水平井鉆柱渦動特性數值分析與試驗

王寶金　任福深　朱安賀　趙　蕾

1.東北石油大學機械科學與工程學院，大慶，1633182.中交天和機械設備制造有限公司，常熟，215505　　3.國核工程有限公司，上海，200233

0　引言

水平井可在薄油層中穿越，是稀井增產的重要技術手段，在低壓、低滲、薄油藏、稠油藏及常規技術難以取得經濟效益的油田開發方面發揮了重要作用。鉆柱在旋轉鉆井過程中，受井眼的限制，底部鉆柱的動力學特性和運動狀態變得十分復雜。浸泡在鉆井液內的旋轉受壓鉆柱在屈曲和渦動的作用下，容易發生磨損、疲勞斷裂以及井眼的傾斜。垂直井鉆井過程中，鉆柱存在渦動現象的事實已被接受。這種鉆柱的渦動對鉆井作業十分不利，尤其是底部鉆柱的反向渦動，會加快鉆柱的磨損，易導致鉆柱提前疲勞破壞。國內外學者對底部鉆柱動力學特性進行了研究。JANSEN等[1-2]和 NAGANAWA等[3]根據非線性轉子動力學理論，建立了量綱一鉆柱渦動方程，并進行了數值模擬計算。CHRISTOFOROU等[4]借助Rayleigh梁模型對底部鉆具組合渦動特性進行了分析，研究結果很好地反映了底部鉆柱的渦動特性。DYKSTRA等[5]深入分析了鉆頭在鉆柱渦動時的動力學特征，研究結果表明，鉆柱的反向渦動會降低井底與地面設備的能量傳遞效率。 KHULIEF等[6]研究了鉆柱橫向振動和渦動的耦合振動、扭轉振動和橫向振動的耦合振動，并進行了有限元仿真研究。HAYAT等[7]通過模擬試驗和仿真分析相結合的研究方法，分析并討論了底部鉆具組合的動力學特性。肖文生等[8]分析了內外鉆井液和摩阻作用下鉆柱的渦動機理，并得到了鉆柱渦動失穩的判定條件。姚永漢等[9]利用編制好的模擬程序分析了鉆鋌形心的渦動軌跡、渦動速度、徑向軌跡、徑向速度。狄勤豐等[10]建立了底部鉆具組合的動力學仿真模型，把鉆具組合簡化為轉子模型，研究了不同鉆壓下鉆柱的渦動特性。馬汝濤等[11]提出利用內擺線法來描述底部鉆柱的渦動軌跡。張晉凱等[12-13]和史玉才[14]分析了渦動鉆柱內流體的流動特性，根據轉子動力學理論建立了考慮鉆柱與井壁碰摩作用的渦動方程，探討了鉆柱的渦動產生的機理。2013年，李子豐[15]對鉆柱渦動的研究現狀做了更進一步的探究，在此基礎上提出了流體潤滑動力學理論，該理論是研究鉆柱渦動必不可少的理論支撐。

目前鉆柱渦動的研究大都是針對垂直井或斜直井開展的，對水平井鉆柱渦動問題的研究還鮮有報道，甚至水平井鉆井過程中是否會存在渦動現象還存在著一定的爭議。本文針對水平井鉆柱的動力學特征，建立了水平井鉆柱的運動方程，并基于自主研制的水平井鉆柱動力學試驗裝置，采用數值模擬和試驗研究相互結合的方法，開展了水平井鉆柱渦動動力學行為機理的研究。

1　數學模型

鉆柱的振動可以分為三個模式：軸向、側向(也包含橫向與彎曲)、扭轉模式，它們具有不同的破壞性。鉆頭的反彈、黏滑、渦動是耦合振動的極端例子，這種耦合通常包括軸向、扭轉和側向運動。這些振動模式通常是由鉆頭-地層作用、鉆柱-井壁的多點接觸、質量的不平衡以及振動鉆井工具等因素引起的[16]。

旋轉鉆進過程中，鉆柱按轉盤轉動速度繞自身軸線旋轉的同時，由于鉆柱與井壁的接觸產生摩擦力以及鉆井液的作用, 使鉆柱以一定的速度按逆時針方向繞井眼軸線旋轉, 形成渦動。當鉆柱自轉方向和繞井眼旋轉運動的方向相同時，這種渦動稱為正向渦動；當鉆柱自轉方向和繞井眼旋轉運動的方向相反時，稱為反向渦動。

