們已經用度數來定義直角、鈍角、銳角了?；叵雱偛诺牟僮鬟^程，這些角是怎樣形成的？

生1：由一點引出兩條射線，所組成的圖形叫作角。

生2：是由一條邊旋轉得到的。

（師借助多媒體演示，邊演示邊講述。）

師：角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。

師：如果這條射線繞著它的端點旋轉30°形成的這個角是什么角？（銳角。）如果這條射線繞著它的端點旋轉45°形成的這個角是什么角？（銳角。）旋轉90°呢？（直角。）

師：如果這條射線接著繞它的端點旋轉到這里，是什么角？（鈍角。）

師：如果再旋轉，是什么角？（鈍角。）

師：你發現了什么？

生1：角的兩邊開口越大，角越大；開口越小，角越小。

生2：旋轉到90°是直角，小于90°是銳角，大于90°是鈍角。

3.動畫演示，認識平角、周角。

（1）認識平角，完善鈍角定義

多媒體動畫接著演示，一條射線接著旋轉（呈現平角）。

師：繼續旋轉到這里，是不是角呢？

生1：不是角，是一條直線。

生2：不是尖尖的，所以不是角。

生3：這是一個最大的鈍角。

生4：有頂點，在中間，兩條邊在一條直線上，所以是角。

師：這位同學的觀點你們同意嗎？

生：同意，因為這符合角的定義。

師：一條射線繞著它的端點旋轉半周，所形成的圖形的確是一個角。知道它的名字嗎？

生：平角。

師：平角的頂點在哪里？

生：中間的點。

師：平角多少度呢？（指名學生用量角器到前面量一量。）

生：我量出這個角的度數是180°。

師：180°的角是平角。（板書：平角=180°。）我們再回頭看看對鈍角的定義，大于90°的角叫鈍角，180°大于90°，那它是不是也符合鈍角的定義呢？endprint

師：誰能補充一下鈍角的定義呢？

生：大于90°小于180°的角叫作鈍角。

師：嗯，這樣概括就比較嚴密了。（板書：大于90°小于180°的角叫作鈍角。）

（2）認識周角，完善銳角定義

多媒體出示：一條射線繞著它的端點旋轉了一周。

師：這還是一個角嗎？

生1：不是，只有一條邊。

生2：是角，兩條邊重合了。

師：你同意誰的看法？

生：同意生2的看法。

師：這個圖形同樣是一個角，叫周角。你知道周角多少度嗎？

生：360°。

師：你是怎樣知道的？

生：它正好等于兩個平角。180°加180°等于360°。

師：1周角=360°。（板書：1周角=360°。）

師：平角和周角是兩種特殊的角，一個周角等于兩個平角。到底怎樣判斷是一條邊，還是兩條邊旋轉后重合了呢？

課件演示：一條射線圍繞端點旋轉了0度（實際上沒旋轉）這個角就是0°角。一條射線圍繞端點旋轉了360°（實際上旋轉了一周）（終邊和始邊重合）這個角是周角，在這里畫一個弧線表示一個角。

師：0°角是不是銳角呢？

生1：小于90°的角是銳角，所以0°角是銳角。

生2：銳角一定比0°角大。

師：0°的角實際上是一個初始狀態，還沒有形成真正意義上的角。所以，銳角就要比它大。

師：現在你能說說什么樣的角是銳角嗎？

生：大于0°，小于90°的角叫銳角。

師：只要在這個范圍之間的角都是銳角。（板書：大于0°，小于90°的角叫銳角。）

師：銳角和鈍角的概念給的都是一個范圍，而不是唯一的度數。

【設計意圖：在學生得出直角的定義之后，利用課件演示，幫助學生理解動態角的定義，再通過旋轉角認識平角和周角，抓住學生的認知沖突，引導學生完善銳角和鈍角度數定義范圍，實現角的認識從直觀到抽象的過渡?！?/p>

4.探索關系，明晰特征。

師：到現在為止，我們一共學習了哪幾種角？

生：銳角，直角，鈍角，平角，周角。

師：根據它們的度數特點，你能表示出它們之間的關系嗎？請同學們先獨立思考，完成學習單，然后再小組討論。

生1：銳角<直角<鈍角<平角<周角。

生2：周角>平角>鈍角>直角>銳角。

生3：因為平角等于180°，直角等于90°，兩個90°等于180°，所以1平角=2直角。

生4：周角等于360°，里面有兩個180°，有4個90°，所以，1周角=2平角=4直角。

師：同學們說得非常好，利用度數關系找到了平角、周角、直角之間的關系。實際上我們還可以回顧旋轉的過程，平角可以分成兩個直角，周角可以分成4個直角，兩個平角。（利用課件動態呈現各種角，并且呈現平角、周角分割成直角的動態圖。）

