諧波齒輪的側隙規律研究與有限元模型仿真

楊朋朋　陳曉霞　邢靜忠　姚云鵬

1.天津工業大學機械工程學院，天津，3003872.天津市現代機電裝備技術重點實驗室，天津，300387

0　引言

諧波齒輪傳動技術是在20世紀50年代末發展起來的一種新型機械傳動技術。諧波齒輪具有運動精度高、質量和體積小、傳動比大、參與嚙合齒數多和傳動效率高等獨特優點，廣泛應用于機器人、航空航天、光學儀器等領域[1]。在設計時保證齒間合理的側隙是保持諧波齒輪這些優越性能的前提，側隙不足，就會在過載時導致干涉。因此如何獲得齒間合理的側隙，保證輪齒不發生干涉，是一個很重要的課題[2-4]。

伊萬諾夫[2]對齒廓干涉條件以及側隙理論計算方法進行了研究。沈允文等[3]對諧波齒輪傳動的嚙合干涉問題以及側隙計算問題建立了理論方法。辛洪兵等[5]建立了初始嚙合側隙計算的數學模型，研究了諧波齒輪初始嚙合側隙的變化規律。殷燕[6]進行了零側隙漸開線諧波齒輪傳動的參數優化設計及有限元分析，以零側隙為目標函數，完成了嚙合參數的優化。CHEN等[7-8]提出了雙圓弧公切線齒廓諧波齒輪的側隙計算方法，并依據齒間側隙進行了干涉檢查。劉鄧輝等[9]考慮柔輪筒體錐度變形進行了空間齒廓設計，并求解了空間齒廓的側隙分布。以上的研究雖有涉及側隙計算，但并未考慮柔輪齒根定位方式與柔輪中性層的位移情況對周向側隙(下文涉及周向側隙以柔輪齒頂點為計算點)的影響。

關于諧波齒輪仿真模型，國內外已有多人進行過相關研究。董惠敏等[10]建立了諧波齒輪傳動中柔輪在空載和負載時板殼的有限元分析模型。劉文芝等[11]以杯形柔輪為例，建立了柔輪嚙合的仿真實體模型，用三維彈性接觸有限元法計算和分析了承載柔輪齒圈和筒體的應力大小及分布規律。OSTAPSKI等[12]提出了一種復雜形狀薄壁殼結構的彈性變形問題的幾何非線性殼理論求解方法，并通過有限元方法進行了計算。付軍鋒等[13]建立了柔輪的三維實體有限元分析模型，并對柔輪模型和波發生器模型在接觸條件下進行了有限元分析。以上涉及的柔輪齒圈模型多為當量厚度的殼單元模型。

本文在文獻[2-3]諧波齒輪柔輪齒根定位方式與側隙計算方法基礎上，建立了四滾輪波發生器作用下能夠準確表達齒廓信息的平面齒圈有限元模型，并將上述理論計算側隙結果與有限元模型計算結果進行比對，分析兩者之間的偏差。通過改進柔輪齒根定位方式和建立坐標變換下的齒廓方程，提出基于周向位移定位的側隙計算方法與基于弧長定位的側隙計算方法。同時為揭示側隙偏差的來源，獲取了有限元模型中性層的徑向位移、周向位移和法線轉角，并求解了周向位置極角來與理論公式計算結果進行比較。

1　問題的引出

1.1　現有文獻側隙算法的分析

柔輪齒廓與剛輪齒廓的側隙分布情況是齒輪嚙合性能評價的重要指標。在理論方法中，柔輪齒根的定位方式和柔輪中性層的徑向位移、周向位移，以及齒對稱軸線相對于矢徑的轉角(以下簡稱法線轉角)是影響側隙結果的重要因素。目前主要有兩種側隙計算方法。

(1)文獻[2]計算的側隙為在波發生器旋轉狀態下，初始狀態位于柔輪變形短軸處的一對柔輪齒廓與剛輪齒廓在不同時刻下的周向側隙。周向側隙jag定義為

jag=|vag|-(sag+syb)/2

(1)

式中，sag、syb分別為柔輪齒頂圓處齒厚與對應剛輪處齒厚；vag為柔輪齒對稱線和齒頂圓交點與此點到剛輪齒對稱線交點的距離。

(2)文獻[3]計算的側隙為與柔輪變形長軸不同夾角的任意嚙合位置柔輪齒頂與剛輪齒廓間的周向側隙。該算法以變形前的柔輪弧長等于變形后的柔輪弧長為齒根定位方式，建立了柔輪與剛輪的齒廓參數方程，最后將柔輪齒頂到剛輪齒廓間的最短距離作為齒廓間的周向側隙。

