2RPU/UPR+RP五自由度混聯機器人靜剛度分析

張東勝　許允斗　姚建濤　趙永生

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

0　引言

與串聯機器人相比，并聯機構具有結構緊湊、承載能力大、剛度大的特點[1-2]，在零部件的精密加工、醫療、重載設備的運動仿真等領域有較高的應用價值，比較典型的并聯設備如Gough發明的六自由度(degree-of-freedom, DOF)Stewart運動仿真平臺[3]、Clavel設計的3-DOF Delta并聯機構[4]等。另一方面，與并聯機構相比，串聯機器人具有控制簡單、靈活度高、工作空間大的特點[5]，在碼垛、噴涂、包裝、搬運、裝配等領域得到了廣泛應用，比較典型的串聯機器人如SCARA串聯機械臂[6]、UR系列六自由度串聯機械臂[7]。

隨著社會的高速發展，尤其是工業、航空航天、軍事等領域所涉及加工任務的復雜性的增大，工作任務對機器人的性能要求不斷提高。而近年來混聯機器人的出現填補了這一方面的空白，其中串并混聯機器人綜合了并聯機構剛度大和串聯機器人靈活性好的特點[8-10]，成為機構學領域的新方向和現代工業制造的標志。比較典型的混聯機器人有基于2UPR/SPR(R為轉動副、U為虎克鉸、S為球鉸、P為移動副)構造的Exechon機器人、基于3UPS/UP構造的Tricept機器人等。

現有的關于機器人的研究大多集中于機器人運動學、動力學、構型綜合及尺寸優化等，但機器人的剛度分析對機器人的加工性能有重要影響，國內外許多學者針對機構的剛度開展了一系列研究。GOSSELIN等[11]針對空間6-DOF并聯機構提出兩種分別適用于剛性機構和柔性機構的剛度模型推導方法，并推導出相應的雅可比矩陣；LIAN等[12]借助虛功原理和變形疊加法，建立了5-DOF并聯機構在考慮重力情況下的半解析剛度模型；胡波等[13]基于廣義力和驅動力之間的映射矩陣，得到了適用于少自由度并聯機構的靜剛度模型；陶兆勝等[14]、路曼等[15]利用機構變異方法設計了構型為 2RPU/RPS的并聯機構，并將機構劃分成若干子系統，計入關節和支鏈彈性對整機剛度的影響，采用子結構綜合技術建立該并聯模塊的剛度模型；LU等[16]在考慮分支的慣性力、驅動力及約束力的前提下，推導出了并聯機構剛度的統一模型；張俊等[17]分別采用虛擬關節法和有限元法計入各關節和支鏈體的柔性，并通過推導動平臺和支鏈裝配體間的變形協調方程構建出Exechon并聯模塊的彈性靜力學模型。此外，汪滿新等[18]在完成2-DOF并聯機構位置逆解分析和變形分析的基礎上，基于全變形雅可比矩陣建立了4-DOF混聯機器人靜剛度半解析模型；王友漁等[19]借助子結構綜合思想和ANSYS參數化設計語言，構造了兩種可重構5-DOF混聯機械手模塊的有限元模型；WU等[20]運用子部件裝配法，研究了含有冗余驅動的5-DOF混聯機器人的剛度模型；SUN等[21]利用子結構柔順模型建立了一種5-DOF摩擦攪拌焊機器人的半解析剛度模型。

綜上可知，現有的研究主要集中于并聯機構的剛度分析，且很多研究在對基于少自由度并聯機構構造的五自由度混聯機器人剛度進行分析時，忽略了串聯環節對機器人剛度的影響，僅針對少自由度并聯部分進行了剛度分析。針對混聯機器人，尤其是五自由度混聯機器人的剛度特性分析相對較少。

由于機器人的靜剛度隨其自身位姿的變化而變化，本文以基于3-DOF并聯機構2RPU/UPR構造的5-DOF混聯機器人為研究對象[22-23]，求得并聯機構分支和串聯部分單自由度擺頭的柔度矩陣以及并聯部分與串聯部分兩子系統的靜剛度模型，建立了混聯機器人的整體剛度模型。