鉆柱反向渦動形成的必備條件之一是鉆柱與井壁碰撞接觸，鉆柱與井壁產生的周向接觸摩擦力是鉆柱形成反向渦動的動力源，同時由于鉆柱的質量偏心，旋轉過程中鉆柱會受到離心力作用，鉆柱離心力作用會進一步加大鉆柱的橫向彎曲，增加了鉆柱與井壁的碰撞幾率，從而促進了后渦的形成，隨著渦動角速度的增大，離心力也隨著增大，可見，離心力與渦動是相互促進的關系。水平井鉆柱在工作時的狀態如圖1所示。

圖1　水平井鉆柱模型Fig.1　Drillstring in horizontal well

1.1　重力作用下水平井渦動微分方程

鉆柱在任意時刻t的運動狀態如圖2所示。當鉆柱浸泡在鉆井液的環境下運動時，由于動撓度的影響，鉆柱受到的變形恢復力在x、y軸方向的投影可以表示為

(1)

式中，xG、yG為鉆柱幾何中心的位置；e為偏心距；φ為幾何中心-原點連線與x軸的夾角；k為鉆柱剛度。

根據質心運動定理，可得鉆柱的質心運動微分方程：

(2)

式中，m為鉆柱質量。

圖2　水平鉆柱瞬時位置受力分析Fig.2　Force analysis of instantaneous position of horizontal drillstring

根據剛體動量矩定理建立鉆柱的轉動微分方程，鉆柱的動量矩包含以下兩部分：

(3)

式中，s為鉆柱的回轉半徑。

(2)鉆柱質心對z軸的動量矩為

(4)

即

(5)

為了使方程更加簡練，進行坐標變化，把原點從o1點移到G點，并令

xGA=xG+mg/k

(6)

在新坐標系下鉆柱的運動微分方程為

(7)

(8)

(9)

φ=ωcrt/2

(10)

式中，ωcr為臨界角速度。

將式(10)代入式(9)得

(11)

聯立式(7)、式(9)、式(11)可得

(12)

(13)

式中，δ為鉆柱在自重作用下產生的靜撓度，δ=mg/k。

根據圖2所示的幾何關系，可得到鉆柱中心的運動方程:

(14)

(15)

由以上分析可知，鉆柱幾何中心o在副臨界時的進動由兩個分量組成：與偏心距有關的基頻分量、與鉆柱本身質量引起的靜撓度δ有關的倍頻分量，在鉆柱旋轉過程中，與臨界轉速相比，重力引起的副臨界現象是一個很嚴重的問題，質量偏心引起的動撓度要比初始時刻的靜撓度大得多，因此，在分析水平井鉆柱的渦動問題時，鉆柱自身質量是一項關鍵影響參數。

1.2　鉆壓和井壁摩阻作用下的碰撞機理

鉆壓作用下的水平井旋轉鉆柱會發生橫向振動，當振動位移大過井眼間隙時就會與井壁發生碰撞，使鉆柱的受力發生明顯改變，本節主要探討鉆壓和摩阻對鉆柱渦動的影響。

如圖3所示，鉆柱以角速度Ω自轉，任意時刻在i點接觸，受到井壁的法向支持力N以及切向干摩擦力Ft，設鉆柱處于完全平衡狀態，忽略陀螺效應，這時描述鉆柱運動的唯一廣義坐標就是回轉角φ，其運動的微分方程為

(16)

式中，μ為鉆柱與井壁的摩擦因數；c為外阻尼系數；s為鉆柱的回轉半徑；dext為鉆柱外徑；ω為渦動角速度；vi為i點的鉆柱速度。

圖3　環空內鉆井液包圍鉆柱的受力圖Fig.3　Drillstring in annular with drilling fluid

Fw為鉆壓在徑向方向的分力，其表達式為

(17)

式中，pw為鉆頭所受鉆壓。

1.3　鉆井液作用下的鉆柱渦動綜合方程

由上述建模和分析可知，鉆井液、鉆柱自重、井壁摩阻都在一定程度上影響著鉆柱的渦動行為，但是還沒有考慮內外鉆井液流速對鉆柱渦動的影響。隨鉆柱旋轉的鉆井液會對鉆柱內壁施加一定的作用力，加之水平井存在初始彎曲，鉆柱的運動和受力會更加復雜多變。