為驗證理論方法的有效性,本文建立準確表達漸開線齒廓的平面齒圈有限元模型，對以上兩種理論側隙算法的結果進行仿真驗證。

1.2　有限元實體模型的建立

考慮到結構的對稱性，基于以上參數建立含齒圈的1/4有限元模型，柔輪、剛輪和波發生器均選用Plane183單元。在建立柔輪的齒廓時，利用二分法求解從柔輪齒頂到齒根6個均布的齒廓參數u，基于齒廓方程得到6個不同的關鍵點坐標，將其連線表達為柔輪齒廓。剛輪齒廓建模過程與此相同。然后定義波發生器外表面與柔輪內壁的接觸關系，接觸對間選用剛體-柔體的面-面接觸單元，以波發生器的上半圓為目標面，定義Targe169目標單元；以柔輪的內壁為柔性接觸面，定義Conta172接觸單元。在柔輪變形長軸區和短軸區施加對稱位移邊界條件，選用大變形求解選項。圖1為經過后處理得到的柔輪齒圈徑向位移UX。

圖1　有限元模型徑向位移分布Fig.1　Radial displacement distribution of finite element model

在有限元模型中求解柔輪齒頂側隙，首先需獲取柔輪齒頂的節點坐標，繼而尋找與該點極徑相等的剛輪齒廓上的節點；判斷柔輪和剛輪齒頂點是否位于嚙合區間內，即設柔輪齒頂節點坐標A(xa1,ya1)，剛輪齒頂節點坐標B(xa2,ya2)，若判斷滿足

則齒輪頂點處于嚙合區間內(圖2)，柔輪和剛輪齒頂點間的距離即為齒廓的側隙。

圖2　柔輪與剛輪嚙合狀態圖Fig.2　Engagement diagram of flexspline and circular spline

1.3　有限元模型結果驗證

圖3的縱坐標表示柔輪與剛輪齒廓間的周向側隙jt，橫坐標表示柔輪齒圈部各嚙合齒的位置角度φ。在φ∈(-10°，30°)區間內，文獻[2]和文獻[3]兩種算法結果與有限元模型計算結果差距較??；而在φ∈(30°，60°)區間內,三者計算結果差距都較大，其中文獻[2]結果與有限元模型計算結果偏差最大。產生偏差的原因分析如下。

圖3　理論計算方法與有限元模型計算方法得到的周向側隙對比Fig.3　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

(1)文獻[2]算法計算側隙結果與有限元模型計算結果偏差相對較大，主要是定位柔輪齒根和側隙計算位置出現偏差。求解柔輪齒頂點的周向坐標vag：

vag=v+(rag-r)θ-(rag+w)φb-vb

(2)

式中，v、w分別為柔輪齒根運動的周向位移和徑向位移；rag、r分別為柔輪齒頂圓半徑與分度圓半徑；θ為輪齒轉動引起的法線轉角；φb為柔輪與剛輪相對轉過的角度；vb為變形后剛輪的周向位移(忽略不計)。

柔輪齒頂圓變形后徑向坐標：

wag=(rag+w)cosφb-r-wb

(3)

式中，wb為變形后剛輪的徑向位移(忽略不計)。

式(3)求解徑向坐標wag時，未考慮法線轉角引起的輪齒轉動；同時式(1)中計算的并不是真正的柔輪齒頂點，而是柔輪齒對稱線與齒頂圓的交點，這些簡化也會造成側隙偏差。

(2)如圖4所示，在柔輪齒和剛輪齒的橫剖面內，設柔輪齒坐標系Sf{of,xf,yf}原點位于柔輪中性層上，yf與柔輪齒對稱線重合，柔輪變形長軸與yb軸重合。設中性層半徑為rm，原始曲線矢徑為ρ，軸yb與柔輪輸出端矢徑obo1的夾角為φ，與柔輪變形端矢徑obof的夾角為φ1[3]，當波發生器從yb軸順時針旋轉時，φ值為正。

圖4　柔輪與剛輪齒廓側隙圖Fig.4　Backlash diagram of the flexspline tooth profile and the circular spline tooth profile

文獻[3]算法與有限元模型計算結果出現偏差的原因是在進行柔輪齒根的定位時，考慮到求解積分公式的復雜性，將弧長公式[14]近似取

φ1=φ+v/rm

(4)

