風洞六自由度機構運動解耦性分析

孫　琦　謝志江　吳經緯　李　晟　宋寧策

重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044

0　引言

在飛行器型號研制中，為了解決炸彈、副油箱、導彈等外掛物從其母機分離后，可能撞擊母機或其他鄰近外掛物而危及母機安全的問題，迫切需要確定外掛物離開母機初始階段的運動軌跡特性，為外掛物在其母機上的合適布局和投放參數控制提供依據。

在高速風洞試驗中，捕獲軌跡試驗法就是一種測量外掛物投放運動軌跡的先進試驗方法，它利用計算機、支撐外掛物模型的六自由度機構和風洞三者之間的相互配合，來實現對外掛物投放軌跡的模擬。其中，六自由度機構向支撐于其上的外掛物模型提供俯仰、偏航、滾轉、縱向、橫向和鉛垂向六種運動形態。模型均為專門定制的易損、價格昂貴的重要關鍵部件，且試驗時不同的模型需要更換不同長度的尾支桿，因而對六自由度機構在設計上的總體要求較多，如風洞試驗的堵塞度、剛度、強度、結構布局、驅動力、平穩性、精準度、運動范圍等[1-2]。

重慶大學以串聯機器人結構為設計基礎，研制了一套風洞六自由度機構，該機構存在阻塞度小、剛性好、特定尾支桿長度滿足運動解耦、不同模型便于更換尾支桿等優點。

串聯機器人的運動學分析大多采用D-H參數法[3-6]，但該方法建立局部坐標系的過程較復雜，且當相鄰關節軸線接近平行時，機器人會出現奇異性問題。一些學者采用增加參數的方法來解決奇異性問題，帶來了模型建立過程不直接、形式復雜、缺少通用性等新問題[7-9]。一種新的求解方法是利用旋量建立運動學模型，應用指數積求解運動學方程，該方法最早由Brockett引入機器人建模，相比于D-H參數法，該方法具有在慣性坐標系中從整體上描述剛體運動的優點，避免了D-H參數法應用局部坐標系描述的不足，大大簡化了機構的分析及求解過程[10-12]。

機器人機構的運動解耦特性對機器人的控制及運動精度非常重要。運動解耦型的機器人其運動自由度可由相應的運動輸入單獨實現，因此機構更容易控制和實現更高的運動精度。在已有大部分多自由度串聯機器人的設計中，一般都遵循了這樣的原則。但是對于尾支桿經常更換的風洞六自由度機構，模型的某些姿態角卻具有不解耦的特征，這將直接影響到運動軌跡規劃和實時控制[13]。

本文對設計出的某種風洞六自由度機構進行運動學分析，提出了一種尾支桿變換后不解耦的姿態角補償方法，并通過激光跟蹤儀標定試驗[14-16]進行驗證。

1　六自由度機構的結構組成

該六自由度機構結構緊湊，可簡單可靠地實現功能要求。為避免機構和風洞試驗段的干涉及提高機構本身的剛性和結構合理性，本套機構六個自由度實現順序依次為：橫向自由度Z、縱向自由度X、偏航自由度β、法向自由度Y、俯仰自由度α、滾轉自由度γ。分別設計了Z向驅動機構、X向驅動機構、偏航機構、Y向驅動機構、俯仰機構、滾轉機構。整體機構如圖1所示，其中機構五個自由度均在流場外，只有一個尾部支撐的滾轉自由度處在流場中，進而成功實現了阻塞度的最小化。

1.Z向導軌　2.Z向滑塊　3.X向滑塊　4.偏航直線滑塊 5.偏航連桿　6.偏航弧形導軌　7.Y向滑塊　8.俯仰直線滑塊 9.俯仰連桿　10.俯仰弧形滑塊　11.滾轉尾支桿圖1　六自由度機構Fig.1　6-DOF mechanism

該機構的X向移動、Y向移動、Z向移動均通過兩個高精度直線導軌導向，伺服電機驅動精密滾珠絲杠單獨實現，滾轉機構則直接通過力矩電機驅動轉軸實現，為便于尾支桿的更換，尾支桿與轉軸之間通過楔形銷連接。

偏航和俯仰運動分別通過單獨的偏航機構和俯仰機構實現，實現原理均是滑塊曲柄機構，如圖2所示，直線滑塊由滾珠絲杠驅動，角度導向裝置采用高精度弧形導軌。

1.直線滑塊　2.轉軸a　3.直線導軌　4.連桿 5.轉軸b　6.弧形滑塊　7.弧形導軌圖2　滑塊曲柄機構Fig.2　Slider crank mechanism