1　機構描述及坐標系建立

如圖1a所示，該五自由度混聯機器人包括2RPU/UPR并聯機構，搖擺頭、移動平臺和機架，其結構簡圖見圖1b。該五自由度混聯機器人中并聯部分的定平臺、動平臺為等腰三角形；機構中的每條分支均由上連桿與下連桿組成，上連桿連接定平臺一側，下連桿連接動平臺一側。分支1、3為RPU結構，分支2為UPR結構。在RPU分支中，R副軸線與U副連接下連桿的軸線相互平行；U副連接動平臺的軸線共線；P副軸線分別與相應分支中的R副軸線及U副連接下連桿軸線相互垂直。在UPR分支中，R副軸線與RPU分支中的U副連接動平臺的軸線平行；U副連接定平臺的軸線與RPU分支中R副軸線平行；P副軸線與該分支中R副軸線及U副連接上連桿軸線相互垂直。

(a)三維模型　　　　　　　(b)結構簡圖圖1　5-DOF混聯機器人構型Fig.1　Configuration of the 5-DOF hybrid manipulator

由圖1結構可知：2RPU/UPR機構具有兩轉一移三個自由度，分別為繞定平臺Y軸的轉動、繞動平臺x軸的轉動以及沿定平臺Z軸的移動。繞x軸轉動可實現動平臺繞x軸方向的姿態調整，而繞Y軸的轉動可實現沿X軸方向的大范圍移動，故在動平臺上串接一個軸線與靠近定平臺轉軸平行的單自由度擺頭，用于末端刀具另一個方向的姿態調整，沿Y軸安裝一個可移動工作臺，從而實現混聯機器人的五軸聯動。為便于分析，定義A1、A2、A3分別為3條分支桿與定平臺相連的運動副的中心點；a1、a2、a3分別為其與動平臺相連的運動副的中心點；在定平臺上定義定系{N}：OXYZ，X軸與A1A3重合，Z軸垂直于定平臺，Y軸符合右手定則；在動平臺上定義動系{n}：oxyz，x軸與a1a3重合，z軸垂直于動平臺，y軸符合右手定則。

2　運動學分析

混聯機器人的剛度分析涉及機器人的位置反解，所以為了便于該混聯機器人的剛度分析，在此對該混聯機器人的位置反解進行簡單分析。該5-DOF混聯機器人的移動工作臺與其余部分相比，具有運動獨立性，所以接下來的分析忽略移動工作臺的運動。如圖2所示，設機器人末端參考坐標系{r}：o1x1y1z1在定系{N}中的位置向量為P1=(x1，y1，z1)T，姿態矩陣為R1=[lmn]，其中l、m、n分為代表機器人末端姿態向量。

圖2　擺頭姿態描述Fig.2　Orientation description of the swing head

設單自由度擺頭和動平臺連接轉動副中心點o2在參考坐標系{r}中的位置向量為P0,在定系{N}中的位置向量為P2，可表示為

P2=R1P0+P1

(1)

P0=(0，0，-l4)T

設由式(1)求得的位置向量P2=(x2，y2，z2)T，根據并聯機構2RPU/UPR的結構約束可知

(2)

式中，l4為o2點到o點的距離；θ1為動平臺繞Y軸的轉角；θ2為動平臺繞x軸的轉角。

因為動平臺姿態可通過繞兩條連續轉軸的轉角θ1和θ2得到，所以動平臺相對定平臺的旋轉變換矩陣為

(3)

所以，oo2和o2o1之間的轉角可表示為

θ3=arccos(mT·R(:,3))

(4)

式中，R(:,3)表示旋轉變換矩陣R的第三列；θ3為單自由度擺頭的擺角，其方向可通過向量m和R(:,3)的叉乘來判斷。

類似于式(1)，可求得動平臺參考點o在定系{N}中的位置矢量為

P=RP3+P2

(5)

P3=(0，0，-l2)T

式中，l2為o點到o2點的距離。

根據機構幾何特點，Ai點位置矢量在{N}系中可表示為

NAi=(ai，bi，0)T

(6)

i=1,2,3a2=b1=b3=0

ai點位置矢量在{n}系中可表示為

nai=(pi，qi，0)T

(7)

p2=q1=q3=0

ai點位置矢量在{N}中可表示為

Nai=Rnai+P

(8)