2　齒根定位方式與側隙算法的改進

2.1　基于周向位移定位的側隙算法

針對文獻[2]中柔輪齒根的定位方式，將周向位移簡化為切向位移，即用o3of代替o2of，利用變形端柔輪齒根轉過角度來定位(見圖5中Δowo3of)。這種方式定位雖也有近似，但是θv足夠小，此種定位方式的側隙偏差要小于文獻[2]計算的側隙偏差。同時利用坐標變換方法建立柔輪與剛輪的齒廓方程，求解柔輪齒頂的側隙。利用此種定位方式的側隙計算方法稱為基于周向位移定位的側隙算法(簡稱位移法)。

圖5為輪齒對稱線初始位置與柔輪變形長軸相差π/2個相位的柔輪齒F與剛輪齒B嚙合示意圖。設剛輪坐標系Sb{ob,xb,yb}固定，柔輪變形端坐標系為Sf{of,xf,yf}，波發生器坐標系為Sw{ow,xw,yw}。定義輸出端矢徑obo2與柔輪變形長軸yw的夾角φ為自變量，與剛輪坐標系xb的夾角為φg；定義柔輪變形端矢徑obof與柔輪變形長軸yw的夾角為φ1，柔輪變形端矢徑obof與輸出端矢徑obo2的夾角為θv(定義為周向位置極角)。柔輪變形長軸yw與yb軸的夾角為φw，柔輪齒廓對稱線yf與剛輪坐標軸xb的夾角為ψ；剛輪齒頂圓和齒根圓半徑分別是rab和rfb。當波發生器從yb軸順時針旋轉時，φ值為正。

圖5　諧波齒輪傳動的幾何關系Fig.5　Geometrical relationship of harmonic drive

諧波齒輪運動轉換關系如下：波發生器從初始位置轉動到任意角φw，柔輪輸出端相對剛輪轉過角度φg，柔輪齒根產生徑向位移w和周向位移v時，柔輪變形端齒根由o1運動到of，柔輪齒對稱線相對于齒根矢徑轉過角度μ。當φ=0°時，柔輪變形長軸yw與軸yf重合，柔輪齒與剛輪齒處于完全嚙入狀態。當φ=90°時，軸xw、柔輪齒對稱線yf與剛輪齒對稱線xb重合，柔輪齒與剛輪齒處于齒頂對齒頂的完全脫開狀態，且有

(5)

φ1=φg-θv

(6)

ψ=θv-φg+μ

(7)

θv=arcsin[v/(w+rm)]

(8)

ρ=rm+w

(9)

(1)確定柔輪齒廓方程。先給出在坐標系Sw{ow,xw,yw}中位于柔輪變形長軸的漸開線柔輪右齒廓的參數方程[3]：

(10)

式中，ua1為漸開線柔輪齒頂參數值；θ1為柔輪齒分度圓齒厚所對中心角之半；α0為基準齒形角；r1為柔輪分度圓半徑。

通過坐標變換得到在坐標系Sb{ob,xb,yb}下的柔輪齒廓方程：

(11)

基于上述柔輪齒廓方程得到柔輪齒頂坐標為M1(xa1,ya1)。

(2)確定剛輪齒廓方程。給出在坐標系Sw{ow,xw,yw}中位于柔輪變形長軸的漸開線剛輪齒槽右齒廓的參數方程[3]：

(12)

式中，uM2為漸開線剛輪齒廓上對應點處的參數值；θ2為剛輪齒分度圓齒厚所對中心角的1/2；r2為剛輪分度圓半徑。

通過坐標變換得到坐標系Sb{ob,xb,yb}下的剛輪齒廓方程：

(13)

φ2=π/2-π/zb

(14)

式中，φ2為齒槽對稱線位于yb軸的剛輪左齒廓旋轉到齒對稱線位于xb軸所運動過的角度。

基于上述剛輪齒廓方程可得到與柔輪齒頂點極徑相等的點M2(xM2,yM2)。

(3)四滾輪波發生器作用下柔輪中性層的徑向位移[2]為

(15)

C=sinβ+(π/2-β)cosβ

D=cosβ+βsinβ

式中，β為四滾輪波發生器與變形長軸的夾角。

假定中線不伸長，得到周向位移：

(16)

法線轉角：

(17)

(4)由圖5可見，周向側隙jt定義為點M1與M2之間的周向距離，即

(18)