已知鉆柱的變形曲線ε(z)，則鉆柱內鉆井液的流動狀態就可以確定，參照圖3，鉆柱內鉆井液流體沿x、y兩個方向的作用力線密度分別為

(18)

式中，l為鉆柱長度；J為鉆柱轉動慣量；e為鉆井液密度；γ1為常數；Cm為附加質量系數；dint為鉆柱的內徑;A為鉆柱橫截面積；dint為鉆柱內徑。

由式(18)可知，鉆柱內鉆井液對鉆柱的作用力與鉆柱的橫向變形位移共線，表達式為

(19)

式中，dint為鉆柱內徑。

鉆柱中心坐標為(e,φ)，鉆井液對鉆柱的總壓力F總是指向鉆柱的幾何中心，F可分解為徑向力Fe和軸向力Fφ，Fe相當于鉆井液對鉆柱施加一個支持力，與鉆柱內鉆井液對鉆柱的作用力方向相反；Fφ沿著鉆柱自轉方向，使鉆柱周向的運動速度增大，可能導致鉆柱運動失穩。圖3中，鉆柱按順時針方向旋轉，取鉆柱旋轉方向α角為周向坐標，考慮到e、φ變化引起環空內鉆井液厚度的變化，可利用Reynolds方程來近似描述這種變化關系[17]：

(20)

h=C(1+εcosα)h

對式(20)積分得環空鉆井液的壓力分布p=p(α,z)，則有

(21)

式中，R為鉆柱半徑。

考慮鉆井液流速作用下的鉆柱渦動的模型如圖1所示。當考慮鉆井液流速的影響時，流動的鉆井液還會對鉆柱產生附加質量力和黏滯阻力，鉆柱內鉆井液對鉆柱產生的附加質量力

(22)

式中，ma為鉆柱內鉆井液質量；v1為鉆柱內鉆井液流速。

環空內鉆井液對鉆柱產生的附加質量力

(23)

其中，mb為環空內鉆井液質量；v2為環空內鉆井液流速；附加質量系數cm的值為

(24)

式中，D為鉆柱外直徑；Dext為井筒直徑。

鉆井液阻力[18]

(25)

將式(19)、式(21)～式(25)代入式(16)，得到鉆柱在徑向方向的整體運動方程：

(26)

FN1=FO-FI+F0f+N-mgsinφ-FW-Fint(z)

求解式(26)，最終可得鉆柱軸心軌跡方程：

S=s2φ/2

(27)

其中，鉆柱的回轉半徑s和夾角φ已求得，代入式(27)即可得到鉆柱的軸心軌跡在時域內的圖像。

2　數值分析與試驗

鉆柱作業過程中井底環境極其復雜，建立數學模型的過程中難免會簡化或忽略一些次要條件，給數值分析帶來了一定的不確定性。為了更加真實地反映鉆柱的動力學狀態，有必要研制相應的試驗裝置，以得到更為精確和復雜的激勵源(例如巖石鉆頭接觸以及鉆柱與井筒的摩擦)，進而得到更為接近真相的研究成果。

根據相似準則研制水平受壓鉆柱試驗裝置，如圖4和圖5所示，整個裝置主要由以下4個部分組成：鉆壓施加和轉速調節系統、鉆井液循環系統、井底模擬系統、數據采集系統。利用該試驗裝置可以進行不同鉆壓、轉速條件下水平井鉆柱動力學特性試驗，以及考慮鉆井液流速條件下的流固耦合模擬試驗。試驗過程中可以通過透明有機玻璃井筒實時觀測鉆柱在模擬井筒中的運動狀態。通過相似準則中的單值性條件，將物理現象群中的通解轉變為特解，模型與原型物理量間的相似變換式(包含物理條件相似、邊界條件相似、起始條件相似)。

圖4　水平井鉆柱動力學模擬試驗裝置示意圖Fig.4　Schematic diagram of horizontal drillstring dynamic simulation test apparatus

圖5　試驗裝置Fig.5　Test apparatus

相似轉速比為cω，軸向力比為cp，根據相似準則取cp=1/9130，cω=2.8，即試驗轉速為井場轉速的2.8倍，模型鉆壓是井場實際鉆壓的1/9130。

表1　試驗參數Tab.1　Experimental parameters

試驗模型鉆柱總長度為10 m，模擬實際100 m鉆柱的動力學行為。根據實際鉆井經驗，鉆柱不同位置的動力學特性是不同的，因此，在試驗裝置中設置了5個測試區，每個測試點間隔2.5 m，如圖4所示。

