雙相外激波擺桿活齒傳動耦合剛度

宜亞麗　豆林瑞　郭　輝　金賀榮

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

0　引言

雙相外激波擺桿活齒傳動的激波凸輪為幾何軸對稱形式，易實現活齒嚙合副的整體靜動態受力自平衡，工程應用前景良好?；铨X傳動裝置的構件組成、工作狀態與載荷變化決定了其本質上是一個多因素耦合作用的動力學系統，其動態性能的研究一直是學者們關注的熱點。

李懷勇等[1-2]對滾柱活齒傳動嚙合力與自由振動進行了研究。安子軍等[3-4]對擺線鋼球傳動的扭轉剛度與系統自由振動進行了研究。周思柱等[5]分析了圓柱正弦活齒傳動的嚙合作用力和扭轉剛度，并建立了系統扭轉振動模型。李沖等[6]建立了機電集成壓電諧波傳動系統活齒傳動的動力學模型，并推導了其動力學微分方程。上述研究多為求解結構自由振動模態，而轉子動力學理論研究的重點是隨轉速變化的轉子振動特性。隨著傳動機構向高轉速化方向發展，轉速對傳動裝置振動特性的影響越來越大，因此應用轉子動力學理論對活齒傳動機構進行動態特性研究，以合理確定結構參數，減小振動，提高傳動性能。雙相外激波擺桿活齒傳動變速機構可視作雙轉子系統[7]，激波凸輪與中心輪通過離散的活齒聯動，系統動態特性受離散活齒的耦合效應的影響，因此對聯動處耦合剛度的研究是對活齒傳動機構進行轉子動力學精確建模的基礎。

本文以雙相外激波擺桿活齒傳動機構為研究對象，綜合Palmgren形變關系公式以及變形協調條件，推導了隨激波凸輪轉角變化的時變耦合剛度計算公式，并進行了算例求解，分析了結構參數對傳動耦合剛度的影響。

1　雙相外激波擺桿活齒傳動耦合剛度

雙相外激波擺桿活齒傳動結構如圖1所示，外激波凸輪與輸入軸相連，中心輪與輸出軸相連，活齒架固定，擺桿一端通過銷軸鉸接于活齒架。當外激波凸輪以轉速ωH逆時針轉動時，凸輪徑向尺寸發生變化，迫使活齒隨擺桿擺動，活齒壓迫中心輪，使中心輪以轉速ωK轉動，完成減速傳動。相鄰活齒嚙合副存在等間隔相位差，傳動過程中交替往復運動，從而保證了活齒傳動的連續性。

1.外激波凸輪　2.擺桿　3.活齒　4.中心輪　5.銷軸圖1　外激波擺桿活齒傳動結構Fig.1　Structure of outer generator swinging rod movable teeth transmission

此時，機構的傳動比為

iHK=ωH/ωK=ZK/(ZK-Zg)

(1)

式中，ZK為中心輪齒數；Zg為活齒齒數。

由于活齒架固定，因此激波凸輪與中心輪可分別視作高速、低速轉子，高轉速下，二者受偏轉力矩以及陀螺效應的影響，在軸截面內渦動，所以二者之間起傳動作用的活齒-活齒架系統可視作中介軸承，使二者振動產生耦合效應。已有研究表明，中介軸承的時變剛度直接影響了雙轉子的橫向耦合振動[8-9]，是系統非線性振動的根源[10]。定義活齒傳動耦合剛度為中心輪相對激波凸輪在徑向上產生單位位移時所要施加的力，其計算時需要依托參數化的齒形方程?；铨X傳動耦合剛度既是評價活齒齒形傳動性能的指標，又是活齒傳動轉子動力學方程精確建模的基礎。

2　雙相外激波擺桿活齒傳動齒形構建

2.1　雙相外激波凸輪齒形設計

建立圖2所示坐標系，R為激波凸輪的基圓半徑，h為行程，φ為推程運動角，φ為矢量P(φ)相對激波凸輪的轉角，徑向尺寸增量s(φ)選用三階導數連續、運動過程中無剛性、柔性沖擊的擺線類函數：