偏航機構由于現場風洞試驗段空間限制，采用弧形滑塊固定、弧形導軌運動的安裝方式，因此偏航機構的直線導軌和弧形滑塊均固定于驅動基座上，弧形導軌和轉軸b則固定于執行基座上。滾珠絲杠驅動直線導軌上的滑塊往復運動，經連桿5傳遞，帶動固連于執行基座上的弧形導軌沿固連于驅動基座上的弧形滑塊做圓周往復運動，從而實現偏航運動。而俯仰機構則是弧形導軌固定、弧形滑塊運動的安裝方式。顯然，偏航機構和俯仰機構的旋轉中心均是各自弧形導軌的圓心。

從運動解耦性而言，機構設計時應保證偏航和俯仰機構的旋轉中心在一條鉛垂線上，并把兩個旋轉軸的交點(實則為俯仰機構的旋轉中心)定義為機構的旋轉中心。運動簡圖的坐標系OqXqYqZq就建立在機構旋轉中心，方向與風洞坐標系保持一致即沿風洞軸線噴管指向擴壓器方向為正X方向，鉛垂向上為正Y方向，Z方向根據右手定則判定。

2　運動學分析

2.1　李群及旋量理論

剛體的任一位形可由物體坐標系S相對固定坐標系T的位置t∈R3和姿態R∈SO(3)確定，其所有位形組成的空間稱為剛體的位形空間，記作SE(3)：

SE(3)={(R，t)}

(1)

其中，SO(3)為三維旋轉群，且滿足

SO(3)={R∈R3×3:RRT=I，det(R)=1}

(2)

(3)

設ω=(ω1，ω2，ω3)表示剛體轉動中旋轉軸方向的單位矢量，則：

(4)

(5)

其中，對于轉動副，θ為轉動的角度，對于移動副，θ為移動的距離。

在剛體上的物體坐標系T相對于慣性坐標系S的位姿變換可以用剛體運動gST(θ)來表示，以gST(0)表示物體坐標系相對于慣性坐標系的初始位形，則剛體相對于某一特定軸做螺旋運動ξ，可以表示為

(6)

2.2　串聯機器人正向運動學的指數積公式

定義機器人的初始位形(或參考位形)為機器人對應于θ=0時的位形，并用gST(0)表示機器人位于初始位形時慣性坐標系與工具坐標系間的剛體變換。對于每個關節都可以構造一個單位運動旋量ξi，用它可以表示第i個關節的螺旋運動，這時除第i個關節之外的所有其他關節均固定于初始位形(θj=0)。

對于轉動副，有

(7)

對于移動副，有

(8)

這時，機器人正向運動學的指數積公式如下：

(9)

利用指數積公式，機器人的運動學完全可以用機器人各個關節的運動旋量坐標表征。

2.3　六自由度機構運動學分析

首先考慮一般情況，即更換尾支桿后，尾支桿長度不滿足模型質心與機構旋轉中心重合的情況下，對機構進行運動學求解。該情況下機構的運動簡圖見圖3。圖中只保留了偏航和俯仰的弧形導軌和弧形滑塊。由于外掛物的三個姿態角均是相對于模型質心定義的，因此偏航轉軸和俯仰轉軸分別為NN′和MM′，兩軸交于模型質心S，以S點為坐標原點建立工具坐標系{S}。

圖3　六自由度機構運動簡圖Fig.3　The kinematic diagram of the 6-DOF mechanism

建立慣性坐標系{T}即風洞坐標系，取六個自由度都為零的位形為初始位形，此時點T為機構的旋轉中心。設尾支桿長度變化量為Δl(尾支桿變短Δl取正值，變長則取負值)，則初始位形下工具坐標系相對于慣性坐標系的剛體變換為

各個關節的單位運動旋量計算如下。

因此可得

(10)

nx=cθ3cθ5ny=sθ5nz=-cθ5sθ3

ox=sθ3sθ6-cθ3cθ6sθ5oy=cθ5cθ6

oz=cθ3sθ6+cθ6sθ3sθ5

ax=cθ6sθ3+cθ3sθ5sθ6ay=-cθ5sθ6

az=cθ3cθ6-sθ3sθ5sθ6

其中，cθ表示cosθ，sθ表示sinθ。

由式(10)可得，模型質心與機構旋轉中心不重合時，質心S相對于慣性坐標系的位置坐標為

TS=(θ2+Δl，θ4，θ1)

(11)

令Δl=0，由式(10)即可得尾支桿長度滿足模型質心與機構旋轉中心重合情況下六自由度機構的正運動學指數積公式為

(12)

3　運動解耦性分析

參考實際的機械結構可以發現，無論尾支桿長度如何變化，偏航機構和俯仰機構始終都是以各自的旋轉中心(弧形導軌圓心)做旋轉運動，各自的旋轉軸即為圖3中的EE′和FF′。機構旋轉中心相對于工具坐標系始終保持不變，因此偏航機構和俯仰機構實際上是繞定軸做旋轉運動。