2.2　基于弧長定位的側隙算法

文獻[3]對基于弧度定位的側隙算法有全面計算說明，由圖4可見，基于弧Aof等于圓弧Bo1，有

(19)

法線轉角

(20)

但文獻[3]對以上公式進行了近似計算(見式(4))，而本文通過數值求解方法來逼近準確的φ1[14]，即將這種定位柔輪齒根的側隙算法稱為基于弧長定位的側隙算法(以下簡稱弧長法)。

(1)柔輪齒廓方程[15]為

xa1=r1{sin[ψ-(ua1-θ1)]+ua1cosα0·

cos[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρsinφ1-rmsinψ

(21)

ya1=r1{cos[ψ-(ua1-θ1)]-ua1cosα0·

sin[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρcosφ1-rmcosψ

(22)

ψ=φ1+μ

(2)剛輪齒廓方程[15]為

xM2=r2{sin[φ2-(uM2-θ2)]+uM2·
cosα0cos[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(23)

yM2=r2{cos[φ2-(uM2-θ2)]-uM2·
cosα0sin[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(24)

(3)四滾輪波發生器作用下柔輪中性層的徑向位移和法線轉角由式(15)、式(17)確定。

(4)由圖4可見，周向側隙jt定義為點M1與點M2之間的周向距離，即

(25)

2.3　有限元模型結果驗證

本文給出了兩個從不同角度計算側隙的改進方法，下面借助有限元模型對改進后的算法進行驗證。

圖6為1.2節案例參數下，四種不同的理論側隙算法與有限元模型結果得到的周向側隙比較圖。圖6顯示，位移法為改進文獻[2]的側隙計算方法，位移法更加吻合有限元模型計算結果；弧長法為改進文獻[3]中的側隙計算方法，可以看到弧長法也更加吻合有限元模型計算結果；其中弧長法側隙曲線最優。

圖6　有限元模型驗證結果Fig.6　The validation results of finite element model

3　柔輪齒根定位方式對周向側隙的影響

3.1　理論算法與有限元模型的周向側隙比較

圖7為嚙合區間內不同嚙合位置的周向側隙圖。圖7顯示：在φ=0°長軸區附近，有限元模型計算結果與兩種理論算法計算結果一致?；￠L法與有限元模型結果比較：在φ∈(-10°，0°)區間，弧長法結果偏大，在φ∈(0°，12°)區間，弧長法結果偏??；當φ≥12°時，弧長法結果偏大；且φ=37°時偏差最大，為0.72 μm；在φ=56°左右側隙值相等。位移法與有限元模型計算結果比較如下：在φ∈(-10°，0°)區間，位移法結果偏大；在φ∈(0°，13°)區間，弧長法結果偏??；在φ∈(13°，26°)區間，位移法偏大；在φ≥26°時，位移法結果偏??；且在φ=55°左右偏差最大，為3.16 μm。

圖7　理論算法與有限元模型的周向側隙對比圖Fig.7　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

3.2　柔輪中性層變形與柔輪齒根定位方式比較

文中側隙的兩種理論算法都是基于小變形假定和柔輪中性層不伸長假定。但是研究顯示，不同的波發生器作用下，柔輪中性層會有不同程度的伸長[16]，因此這必然會引起理論算法與有限元模型仿真結果的差異。柔輪中性層的變形和柔輪齒根定位方式是影響側隙大小的主要因素。圖8為理論算法的柔輪中性層的徑向位移、周向位移和法線轉角與有限元模型計算結果的差值s。

圖8　柔輪齒根變形位置偏差Fig.8　Deviation of deformation position of the flexspline tooth root

圖8顯示：在φ∈(0°，49°)區間，理論算法徑向位移偏??；在φ∈(49°，90°)區間，徑向位移偏大；并在φ=90°偏差達到最大。理論算法的周向位移結果偏大，在φ=59°左右偏差最大為3.1 μm。在φ∈(0°，28°)區間，理論算法的法線轉角偏大；在φ∈(28°，90°)區間，法線轉角偏小。理論算法在求解徑向位移時， 以小變形假定為前提，但本算例中的徑向位移量偏大，最終也導致周向位移與法線轉角出現偏差。