【設計意圖：學生在前面的活動中，已經對幾種角有了理性的認識，對于它們之間的關系又有一定的認識，所以，此環節放手讓學生自主探究各種角的關系，培養學生的自主探究和合作交流的能力?！?/p>

三、鞏固練習，提升能力

1.判斷下列各種說法對不對，并說明理由。

（1）平角就是一條直線。（ ）

（2）比鈍角小的角一定是銳角。（ ）

（3）大于90°的角一定是鈍角。（ ）

（4）兩個銳角的和一定比直角大。（ ）

2.圖中有幾個銳角？幾個直角？幾個鈍角？

3.下面兩個圖中的∠1與∠2是不是相等？說明理由。

四、交流收獲，總結全課

師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？還有哪些困惑？

生1：我知道了角可以分成銳角、直角、鈍角、平角、周角5類，而且知道它們的大小。

生2：我知道了0°角和周角不一樣，一個旋轉了一周，一個沒旋轉。

生3：我還知道了5種角之間的關系。

生4：我有個問題，大于180°小于360°的是什么角呢？

師引導拓展：（課件出示）旋轉角，大于180°而小于360°的角叫優角。

師：小于180°（即小于平角的角）大于0°的角叫做劣角，銳角、直角、鈍角都是劣角。關于角的知識在中學階段還將繼續深入學習，希望同學們能夠靈活扎實掌握本節課的知識，為今后攀登數學知識的高峰奠定良好的基礎。

反思：

“角的分類”是在學生初步認識角，會使用量角器量角的基礎上教學的。本節課的課題雖為“角的分類”，而實質是通過“分”，引導學生經歷動態認識各種角的形成過程，掌握它們的度數及度數范圍，最后探究出它們之間的關系。這部分知識比較抽象，對于四年級學生來說不容易理解。所以在教學時，我以學生的動手操作為主，充分發揮信息技術的優勢，營造生動活潑的學習氛圍，調動學生的多種感官，讓學生親身經歷數學概念形成的過程。培養學生的抽象概括能力和空間觀念。

一、借助操作過程，理解角的概念

為了幫助學生回顧已經初步認知的直角、銳角和鈍角的知識，我設置了讓學生從生活中熟悉的物體上找角，在電子白板上操作將各類角拖拽出來的數學活動。通過這樣的交互式操作活動，學生不僅興趣盎然地找到生活中的角，還能說出判斷的方法，為后面以直角度數為突破口定義銳角和鈍角做準備。

在探究各類角的特征過程中，我創設了動手操作活動，用活動角做出銳角、直角、鈍角，在交流反饋環節，聚焦直角，引導學生量一量身邊的直角的度數，最后得出結論：直角的度數是90°。通過這樣的做角、量角的操作活動，使學生進一步認識直角，學生根據已有的認知經驗，初步概括出鈍角和銳角的度數范圍。這一過程中，學生從直觀認識角過渡到利用度數來定義角，學生實現了從直觀認知上升到數學抽象層面的一次飛躍。然后引導學生回顧操作過程，歸納動態角的定義，學生有了活動的經驗，理解這一概念較容易，空間觀念也得到較好的培養。endprint

二、發揮信息技術優勢，突破教學重難點

平角和周角的認識是本節課的教學重點。我運用Flash動態演示平角和周角的形成過程，并及時進行追問。當一條射線旋轉到和另一射線在一條直線上時，我問學生是不是角？這時學生的意見出現分歧，這跟學生以往認識的角的確不同。這時，我運用課件的強調作用：平角的頂點被放大變成紅色，兩條射線分別延長，學生一下子就看出它完全符合角的特征，學生恍然大悟，它的確是角，是平角。周角的認知也是采用了同樣的方法動態演示，學生理解起來容易多了。辨析0°角和周角是本節課的難點，我運用Flash的動態效果，使學生看到：0°角的射線根本沒有旋轉，周角的射線正好旋轉了一周，和原來的那條射線正好重合。雖然，它們看起來都像是一條射線，但是，它們所表示的意義是不同的。多媒體課件動態的演示，為學生提供了直觀清晰的動態畫面，便于學生理解數學抽象的概念，同時，也使枯燥的數學更加生動、有趣，調動了學生學習的積極性。