圖2　外激波凸輪設計原理圖Fig.2　Design of outer generator cam

回程BC與推程AB關于y軸對稱，則構建了一個轉角范圍為0～2φ的完整激波齒形ABC，CDA與ABC關于x軸對稱，構成雙相激波凸輪齒形，用復數矢量法表示為

P(φ)=(R+s(φ))ejφ

(2)

雙相外激波凸輪在幾何形狀上是一個雙波幅180°布置的環形凸輪，兩個波幅對稱，質心位于回轉中心，它消除了單相激波偏心引起的離心慣性力，實現激波凸輪自平衡，適用于輸入高轉速。

2.2　中心輪齒形生成

如圖3所示，建立與活齒架固連的坐標系oxy，ox1y1與外激波凸輪固連，ox2y2與中心輪固連，3個坐標系的起始位置重合，活齒中心位于激波凸輪曲線向徑最低點A。圖3中，C點為擺桿與活齒架的鉸接點，α0為初始位置P(φ)與oC夾角，α為任意位置P(φ)與oC夾角，δ=α-α0，φK為矢量P(φ)相對中心輪的轉角，c為C點到坐標原點o的距離，l為擺桿長度。當ox1y1轉過一個角度θ(θ=φ-δ)時，ox2y2轉過的角度θi=θ/i。在激波凸輪曲線齒形約束下，轉動過程中，擺桿以C點為中心順時針擺動，矢量P(φ)從初始位置A點到達B點，曲線AB即為中心輪的理論齒形，再以活齒半徑等距包絡可形成中心輪的實際齒形。

圖3　中心輪齒形生成原理圖Fig.3　Generating of center wheel tooth profile

各角度變量之間的關系為

φK=[φ+(1-iHK)α0+(iHK-1)α]/iHK

式中，p(φ)為矢量P(φ)的模。

則中心輪理論齒形可表示為

PK=(R+s(φ))exp(jφi)

(3)

2.3　傳動壓力角推導

設活齒對中心輪的壓力角為αPKi，激波凸輪對活齒的壓力角為αPHi，如圖4所示。

圖4　壓力角解析圖Fig.4　The illustration of pressure angle

中心輪理論齒形的切線方向矢量為

中心輪實際齒形為理論齒形的等距線，設r為活齒半徑，則等距向量為

VK=rdPKiejπ/2

因此中心輪實際齒形的矢量方程為

分別用QKi、TKi表示接觸點處壓力方向與速度方向向量，則有

QKi=dPKiejπ/2

兩方向矢量的夾角即為壓力角，即

與活齒對中心輪的壓力角推導原理相同，激波凸輪對中心輪的壓力角為

3　系統徑向力計算

(4)

式中，i為圖5中各位置處活齒對應編號。

圖5　系統徑向受力分析模型Fig.5　Model of system contact force analysis

3.1　活齒靜力平衡方程

擺桿活齒嚙合傳動具有周期性，各個并聯嚙合副從嚙合開始到結束的工作過程完全相同，相鄰兩個嚙合副僅相差一個相位。離散齒受力與形變情況與所處嚙合相位對應，不同活齒在每個嚙合周期運動循環中的受力情況相同，不失一般性。任選第i個活齒作為研究對象，通過對該活齒在整個嚙合周期內的受力分析可表征在任意嚙合狀態下全部活齒的受力狀況。

圖6　活齒受力分析模型Fig.6　Model of movable teeth contact force analysis

各角度的關系為

式中，當活齒接觸點位于激波凸輪推程區間時式中“±”取“-”，位于回程區間時式中“±”取“+”。

在圖6中，由活齒靜力平衡得

(5)

3.2　系統變形協調條件

在滿足計算精度的條件下，采用Palmgren經驗公式[11]進行線接觸彈性趨近量的計算，滾動軸承計算中常用的Palmgren經驗公式為

對于軸承鋼，材料泊松比υ1=υ2=0.3，彈性模量E1=E2=206 GPa，線接觸寬度b取樣機用活齒寬度10 mm，得到活齒接觸對中所受法向力FKi與彈性變形量ΔYi的關系：

(6)