柔輪齒根周向位置極角定義為θv=φ1-φ，周向位置極角偏差s1為兩種理論算法與有限元模型計算的周向位置極角的差，它主要反映柔輪齒根定位方式的不同。圖9顯示：與有限元模型相比，弧長法的周向位置極角在φ∈(0°，50°)時偏大，且在φ=37°時偏差最大，為3.28×10-5rad；在φ∈(50°，90°)時，周向位置極角偏小。位移法的周向位置極角一直偏大，在φ=59°左右偏差最大，為2.24×10-4rad。

圖9　柔輪齒根定位方式偏差Fig.9　Deviation of location methods of the flexspline tooth root

3.3　弧長法周向側隙分析

弧長法與有限元模型的比較如圖7與圖9所示，在φ∈(0°，12°)時，弧長法側隙結果偏小，是因為周向位置極角偏大，柔輪齒根定位偏右；在φ≥12°時，弧長法側隙結果偏大，是因為弧長法的周向位置極角漸漸地出現偏大趨勢，即柔輪齒根定位漸漸偏左，且法線轉角偏小。圖9中φ=37°周向位置極角偏差最大為3.28×10-5rad，圖7中φ=37°時，周向側隙偏差最大為0.72 μm，由于弧長法計算過程未用到周向位移，故用周向位置極角來解釋周向側隙偏差。

3.4　位移法周向側隙分析

位移法與有限元模型的比較如下：在φ∈(0°，16°)時，由于周向位移偏差和法線轉角偏差都比較小，故其兩個因素都有所抵消，在這區間內位移法側隙結果與有限元模型結果雖有偏差，但比較接近。在φ≥16°時，位移法側隙結果偏小，這是因為理論計算方法的周向位移比有限元模型計算結果偏大，同時周向位置極角偏大，導致柔輪齒根定位偏右。圖9中，在φ=59°左右周向位置極角偏差最大為2.24×10-4rad；圖8中，在φ=59°左右周向位移偏差最大，為3.1 μm；圖7中，在φ=55°左右周向側隙偏差最大，為3.16 μm。由此可見位移法中周向位移與周向位置極角偏差可同步解釋周向側隙偏差規律。

綜上所述，側隙出現偏差的根本原因仍是未給出準確的柔輪中性層變形位置，即未嚴格遵守小變形假定，導致徑向位移、周向位移和法線轉角偏差，這會對不同的柔輪齒根定位方式產生影響，進而影響周向側隙。雖然理論算法與有限元模型側隙存在偏差，但是在實際諧波齒輪加工生產過程中，以上偏差僅為5級加工精度齒廓總偏差的1/10[17]。

4　結論

(1)基于小變形假定的理論，獲取了有限元模型柔輪中性層的徑向位移、周向位移和法線轉角，并求解了周向位置極角。與理論計算結果比較發現，理論側隙與有限元模型計算的側隙結果的差異主要是由周向位移引起的。

(2)與有限元模型計算結果相比，在柔輪與剛輪將脫離嚙合區域，基于弧長定位的側隙算法計算結果偏大，基于周向位移定位的側隙算法計算結果偏小。相對來說，基于弧長定位的側隙算法定位更加準確。因此選擇合理的柔輪齒根定位方式可以提高側隙計算準確性。

參考文獻：

[1]謝金瑞. 國內外諧波傳動的應用和發展[J]. 光學精密工程, 1979(4)：22-31.

XIE Jinrui. The Application and Development of Harmonic Drive at Home and Abroad[J]. Optics and Precision Engineering, 1979(4)：22-31.

[2]伊萬諾夫 M H. 諧波齒輪傳動[M]. 沈允文，譯. 北京：國防工業出版社, 1987.

IWANNOV M H. The Harmonic Drive[M]. SHEN Yunwen， Trans. Beijing：Defense Industry Press, 1987.

[3]沈允文, 葉慶泰. 諧波齒輪傳動的理論和設計[M]. 北京：機械工業出版社, 1985.

SHEN Yunwen, YE Qingtai. Theory and Design of Harmonic Drive[M]. Beijing：Mechanical Industry Press, 1985.

[4]辛洪兵. 雙圓弧諧波齒輪傳動基本齒廓設計[J]. 中國機械工程, 2011，22(6)：656-662.

XIN Hongbing. Design for Basic Rack of Harmonic Drive with Double-circule-arc Tooth Profile[J]. China Mechanical Engineering, 2011，22(6)：656-662.

[5]辛洪兵, 陳菲. 諧波齒輪傳動初始嚙合側隙變化規律的研究[J]. 試驗技術與試驗機, 2002, 42(1/2)：13-14.