進而，當已知動平臺的位置P和姿態R時可求得三條支鏈的長度：

li=|Nai-NAi|

(9)

3　靜剛度分析

不同于并聯機構/串聯機構的剛度分析，混聯機器人揉合了并聯和串聯機構的特點，增加了混聯機器人的剛度建模難度。為初步了解該混聯機器人的剛度特性，將分別求解并聯部分與串聯部分的靜剛度模型，從構造系統的力旋量系和彈性變形協調條件入手，快速且簡單地建立混聯機器人的剛度模型，并據此揭示整機靜剛度在任務空間中隨位形變化的規律。

3.1　2RPU/UPR靜剛度分析

為實現快速評估2RPU/UPR并聯機構的剛度特性，簡化剛度建模過程，合理的結構假設可較大程度上降低分析難度[24]。幾項基本假設如下：

(1)機構中各分支桿均視為規則截面的均質桿，且忽略機構中的鉸鏈摩擦和軸承接觸變形；

(2)混聯機構的分支均視為末端受到六維外力的桿件，其變形均視為在彈性小變形范疇內，變形線性疊加原理成立；

(3)將定平臺和動平臺視為剛體，忽略其因彈性變形對機構末端變形產生的影響。

當符合上述假設的桿件末端受到廣義的六維外力作用時，如圖3所示，可將分支桿等效為懸臂梁的受力問題，在分支桿末端會產生包含拉伸、扭轉、彎曲等相應的六維變形。對于較規則的桿件而言，基于上述假設及理論力學的基本知識，可建立分支桿的六維柔度矩陣，從而得到分支桿的剛度矩陣。

圖3　簡化分支受力模型Fig.3　Force model of the simplified limb

(10)

式中，Ix、Iy為支鏈的截面慣性矩；Ip為支鏈的截面極慣性矩；li、S分別為第i分支的長度與橫截面積；E、G分別為支鏈材料的彈性模量與切變模量。

圖4　動平臺受力模型Fig.4　Force model of the moving platform

支鏈末端作用在六維外力后，支鏈末端在符合上述假設條件下產生的總變形Xi與其所受力Fi的關系式為

Xi=CiFi

(11)

動平臺和分支末端的關聯點與動平臺本身有相同的角位移，且關聯點的線位移與動平臺線位移和角位移均有關系。設X為動平臺的總位移，則動平臺位移和分支末端關聯點位移之間滿足

X=JiXi

(12)

式中，Ji為分支桿末端參考坐標系與動平臺動系之間的位移變換矩陣。

Ji表達式如下：

(14)

由圖4可知，作用于動平臺參考點o的六維外力為F，由上述可知，由外力引起的三條分支末端的約束反力為-Fi，則根據動平臺受力平衡可得

(15)

式中，JFi為分支桿末端參考坐標系與動平臺動系之間的力/力矩變換矩陣。

JFi表達式如下：

(16)

聯立式(11)和式(12)可知

(17)

將式(17)代入式(15)可得

(18)

所以并聯機構的整體剛度矩陣可表示為

(19)

當給定并聯機構動平臺所受外力時，可根據式(18)求得動平臺的六維變形。

3.2　單自由度擺頭靜剛度分析

如圖5所示，單自由度擺頭和動平臺通過轉動副相連。為方便單自由度擺頭剛度建模與分析，將單自由度擺頭和動平臺分離處理，可用于直觀展示運動副部分的內力，進而將單自由度擺頭末端的力等效到動平臺所受外力。

圖5　擺頭受力模型Fig.5　Force model of the swing head

參考上述并聯部分剛度分析過程可知，單自由度擺頭末端受到六維外力作用后，擺頭末端的變形和受力滿足

Xo=CoFo

(20)

式中，Xo為單自由度擺頭的六維變形；Fo為單自由度擺頭末端受到的六維外力；Co為單自由度擺頭的六維柔度矩陣。

Co表達式如下：

Co=

(21)

式中，Ixo、Iyo為單自由度擺頭的截面慣性矩；Ipo為單自由擺頭的截面極慣性矩；l5、So為單自由度擺頭的長度與橫截面積；Eo、Go為單自由度擺頭材料的彈性模量與切變模量。