為了具體分析鉆柱的動力學特性，分別對鉆柱5個測試區的鉆柱運動軸心軌跡進行了試驗，本文采用兩個垂直電渦流位移傳感器分別測量鉆柱兩個垂直方向的位移，最后合成鉆柱的軸心軌跡。初步分析結果顯示，近鉆頭第5測試區的鉆柱動力學特征較為明顯，第3和4測試區相對第5測試區，鉆柱的動力學特征變化不明顯，到了第2測試區后，鉆柱動力學狀態相對第5測試區發生了明顯的變化，呈現不同的鉆柱運動學特征。以下將第5測試區定義為近鉆頭段，將第2測試區定義為遠鉆頭段，進行鉆柱的動力學狀態分析。

2.1　遠鉆頭段渦動特性分析

2.1.1轉速和鉆壓對遠鉆頭段軸心軌跡的影響

試驗鉆壓分別為5 N、15 N和25 N，分別調整試驗轉速為50 r/min、150 r/min和350 r/min，試驗和數值仿真結果如圖6所示。

圖6　不同鉆壓、轉速下遠鉆頭段鉆柱軸心軌跡線Fig.6　Trajectory of drillstring away from bit with different pressure and rotational speed

仿真與試驗結果顯示，在低鉆壓(5 N)、低鉆速時，遠鉆頭段軸心運動軌跡局限于井眼的右下方，它在井筒上攀升的距離很短，軌跡呈現一種小范圍橢圓形狀；隨著轉速的升高，軸心軌跡沿井筒爬升，并且其軌跡變窄；當轉速達到350 r/min時，遠鉆頭段運動軌跡線近似為一條細長的圓弧線。

在中高鉆壓(15～25 N)下，遠鉆頭段軸心軌跡線仍呈“圓弧形”，隨著轉速的增加，它在井筒上攀升的距離加大。

2.1.2鉆井液流速對遠鉆頭段鉆柱軸心軌跡的影響

固定試驗鉆壓5 N、轉速50 r/min，在0.65～1.25 m/s區間內調整鉆井液流速，遠鉆頭段軸心軌跡如圖7所示。

(a)流速為0.65 m/s

(b)流速為0.95 m/s

(c)流速為1.25 m/s圖7　不同流速下遠鉆頭段軸心軌跡線Fig.7　Trajectory of drillstring away from bit with different flow rate

鉆井液的存在沒有改變遠鉆頭段的動力學特征，其軸心軌跡線由近似的橢圓形狀變成了密集的圓弧曲線，這說明鉆井液的存在使得遠鉆頭段在井底的動力學狀態趨于穩定。隨著鉆井液流速的增大，遠鉆頭段的徑向運動幅值也在逐漸增大，但是軸心軌跡并沒有發生本質變化，依然是周期性的爬坡運動。

由上述分析可以看出，遠鉆頭段軸心軌跡均在第三象限并呈“圓弧形”，轉速、鉆壓以及流體條件的變化，并沒有對鉆柱的動力學特征產生本質性的改變，且沒有出現渦動現象。

2.2　近鉆頭段渦動分析

由于鉆頭受到切割巖石的反作用力，工作時易形成行星運動，進而帶動與之直接相連的鉆柱產生牽連運動。此外，由于鉆頭與巖石接觸所誘發的激勵以及其橫向與扭轉振動的同時存在，使得此段鉆柱動力學狀態相對復雜。

2.2.1鉆壓和轉速對近鉆頭段軸心軌跡的影響

固定鉆井液流速為1.25 m/s，試驗鉆壓為5 N、15 N和25 N，并且分別調整試驗轉速為50 r/min、150 r/min和350 r/min，試驗和數值仿真結果如圖8所示?？砂l現，試驗渦動曲線的第三象限出現了較為平直的曲線，這是由電渦流位移傳感器的放置位置以及試驗限位裝置導致的，造成鉆柱在運動至第三象限時，產生了信號干擾，但并未導致采集的信號發生實質變化，由此可以忽略其影響。當轉速為50 r/min時，近鉆頭段一直處于井筒右下方，運動范圍始終沒有超過井眼中心，這種小范圍的鉆柱公轉現象并沒有形成渦動，因此，鉆壓的增大并沒有改變近鉆頭段的運動狀態，僅小幅擴大了其運動范圍。隨著轉速的持續增加，近鉆頭段軸心運動軌跡持續擴大，并且它沿井壁爬升的距離也在增大，當轉速持續增加到150 r/min時，近鉆頭段軸心軌跡超過了井筒軸心，鉆柱繞井眼中心的公轉范圍較前者有較大的區別，鉆柱與井壁的接觸范圍也在擴大，這種現象并不能稱之為嚴格意義上的渦動，只能稱之為“局部渦動”，簡稱“渦動”，隨著鉆壓的增大，渦動的范圍有小幅度提升。當轉速持續增加到350 r/min時，近鉆頭段渦動范圍持續增加至幾近充滿井眼，形成了穩定的渦動。