XIN Hongbing, CHEN Fei. Study on the Change Law of the Initial Meshing Backlash of the Harmonic Gear Drive[J]. Test Technology and Testing Machine, 2002, 42(1/2)：13-14.

[6]殷燕. 零側隙漸開線諧波齒輪傳動的參數優化設計及有限元分析[D]. 秦皇島：燕山大學, 2010.

YIN Yan. Parameter Optimization Design and Finite Element Analysis of Zero-lateralspace Involute Harmonic Gear Driving[D]. Qinhuangdao：Yanshan University, 2010.

[7]陳曉霞，林樹忠，邢靜忠，等. 圓弧齒廓諧波齒輪側隙及干涉檢查仿真[J]. 計算機集成制造系統, 2011, 17(3)：643-648.

CHEN Xiaoxia, LIN Shuzhong, XING Jingzhong, et al. Simulation on Gear Backlash and Interference Check of Harmonic Drive with Circular-arc Teeth Profile[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2011, 17(3)：643-648.

[8]CHEN Xiaoxia, LIU Yusheng, XING Jingzhong， et al. The Parametric Design of Double-circular-arc Tooth Profile and Its Influence on the Functional Backlash of Harmonic Drive[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014,73(2)：1-24.

[9]劉鄧輝, 邢靜忠, 陳曉霞. 漸開線諧波齒輪的空間齒廓設計及仿真分析[J]. 計算機集成制造系統，2015, 21(3)：709-715.

LIU Denghui, XING Jingzhong, CHEN Xiaoxia. Spatial Tooth Profile Design and Simulation Analysis of Harmonic Drive with Involute Tooth Profile[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2015, 21(3)：709-715.

[10]董惠敏, 張曉青. 基于實驗建模的諧波齒輪傳動柔輪的有限元分析研究[J]. 機械傳動, 2001, 25(2)：16-19.

DONG Huimin, ZHANG Xiaoqing. Finite Element Analysis of the Flexible of Harmonic Drive with Experimental Model[J]. Mechanical Transmission, 2001, 25(2)：16-19.

[11]劉文芝, 張乃仁, 張春林, 等. 諧波齒輪傳動中杯形柔輪的有限元計算與分析[J]. 機械工程學報, 2006, 42(4)：52-57.

LIU Wenzhi, ZHANG Nairen, ZHANG Chunlin, et al. The Finite Element Calculation and Analysis on the Column-shaped Flex Spline of Harmonic Drive[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42(4)：52-57.

[12]OSTAPSKI W, MUKHA I. Stress State Analysis of Harmonic Drive Elements by FEM[J]. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 2007, 55(1)：115-123.

[13]付軍峰, 董海軍, 沈允文. 諧波齒輪傳動中柔輪應力的有限元分析[J]. 中國機械工程, 2007, 18(18)：2210-2214.

FU Junfeng, DONG Haijun， SHEN Yunwen. The Finite Element Analysis of the Stress of Flexible in Harmonic Drive[J]. China Mechanical Engineering, 2007, 18(18)：2210-2214.

[14]陳曉霞, 林樹忠, 邢靜忠. 諧波齒輪傳動中基于柔輪裝配變形的共軛精確算法[J]. 中國機械工程, 2010, 21(17)：2053-2057.

CHEN Xiaoxia, LIN Shuzhong, XING Jingzhong. Exact Conjugate Algorithm Based on Assembly Deformation of Flexspline in Harmonic Drives[J]. China Mechanical Engineering, 2010, 21(17)：2053-2057.

[15]沈允文. 漸開線諧波齒輪傳動的幾何計算[J]. 齒輪, 1986, 10(6)：50-55.

SHEN Yunwen. Geometric Calculation of Involute Harmonic Gear Drive[J]. Gear, 1986, 10(6)：50-55.

[16]陳曉霞, 劉玉生, 邢靜忠, 等. 諧波齒輪中柔輪中性層的伸縮變形規律[J]. 機械工程學報, 2014, 50(21)：189-196.

CHEN Xiaoxia, LIU Yusheng, XING Jingzhong, et al. Neutral Line Stretch of Flexspline in Harmonic Driver[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(21)：189-196.

[17]劉品, 張也晗. 機械精度設計與檢測基礎[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社, 2013.

LIU Pin, ZHANG Yehan. Design of Mechemical Precision and Foundation of Geometrical Capacity Survey[M]. Harbin：Harbin Institute of Technology Press, 2013.

(編輯王艷麗)