活齒i的法向力FKi、FHi分別產生的彈性變形ΔKi、ΔHi滿足系統變形協調方程：

(7)

3.3　徑向力計算

聯立式(5)～式(7)得活齒i對中心輪的法向力：

(8)

i=1,2,…,Zg/2

系統為多齒嚙合接觸，以圖5中所示位置為計算的初始位置，中心輪下移，活齒2、3擠壓受力?；铨X1、4處于邊界狀態，隨著中心輪逆時針轉動，中心輪與活齒1的接觸點處于中心輪齒廓的齒根到齒頂推程區間，活齒1受力，而活齒4的接觸點處于回程區間，因而不受力，活齒5、6與中心輪分離，也不產生接觸力，即整個系統始終有半數活齒受力。多齒法向力在Y向投影得到系統徑向力受力平衡方程為

(9)

將式(8)代入式(9)可得系統整體徑向力：

(10)

4　系統耦合剛度的計算

不同于圓柱滾子軸承支撐剛度的各向同性，活齒傳動受齒形影響，其耦合剛度需在X、Y兩垂直方向上進行數值標定。

根據剛度定義，系統Y向剛度KY為

(11)

定義Y向剛度系數為

(12)

按相同計算流程可得X向剛度系數

(13)

5　結構參數對剛度系數影響分析

根據某輸送機械用減速器設計要求，雙相外激波擺桿活齒傳動結構參數如表1所示，以此作為基本數據，討論單變量對剛度系數的影響。

表1　活齒傳動系統結構參數Tab.1　Structural parameters of movable teeth driving system

選取結構參數中對齒形影響較大的行程h、擺桿長度l以及活齒數目Zg，針對這些參數對剛度系數的影響進行了分析。由圖7可知，隨著推程h的變大，剛度系數CKX與CKY均呈現最小值變小，極大值變大的變化規律，當h增大28%時，二者波動幅值分別增大了30%與53%，二者均值增大分別為3.3%與3.4%，可見h對剛度系數的波動幅值影響較大，而對剛度系數均值的大小影響并不明顯。

(a)X向剛度系數CKX

(b)Y向剛度系數CKY圖7　行程h對剛度系數的影響Fig.7　Influence of h on stiffness coefficient

由圖8可知，隨著擺桿長l的變大，CKX與CKY均變大，當l增大50%時，二者波動幅值分別增大3.6%與2.8%，二者均值分別增大1.5%與1.7%，可見l對剛度系數的波動程度與均值的影響都不明顯。

(a)X向剛度系數CKX

(b)Y向剛度系數CKY圖8　擺桿長l對剛度系數影響Fig.8　Influence of l on stiffness coefficient

(a)X向剛度系數CKX

(b)Y向剛度系數CKY圖9　活齒數Zg對剛度系數的影響Fig.9　Influence of Zg on stiffness coefficient

由圖9可知，隨著活齒數目Zg的變大，剛度系數CKX與CKY均呈現“整體平移”式增大，當活齒數目由6增加到10時，二者均值分別提高了30.3%與33.3%，曲線波動方差分別降低了62.7%與60%，可見增大活齒數目可以增大剛度系數的均值，提高剛度系數的波動穩定性。

由于雙相激波傳動結構的對稱性，剛度系數CKX、CKY的變化曲線在推程段和回程段是對稱的。在激波凸輪推程階段，剛度系數曲線先升后降，且整個周期中的幅值波動明顯，這是活齒傳動轉子系統非線性振動的重要原因。

6　結論

(1)以外激波擺桿活齒傳動為研究對象，運用復數矢量法構建了激波凸輪齒形，基于轉速變換原理推導了中心輪的理論和實際齒形，實現了外激波擺桿活齒傳動齒形參數化設計。

(2)根據擺桿活齒傳動特點提出了耦合剛度的概念及計算方法，實例計算表明：剛度系數變化明顯，是擺桿活齒傳動雙轉子系統非線性振動的重要原因，提出的耦合剛度概念也可應用于其他類型活齒傳動。

(3)主要結構參數中行程h對剛度系數穩定性的影響較大，而擺桿長l對剛度系數影響不明顯，增大活齒數目Zg可明顯提高剛度系數的均值，提高剛度系數的穩定性。

參考文獻：

[1]李懷勇,許立忠. 桿式壓電電機傳動系統中活齒受力分析[J]. 工程力學,2014,31(1):201-207.