類似于式(18)，式(20)可整理為

Fo=KoXo

(22)

式中,Ko為單自由度擺頭的剛度矩陣。

Ko表達式為

(23)

3.3　混聯機器人靜剛度模型

上述動平臺參考坐標系原點o的等效外力F是由單自由度擺頭末端的外力Fo引起的，轉換關系如下：

(24)

式中，JFo為動平臺參考坐標o2x2y2z2(建立在連接動平臺與單自由度擺頭轉動副處)與單自由度擺頭末端參考坐標系o1x1y1z1之間的力變換矩陣；JF為動平臺動系oxyz和動平臺參考坐標o2x2y2z2之間的力變換矩陣。

JFo表達式如下：

(25)

對比式(13)和式(16)可知

Ji=(JFiT)-1

(26)

所以結合式(12)和式(26)，可將由等效外力F引起的變形X轉換到單自由度擺頭末端的微變形[26]，其表達式為

(27)

根據各部件的變形疊加原理，結合式(20)和式(27)可得混聯機器人末端的總彈性變形：

mX=Xp+Xo

(28)

上述混聯機器人末端變形的求解過程如圖6所示。圖6中，J*(*代表i，j，f，p等)為映射矩陣。

圖6　剛度建模流程圖Fig.6　Flow chart of stiffness modeling

4　數值仿真

為便于仿真驗證，整理上述結構參數，定平臺鉸鏈中心點的坐標為A1(-0.41，0，0)m，A2(-0.41，-0.506 0)m，A3(0.41，0，0)m；動平臺鉸鏈中心點的坐標在動系中為a1(-0.2，0，0)m，a2(0，-0.246 0)m，a3(0.2，0，0)m；初始位置中動平臺連體坐標系o點坐標在定系中滿足o=(0，0，1.14)m；l4=0.08 m，l5=0.12 m；分支桿的彈性模量E=2.11×1011Pa，分支桿的橫截面積S=1.96×10-3m2，截面慣性參數Ix=Iy=2Ip=3.07×10-7m4，切變模量G=7.57×1010Pa。設作用在擺頭末端的廣義外力F=(200，200，200)TN，廣義外力矩T=(40，-40，0)TN·m。五自由度混聯機器人的動平臺和單自由度擺頭的剛度相對其他部件較高，所以以機器人初始位姿為例，按上述給定參數建立混聯機器人的簡化模型，然后對其進行剛體處理，并借助SolidWorks Simulation靜力學仿真軟件對其進行仿真，結果如圖7所示。

(a)X方向微位移

(b)Y方向微位移

(c)Z方向微位移圖7　5-DOF混聯機器人微位移圖Fig.7　Micrometric displacement of the 5-DOF hybrid manipulator

圖7給出了動平臺參考點o在基坐標系中的微位移。為了達到相互驗證的目的，運用上述參數，借助MATLAB軟件進行解析計算。將解析結果和圖7中有限元計算結果進行對比，如表1所示。

表1　有限元法及解析法結果對比Tab.1　Results comparison between finite element method and analytical method

對比分析表1中有限元和解析法結果可知，兩種方法求得的結果吻合，誤差小于5%，證明該方法可用于快速建立五自由度混聯機器人的剛度模型，具有一定的實用性。

為了進一步體現該五自由度混聯機器人的剛度特性，規劃一任務工作空間：單自由度擺頭垂直于并聯機構動平臺(鑒于單自由度擺頭驅動關節剛度較大，在此忽略該自由度θ3對整體機構的影響)，動平臺繞轉軸1的轉動范圍-30°≤θ1≤30°，動平臺繞轉軸2的轉動范圍-15°≤θ2≤15°，動平臺參考點o的坐標分量z=1.14 m。該五自由度混聯機器人的剛度分布如圖8所示。

(a)X方向線剛度(b)Y方向線剛度

(c)Z方向線剛度(d)X方向角剛度

(e)Y方向角剛度(f)Z方向角剛度圖8　5-DOF混聯機器人剛度分布圖Fig.8　Stiffness distribution of the 5-DOF hybrid manipulator

圖8給出了該五自由度混聯機器人在預定工作空間范圍內的剛度分布情況，結合圖中剛度分布曲面及剛度圖譜可以更好地了解該混聯機器人的剛度，為充分發揮機器人的剛度性能提供必要參考。