但是模型的三個姿態角始終是相對于模型質心進行定義，尾支桿長度變化后，且當六個自由度都為零時，質心即為圖3中的S點，當機構發生運動后，該點相對于工具坐標系的位置也始終保持不變，相對慣性坐標系的位置坐標則為(θ2+Δl，θ4，θ1)。

滾轉角γ始終繞工具坐標系的XS軸做旋轉運動，軸線上任何一點都可以看成滾轉中心，因此尾支桿長度的變化不會對滾轉角γ造成任何影響，卻會對偏航角β和俯仰角α產生影響。

根據機構旋轉中心的定義，設S點相對于慣性坐標系的初始點為(θ2+Δl，θ4，θ1)，模型的偏航角β和俯仰角α相對于模型質心的運動過程如下：首先偏航角β和俯仰角α仍以機構旋轉中心進行旋轉運動，此時模型質心S點也將與機構旋轉中心同步發生旋轉運動至S′點，然后再通過X、Y、Z三軸的平移將S′點平移回初始點S，平移過程不會改變模型的姿態角。

(13)

由式(13)可以得出S′點相對于慣性坐標系的位置坐標為

TS′=(θ2+Δlcθ3cθ5，θ4+Δlsθ5，θ1-Δlcθ5sθ3)

(14)

由式(11)和式(14)可以得出，將S′點平移至S點，平移向量TS′S為

TS′S=TS-TS′=
(Δl(1-cθ3cθ5)，-Δlsθ5，Δlcθ5sθ3)

(15)

則向量TS′S沿慣性坐標系三個坐標軸的分量為

(16)

通過以上分析可知，當Δl=0即模型質心與機構旋轉中心重合時，根據式(15)有TS′S=0，即不需要平移運動，機構就能單獨完成偏航運動和俯仰運動，因此機構是完全解耦的。當模型質心與機構旋轉中心不重合時，偏航角β和俯仰角α相對于模型質心的運動不但需要偏航機構和俯仰機構本身參與控制，還需要X、Y、Z三個移動自由度參與控制，因此偏航運動和俯仰運動是不解耦的。

4　補償試驗

在風洞六自由度機構尾支桿更換后，機構在模型質心與機構旋轉中心不重合時，當機構執行俯仰角α和偏航角β時，需要在X、Y、Z三個坐標軸上提供相應補償量。為了驗證該指數積方法推論出不解耦姿態角在X、Y、Z三個坐標軸上補償量的正確性，更換尾支桿(Δl=60 mm)后，通過控制程序對機構在不同姿態角下先進行理論值補償后，然后再檢測模型質心的實際位置。該試驗系統由激光跟蹤儀、3個靶標座和風洞六自由度機構組成，如圖4所示。

圖4　標定試驗系統Fig.4　System of calibration experiment

首先將3個靶標座固定到尾支桿末端外掛物端面上，控制該六自由度機構運動到某一位姿，并通過控制程序補償相應位移量，記錄此時機構控制程序上顯示的位姿信息X、Y、Z、α、β、γ，同時記錄外掛物上3個靶標點的坐標P1、P2、P3。換不同姿態重復上述操作，記錄6組不同數據如表1所示。

表1　標定試驗記錄Tab.1　Records of calibration experiment

根據剛體特性，只需要在末端執行器或工件上布置三個以上不在同一條直線上的靶標點，就可以實現對位置和姿態的測量。通過測得靶標點P1、P2、P3的坐標可以換算出當前外掛物質心的實際位姿X′、Y′、Z′、α′、β′、γ′，與外掛物理論位姿X、Y、Z、α、β、γ的差值，如圖5所示。從圖5中可以看出采用該指數積方法補償后，該風洞六自由度機構在X、Y、Z位移方向誤差在0.1 mm以內，姿態角α、β、γ誤差在1′以內，具有較高精度，達到使用要求，驗證了該方法的正確性。

(a)位置誤差

(b)姿態誤差圖5　位姿誤差Fig.5　Compensated posture error

5　結語

本文設計了一種適用于某風洞的六自由度機構，基于李群及旋量理論，建立了六自由度機構的指數積運動學模型，得出了機構運動學正解，在已知各關節變量時，可求得外掛物模型相對于風洞坐標系的位姿。根據運動學正解公式推導出了模型質心與機構旋轉中心不重合時模型偏航運動和俯仰運動的移動補償量。通過更換尾支桿后進行理論補償，采用激光跟蹤儀標定外掛物模型質心的實際位姿，與理論位姿對比，誤差范圍能達到工程使用要求，證明了該方法的可行性，為機構運動軌跡規劃和控制研究提供了理論基礎，同時對具有相似結構的六自由度機構有一定的借鑒意義。

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(編輯王旻玥)