LI Huaiyong, XU Lizhong. Force Analysis of the Movable Teeth in the Bar-type Piezoelectric Motor Driving System[J]. Engineering Mechanics ,2014,31(1):201-207.

[2]李懷勇,許立忠. 新型桿式壓電電機柔輪的自由振動分析[J]. 中國機械工程,2013,24(19):2651-2656.

LI Huaiyong, XU Lizhong. Free Vibration Analysis of Flexible Ring for a New Bar-type Piezoelectric Motor [J].China Mechanical Engineering, 2013,24(19):2651- 2656.

[3]安子軍,楊榮剛,徐賀偉. 擺線鋼球行星傳動耦合扭轉剛度研究[J]. 機械傳動,2016,40(3):35-38.

AN Zijun, YANG Ronggang, XU Hewei. Research of the Coupled Torsional Stiffness of Cycloid Ball Planetary Transmission [J]. Journal of Mechanical Transmission, 2016,40(3):35-38.

[4]安子軍,楊榮剛,段利英. 擺線鋼球行星傳動自由振動分析[J]. 中國機械工程,2016,27(14):1883-1891.

AN Zijun, YANG Ronggang, DUAN Liying. Analysis of Vibration of Cycloid Ball Planetary Transmission [J]. China Mechanical Engineering, 2016,27(14):1883-1891.

[5]周思柱,曾運運,袁新梅. 圓柱正弦活齒傳動扭轉振動系統剛度研究[J]. 中國機械工程,2015,26(20): 2711-2715.

ZHOU Sizhu, ZENG Yunyun, YUAN Xinmei. Study on Stiffness of Torsional Vibration System on Cylinder Sine Oscillation Tooth Transmission[J]. China Mechanical Engineering, 2015,26(20):2711-2715.

[6]李沖,許立忠,邢繼春. 壓電諧波傳動系統活齒傳動自由振動分析[J]. 中國機械工程,2015,26(1):12-17.

LI Chong, XU Lizhong, XING Jichun. Free Vibration of Oscillating Tooth Drive for an Electromechanical Integrated Harmonic Piezodrive System [J]. China Mechanical Engineering, 2015,26(1):12-17.

[7]HU Qinghua, DENG Sier, TENG Hongfei. A 5-DOF Model for Aeroengine Spindle Dual-rotor System Analysis [J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2011,24(2):224-234.

[8]廖明夫,劉永泉,王四季,等. 中介軸承對雙轉子振動的影響[J]. 機械科學與技術,2013,32,(5):641-646.

LIAO Mingfu, LIU Yongquan, WANG Siji, et al. The Vibration Features of a Twin Spool Rotor System with an Inter-bearing [J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2013,32,(5):641-646.

[9]鄧四二,賀鳳祥,楊海生,等. 航空發動機雙轉子-滾動軸承耦合系統的動力特性分析[J].航空動力學報, 2010, 25(10): 2386-2395.

DENG Sier, HE Fengxiang, YANG Haisheng, et al. Analysis on Dynamic Characteristics of a Dual Rotor-rolling Bearing Coupling System for Aero-engine [J]. Journal of Aerospace Power, 2010, 25(10):2386-2395.

[10]曹宏瑞,李亞敏,何正嘉,等. 高速滾動軸承-轉子系統時變軸承剛度及振動響應分析[J]. 機械工程學報2014, 50(15): 73-81.

CAO Hongrui, LI Yamin, HE Zhengjia, et al. Time Varying Bearing Stiffness and Vibration Response Analysis of High Speed Rolling Bearing-rotor Systems [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(15):73-81.

[11]羅繼偉,羅天宇. 滾動軸承分析計算與應用[M].北京:機械工業出版社,2009:18-19.

LUO Jiwei, LUO Tianyu. Analysis and Application of Rolling Bearing [M]. Beijing: China Machine Press, 2009:18-19.

(編輯張洋)