5　結論

(1)本文對5-DOF混聯機器人的構型進行了描述，借助串聯和并聯結構獨立求解思想，建立了5-DOF混聯機器人的位置反解模型。

(2)簡化5-DOF混聯機器人剛度建模過程，給出基本假設條件，結合螺旋理論和材料力學的知識，分別求得并聯機構分支和串聯部分單自由度擺頭的柔度矩陣，進而得到并聯部分和串聯部分兩子系統的靜剛度模型。

(3)從構造系統的力旋量系和彈性變形協調條件入手，將并聯模塊的微變形轉換至單自由度擺頭末端，并通過變形疊加原理與串聯部分微變形相結合，得到該五自由度混聯機器人的總體變形。

(4)利用有限元和MATLAB仿真軟件對典型位姿下混聯機器人在外力/力矩影響下產生的微位移進行仿真驗證，并給出了整機靜剛度在任務空間中隨位姿變化的剛度分布圖。

參考文獻：

[1]MERLET J P. ParallelRobots[M]. Dordrecht：Springer Science & Business Media, 2012： 12-17.

[2]宋軼民, 翟學東, 孫濤,等. 一種三自由度冗余驅動并聯模塊的剛度分析[J]. 天津大學學報(自然科學與工程技術版), 2015, 48(1):25-32.

SONG Yimin, ZHAI Xuedong, SUN Tao, et al. Stiffness Analysis of a 3-DOF Redundantly Actuated Parallel Module[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2015, 48(1): 25-32.

[3]CAO Y, JI W, ZHOU H, et al. Position-singularity Analysis of 6-3 Stewart-Gough Parallel Manipulators for Special Orientations[J]. International Journal of Robotics and Automation, 2011, 26(2): 152-158.

[4]梅江平, 臧家煒, 喬正宇,等. 三自由度Delta并聯機械手軌跡規劃方法[J]. 機械工程學報, 2016, 52(19): 9-17.

MEI Jiangping, ZANG Jiawei, QIAO Zhengyu, et al. Trajectory Planning of 3-DOF Delta Parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(19): 9-17.

[5]TSAI L W. Robot Analysis: the Mechanics of Serial and Parallel Manipulators[M]. John Wiley & Sons, 1999： 19-27.

[6]FANG J, LI W. Four Degrees of Freedom SCARA Robot Kinematics Modelling and Simulation Analysis[J]. International Journal of Computer, Consumer and Control, 2013, 2(4): 20-27.

[7]KEBRIA P M, AI-WAIS S, ABDI H, et al. Kinematic and Dynamic Modelling of UR5 Manipulator[C]// Proceedings of the 2016 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics. Washington DC, 2016: 004229-004234.

[8]ZHANG D, XU Y, YAO J, et al. Kinematics,Dynamics and Stiffness Analysis of a Novel 3-DOF Kinematically/Actuation Redundant Planar Parallel Mechanism[J]. Mechanism and Machine Theory, 2017, 116: 203-219.

[9]ZHANG J, ZHAO Y, JIN Y. Kinetostatic-model-based Stiffness Analysis of Exechon PKM[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2016, 37: 208-220.

[10]胡波, 宋春曉, 張慶鈴, 等. 2(2-UPR+SPR)串并聯機構雅可比矩陣的建立[J]. 中國機械工程, 2015,26(7): 853-858.

HU Bo, SONG Chunxiao, ZHANG Qingling, et al. Jacobian Matrix Establishment of 2(2-UPR+SPR) Serial-parallel Manipulator[J]. China Mechanical Engineering, 2015,26(7): 853-858.

[11]GOSSELIN C M, ZHANG D. Stiffness Analysis of Parallel Mechanisms Using a Lumped Model[J]. International Journal of Robotics & Automation, 2002, 17(1): 17-27.

[12]LIAN B, SUN T, SONG Y, et al.Stiffness Analysis and Experiment of a Novel 5-DOF Parallel Kinematic Machine Considering Gravitational Effects[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2015, 95: 82-96.