評析：

本節課中，高老師能夠從學生已有的經驗和認知入手，充分利用直觀教具和信息技術手段，創設有效的數學活動，讓學生在動手操作和直觀演示中，豐富角的旋轉意義，建立各種角的表象。通過對話、交流，歸納角的旋轉定義以及梳理各種角的概念，實現對角的概念從直觀感性認識到理性的過渡，較好地落實了數學核心素養。

一、抓住概念本質特征，形成課堂教學主線

角的概念有兩個，其一是從一點引出兩條射線所組成的圖形，其二是由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。前者是本單元“角的認識”中重點內容，這一概念對靜態角的描述很直觀，學生便于理解。后者是本節課教學的重點，為深刻認識平角和周角，須要借助旋轉角的定義，這一概念是對動態角的定義，學生理解起來較困難。把兩個定義聯系起來，并且讓學生對銳角、直角、鈍角、平角、周角有一個動態的認識，形成角的概念的統一很重要?；仡櫛竟澱n的教學過程。整節課按照“復習舊知、激活經驗—操作學具、認識概念—直觀演示，認識新角—探究關系，內化概念”這樣的教學主線進行。在整個過程中，教師抓住了角的旋轉意義這一核心概念。從復習銳角、鈍角、直角到利用活動角學具進行操作，再到回顧操作、歸納角的定義。在這個過程中，學生通過操作學具積累了旋轉形成角的經驗，在交流中豐富了鈍角、銳角、直角的理性認識，然后，教師順勢在經驗與理性認知的基礎上歸納角的定義，實現了從靜態角到動態角概念的過渡。然后，教師借助信息技術動態呈現平角和周角，并通過旋轉角的定義認識這兩種角，較好地突破了教學難點。最后，放手讓學生探究幾種角的關系。整個教學過程，角的旋轉這一概念始終作為核心，從概念的建立到應用概念認識新角、探究各種關系，形成了一條圍繞旋轉角概念的清晰主線，為我們提供了概念教學的基本模式。

二、經歷概念構建過程，落實數學核心素養

隨著《中國學生發展核心素養》總體框架的頒布，數學核心素養越發引起教育界重視。本節課的數學核心素養重點是“培養學生空間觀念”，回顧本節課教學過程，教師是如何在角的概念教學中培養學生的空間觀念的呢？ 首先，教師充分利用操作學具和課件演示等直觀手段，幫助學生建立角的直觀表象。在角的概念教學環節，教師設計學生操作活動，在制作角的過程中體驗角的形成，直觀感悟銳角、直角、鈍角的大小關系。在匯報交流環節，通過課件演示，動態呈現射線繞著端點旋轉的過程，讓學生清晰地看到角的形成過程。這些環節的設計，為學生歸納和理解角的旋轉概念提供了豐富的感性認識，也充分幫助學生建立角的旋轉表象，為數學抽象認識角做好了鋪墊。其次，在探索各種角的度數定義和關系中，培養空間觀念。如，在探究周角和0°角的區別環節，當學生出現爭議時，教師演示課件并引導：一條射線圍繞端點旋轉了0°，實際上沒旋轉。一條射線圍繞端點旋轉了360°，實際上旋轉了一周。雖然最終的圖形一樣，但是一個表示轉，一個表示沒轉。通過直觀演示加深了學生對周角的認識，同時也幫助學生建立周角的空間觀念。再如，在教學幾種角之間的關系時，教師隨著學生的匯報，直觀呈現旋轉圖形，并且在探究直角、平角、周角的倍數關系時，不僅引導學生從數量上來分析360°和180°、90°之間的關系，而且還呈現平角和周角的等分圖，讓學生直觀看出它們的倍數關系，幫助學生建立幾種角的空間觀念。在這節課中，我們能夠感受到幾何概念需要直觀做支撐，也需要數量的精確界定，借助直觀演示、數量關系分析來理解概念以及概念之間的關系，不僅能夠讓學生深刻經歷概念的建構過程，也會幫助學生形成幾何直觀、空間想象的能力。

當然，教學是遺憾的藝術。本節課中也存在一些問題。如，教學方式不夠靈活，教師放手力度不夠，學生的主體地位不明顯，生生之間的互動較少，師生一對一問答較多，這種單一的教學方式制約著學生的思維，制約著學生數學核心素養的發展。

編輯/魏繼軍endprint