圖8　不同鉆壓、轉速下近鉆頭段軸心軌跡線Fig.8　Trajectory of drillstring near bit with different WOB and rotational speed

(a)轉速為50 r/min

(b)轉速為150 r/min

(b)轉速為350 r/min圖9　渦動的幅頻特性Fig.9　Amplitude-frequency curve of whirling

圖9所示為鉆柱渦動的幅頻特性曲線，該曲線是當鉆壓為25 N，轉速為50 r/min、150 r/min、350 r/min時針對其渦動速度進行快速傅里葉變換得出的。由圖9可以發現，鉆柱轉速為50 r/min時鉆柱的幅頻信號非常復雜，其振動由眾多低頻振動合成，這造成了鉆柱運動的不穩定性，與此同時,鉆柱也不會出現穩定的渦動現象；當鉆柱轉速提升至150 r/min時，振動雜波較圖9a明顯減少，這一點在圖8中軸心軌跡線圖中得到了反映；隨著鉆速持續增加到350 r/min，鉆柱幅頻特性曲線更加穩定，其頻譜主要由5部分組成，雜波較前兩種轉速明顯降低，這種現象同樣可從圖8中觀察到，此時鉆柱形成較為穩定的渦動。因此，可以說隨著轉速的增加，鉆柱的渦動范圍會有擴大，并且逐漸形成了穩定的渦動現象。

2.2.2轉速對近鉆頭段鉆柱渦動速度的影響

(a)轉速為50 r/min

(b)轉速為150 r/min

(c)轉速為350 r/min圖10　鉆柱渦動轉速曲線Fig.10　Whirl speed of drillstring near bit with different rotational speed

固定試驗鉆壓為25 N，分別調整試驗轉速為50 r/min、150 r/min和350 r/min，試驗和數值仿真結果如圖10所示。圖10顯示，試驗和數值仿真得到了相同的鉆柱渦動特性。近鉆頭段鉆柱既有正向渦動，同時還存在反向渦動，當試驗轉速為50～150 r/min時，反向渦動速度明顯大于正向渦動速度，故在此轉速范圍內，近鉆頭段鉆柱主要體現為反向渦動。隨著轉速的增加，當轉速達到350 r/min時，近鉆頭段鉆柱正反兩個方向的渦動區間大體相同，其最大值達到70 r/min，數值仿真結果顯示最大渦動速度為35 r/min左右，但是試驗和數值仿真的渦動速度約為鉆柱自轉速度的0.5倍，即出現了所謂的“半頻渦動”，這說明高轉速下近鉆頭段鉆柱的渦動更劇烈。

總之，在水平井鉆進中，其遠鉆頭段鉆柱不會出現渦動，但當其鉆速達到閾值后，水平井鉆柱的近鉆頭段會出現穩定的渦動，并且隨著轉速的提升，還會出現半頻渦動現象。

3　結論

(1)水平鉆柱的遠鉆頭段不會出現渦動現象，但是，當轉速達到閾值后,近鉆頭段會出現渦動，隨著轉速和鉆壓的增大，渦動范圍也會增大，渦動的幅頻特性也隨著轉速的增加而更加清晰，鉆柱渦動更加穩定、頻譜組成更加單一，且其渦動頻率也會隨之增大，但是渦動方向并非始終如一，正反向渦動會交替出現，當轉速增大大到某一閾值時還會出現“半頻渦動”。

(2)鉆壓和轉速的增大都會使鉆柱和井筒的接觸增多，沿井壁爬行的距離增大，并且鉆柱軸心軌跡范圍也會擴大。

(3)鉆井液的存在會使鉆柱的運動趨于穩定，隨著鉆井液流速的增加，鉆柱的運動范圍也在逐漸擴大，但是鉆井液的存在及其流速的變化并不會改變鉆柱現有的運動狀態。

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(編輯陳勇)