[13]胡波, 路懿. 基于廣義力的少自由度并聯機構的靜剛度統一模型[J]. 中國科技論文, 2009, 4(8): 592-598.

HU Bo, LU Yi. Unified Stiffness Model for Limited-DOF Parallel Manipulators[J]. China Sciencepaper, 2009, 4(8): 592-598.

[14]陶兆勝, 彭澎, 趙艷芹. Exe-variant并聯模塊靜剛度分析[J]. 農業機械學報, 2017, 48(4): 377-382.

TAO Zhaosheng, PENG Peng, ZHAO Yanqin. Stiffness Analysis for Exe-variant Parallel Kinematic Machine[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2017, 48(4): 377-382.

[15]路曼, 趙艷芹. 類Exechon并聯模塊的結構設計與剛度建模[J]. 農業機械學報, 2016, 47(3):367-372.

LU Man, ZHAO Yanqin. Structural Design and Stiffness Modeling for Exe-variant Parallel Kinematic Machine[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016, 47(3):367-372.

[16]LU Y, DAI Z, YE N. Stiffness Analysis of Parallel Manipulators with Linear Limbs by Considering Inertial Wrench of Moving Links and Constrained Wrench[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2017, 46: 58-67.

[17]張俊, 趙艷芹. Exechon并聯模塊的靜剛度建模與分析[J]. 機械工程學報, 2016, 52(19): 34-41.

ZHANG Jun, ZHAO Yanqin. Stiffness Modeling and Evaluation for Exechon Parallel Kinematic Machine Module[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(19): 34-41.

[18]汪滿新, 王攀峰, 宋軼民,等. 4自由度混聯機器人靜剛度分析[J]. 機械工程學報, 2011, 47(15): 9-16.

WANG Manxin, WANG Panfeng, SONG Yimin, et al. Stiffness Analysis of a 4-DOF Hybrid Robot[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(15): 9-16.

[19]王友漁, 趙興玉, 黃田,等. 可重構混聯機械手TriVariant與Tricept的靜動態特性預估與比較[J]. 天津大學學報(自然科學與工程技術版), 2007, 40(1): 41-45.

WANG Youyu, ZHAO Xingyu, HUANG Tian, et al. Estimation and Comparison of Static and Dynamic Performance of Two Reconfigurable Hybrid Robots-the Trivariant and the Tricept[J]. Journal of Tianjin University(Science and Technology), 2007, 40(1): 41-45.

[20]WU Jun, WANG Jinsong, WANG Liping, et al. Study on the Stiffness of a 5-DOF Hybrid Machine Tool with Actuation Redundancy[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(2): 289-305.

[21]SUN T, WU H, LIAN B, et al. Stiffness Modeling, Analysis and Evaluation of a 5 Degree of Freedom Hybrid Manipulator for Friction Stir Welding[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2016: 0954406216668911.

[22]張東勝, 許允斗, 姚建濤,等. 5自由度混聯機器人逆動力學分析[J]. 農業機械學報, 2017, 48(9): 300-307.

ZHANG Dongsheng, XU Yundou, YAO Jiantao, et al. Inverse Dynamic Analysis of a Novel 5-DOF Hybrid Manipulator [J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2017, 48(9): 300-307.

[23]LI Q, HERVé J M. Type Synthesis of 3-DOF RPR-equivalent Parallel Mechanisms[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2014, 30(6): 1333-1343.

[24]PASHKEVICH A, CHABLAT D, WENGER P. Stiffness Analysis of Overconstrained Parallel Manipulators[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(5): 966-982.

[25]李立建, 馬愛霞, 姚建濤,等. 柔性并聯六維力傳感器力映射解析研究[J]. 機械工程學報, 2017, 53(7): 30-38.

LI Lijian, MA Aixia, YAO Jiantao, et al. Force Mapping Analytical Research of Flexure Parallel Six-axis Force/Torque Sensor[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2017, 53(7): 30-38.

[26]趙永生, 許允斗，姚建濤, 等. 一種過約束并聯機構受力分析的方法[J]. 中國機械工程, 2014, 25(6): 711-717.

ZHAO Yongsheng, XU Yundou, YAO Jiantao, et al. A Force Analysis Method for Overconstrained Parallel Mechanisms[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(6): 711-717.

(編輯王旻玥)